数学模型第四版课后答案姜启源版

《数学模型》作业答案

第二章(1)（2012年12月21日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生

们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；

（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3

1

.1000i i

p

方法一（按比例分配） ,35.23

1

11==

∑=i i

p

N

p q ,33.33

1

22==

∑=i i

p

N

p q 32.43

1

33==

∑=i i

p

N

p q

分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

1 2 3 4 5 A B C

235 117.5 78.3 58.75 … 333 166.5 111 83.25 … 432 216 144 108 86.4

4 ,3 ,2321===n n n

第10个席位：计算Q 值为

,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322

3=?=

Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n

方法三（d ’Hondt 方法）

此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n

此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.

i

i

n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i

i n p 尽量接近.

再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3） A B C

3 2 2 3 3 3

4

5 5

4 4 3

5 5 5

6 6

7 总计 10 10 10

15 15 15

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得

??

+=n

t

dn wkn r k vdt 0

)(2π

)22 2

n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v

k w n v rk t ππ+=∴

《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．

01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

kr rT c T c T C ++=

2

)(21

2221r c T

c dT dC

+-= 令

0=dT

dC

， 解得 r

c c T 21

*2= 由rT Q = ， 得2

12c r

c rT Q =

=*

*

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

??

????

+-++

=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 222332

2221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C

--+--=??

T

k rT Q c c rT Q

c Q C ++-=??332 令???????=??=??00Q

C

T

C

， 得到驻点：

???

?

??

?+-

+-+=-

+=

**

3

23222

2

3323213

22

33221)(22c c kr

c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数

r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，

后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.

解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：

贮存费为 ∑?=→??-==?n

i T

i i t T

T r k c dt t g c t g c 1

02

20

22

)()()(lim

ξ

又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =

0 , ∴ 贮存费变为 k

T

T r k r c 2)(2?-=

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

k

T

r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=

k r k r c T

c dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC

令

, 得)

(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*

T T C )(取得最小值，即最优周期为： )

(221r k r c k

c T -=

*

r

c c ，T

r k 21

2≈

>>*

时当 . 相当于不考虑生产的情况. r k -

)(t g

r

t

g

T

0T

O

∞→≈*

，T

r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）

3．在 3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1

)(+=

b k

b λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011

b b 而加的. 总费用函数()x

c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)

1()(2)1(2+--++--++=β

ββββββ

最优解为 []

k b k

c b b b c kb

c x β

β)1(2)1()1(22

322

1

+++++=

5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设

t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售

期分为T t T

T t <<<<2

20和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优

值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为

??

???<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,2

0,21

又 t q t q β+=0)(.于是总利润为

[][]?

?--+--=2

2

221121)()()()(),(T

T

T dt bp a t q p dt bp a t q p p p

=2

2)(022)(20222011T T

t t q t p bp a T t t q t p bp a ??????

---+??????---ββ

=)8

322)(()822)((2

0222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+---

)(2

)822(12011bp a T

T T q T p b p -+---=??β )(2

)8322(22022bp a T

T t q T p b p -+---=??β 0,02

1=??=??p p 令

, 得到最优价格为: ???

???

???????++=???

???++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为

??+-

=-+-=20

2

21210)(2

)()(T

T

T p p bT

aT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：

)8

322)(()822)((),(m ax 2

022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=

t s . 021)(2

Q p p bT

aT =+-

利用拉格朗日乘数法，解得：

??

???+

-=--=88

0201T

bT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？

解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;

每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=212

1

)( 得：k T T

T C 10092500

)(++=

令

0=dT

dC

， 解得：3

50

92500*==T 由实际意义知：当3

50*

=

T （即订货周期为350）时，总费用将最小.

又k T C 10035095025003)(*

+?+?=＝300＋100k

k T C 10030930

2500

)(0+?+==353．33＋100k

)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32

＝53．33.

故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *

=3

50，能节约费用约53．33元.

《数学模型》作业解答

第四章（2008年10月28日）

1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克, B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30y

s.t. ??

?

??∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202

这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70

2l y

9

2500

2+-=T

dT dC

以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l ：20x+30y=c 在可行域内 l 平行移动.

易知：当l 过1l 与2l 的交点时， 1l x S 取最大值.

由???=+=+7045202y x y x 解得?

??==510

y x

此时 m ax S ＝2053010?+?＝350（元）

2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 体积

（立方米/箱）

重量 （百斤/箱）

利润 （百元/箱）

甲 5 2 20 乙

4

5

10

已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为

211020 m ax x x z +=

???

??∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,135224452

12121

这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

2445:211=+x x l

1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内

平行移动.

2l

l

1x

1l

2x

易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值

由???=+=+135224

4521

21x x x x 解得 ??

?==1

4

2

1

x x 90110420max =?+?=z .

3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.

解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2y

s.t. ??

?

??∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032

这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解

可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.

直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.

由??

?=+=+120

24100

32y x y x 解得

??

?==20

20

y x .

m ax S ＝320220?+?＝100.

《数学模型》作业解答

第五章1（2008年11月12日）

1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σ

σ

1

)(,1

0=

s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减

少至.∞s （2）.)()(,1

0∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ

解：传染病的SIR 模型（14）可写成

?????-=-=i s dt

ds s i dt di

λσμ)

1(

.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dt

ds

i s dt ds λ

.)(∞s t s 单调减少至故

（1）.s s(t) .s(t) .1

00≤∴单调减少由若σ

s

;)(,0 .01,1

0单调增加时当

t i dt

di

s s s ∴

-σσ

.)(,0

.01,1单调减少时当t i dt

di

s s ∴-σσ .0)(lim .0)18(t ==∞

→∞t i i 即式知又由书上

.)( .0,

1

m i t i dt

di

s 达到最大值时当∴==

σ

（2）().0 0.1-s ,1,10 dt

di

t s s σσσ从而则若

()().0.0lim ==∴∞∞

→i t i t i t 即单调减少且

4．在 5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b

a

初

始

兵

力

0y x 与相同

.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双

方

的

胜

负

.

解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

()()()???

????==-=-=000,01 ,y

y x x bx dt

dy

ay dt dx

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为??

?

???--=00b a A

ab ab b a

A E ±=∴=-==

-1,22 .0λλλ

λλ ???

?

??????

??-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t

ab t ab e

C e C t y t x -

???

? ??+???

?

??-=???? ??∴1212121的通解为.

再由初始条件，得

()()2 220000 t

ab t

ab e y x e

y x t x -??

? ??++??

? ??-=

又由().1ay

bx dx dy =可得

其解为 ()3 ,2

02022 bx ay k k bx ay -==-而

(1) ()().2

3

1000202011y a b y a bx ay a

k t y t x =-=-==

=时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为

.2

3

0y 又令().0222,01

1

00001=-??

?

??++??

?

??-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（

注意到0

00020022,1

x y y x e

y x t ab -+=

=得. .43

ln ,312

1

b

t e

t ab =

∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则

()()???

????==-=+-=000,)0(4 y

y x x bx dt

dy

r ay dt dx

().,4rdy aydy bxdx bx

r

ay dy dx -=-+-=即得

由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222

2

20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--??? ?

?---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了

.a r 乙方取胜的条件为.,022202

0a r x a b a r y k +??? ?

?

- 亦即 第五章2（2008年11月14日）

6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.

解: 设给药速率为()()(),,,,0V t C t x t f 容积为血药浓度为中心室药量为

()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数

(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e V

D

t C V D C t f -==

=解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得

()()()

()?????-≤≤-=----τττ t e e Vk

k t e Vk

k t C t k kt kt

,10 ,10

(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t

k e

D k t f -=

()()()

???

????=≠--=---0101

01001 ,,01k k te V kD k k e e k k V D k t C kt t k kt

3种情况下的血药浓度曲线如下：

中心室

()t C ,()t x

V

k 排除

()t f 0

第五章3（2008年11月18日）

8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,

(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ

求./21Q Q Q 和

(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.

解

)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/

2毫克≈???? ??-???=???

? ??-=??-?---

e e e e

b

a v aw Q v bl a v

l β ()10/10==l M w 其中，

()()97628571.050

20

02.008.02

1

2

===?--

--e

e Q Q v

l b β

(1)

(2)

(3)

O

τ

t

(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为???

?

?

?

-=-v

bl a e b a v aw Q '

103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为???

? ?

?-=--v

bl a v bl

e e b a v aw Q 1

'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'

≈--=--=--=???

? ??-??

?? ??-=??????--

e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a v

bl 44.235,84.2954

3≈≈　Ｑ

Q

4．在 5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b

a

初

始

兵

力

0y x 与相同

.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双

方

的

胜

负

.

解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

()()()???

????==-=-=000,01 ,y

y x x bx dt

dy

ay dt dx

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为?

?

?

?

??--=00b a A ab ab b a

A E ±=∴=-==

-1,22 .0λλλ

λλ

???

?

??????

??-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t

ab t ab e

C e C t y t x -

???

? ??+???

? ??-=???? ??∴1212121的通解为.

再由初始条件，得

()()2 220000 t

ab t

ab e y x e

y x t x -??

? ??++??

? ??-=

又由().1ay

bx dx dy =可得

其解为 ()3 ,2

02022 bx ay k k bx ay -==-而

(1) ()().2

3

1000202011y a b y a bx ay a

k t y t x =-=-==

=时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为

.2

3

0y 又令().0222,01

1

00001=-??

?

??++??

?

??-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（

注意到0

00020022,1

x y y x e

y x t ab -+=

=得. .43

ln ,312

1

b

t e

t ab =

∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则

()()???

????==-=+-=000,)0(4 y

y x x bx dt

dy

r ay dt dx

().,4rdy aydy bxdx bx

r ay dy dx -=-+-=即得

由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222

2

20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--??

? ??---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了

.a r 乙方取胜的条件为.,022202

0a r x a b a r y k +??? ?

?

- 亦即

《数学模型》作业解答

第六章（2008年11月20日）

1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．

(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．

解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为

h N

x

rx dt t dx --=)1()( 记h N

x

rx x F --

=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--

h N

x

rx ． 即

()102

=+-h rx x N

r )4(42N

h

r r N rh r -=-

=? ， (1)的解为：2

412,1N rN

h

N x -

±=

①当4/rN h >，0

②当4/rN h =，0=?，(1)有两个相等的实根，平衡点为2

0N x =

. N

rx

r N rx N x r x F 2)1()('-

=--

=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ? 及0x x 均有04)1()( rN

N x rx x F --= ，即0 dt

dx ．∴0x 不稳定；

③当4/rN h <，0>?时，得到两个平衡点：

2411N rN

h

N x --=

， 2

412N rN

h N x -

+=

易知：21N x <

， 2

2N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'

(2)最大持续产量的数学模型为

?

?

?

=0)(..max x F t s h 即 )1(max N

x

rx h -=，

易得 2*

0N x = 此时 4rN h =， 但2

*

0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．

要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2

N x >

，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．

2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：

()x

N

rx t x ln

'=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平

*0x ．

解：()t x 变化规律的数学模型为

()Ex x

N

rx dt t dx -=ln 记 Ex x

N

rx x F -=ln

)( x

()N x rx /1-

2x 2/N

1x 4/rN h > 4/rN h = 4/rN h <

① 令()0=x F ，得0ln =-Ex x

N

rx ∴r E

Ne x -=0，01=x ．

∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r x

N

r x F --=ln

'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.

x

N rx ln e

rN

②最大持续产量的数学模型为：

??

?

?

?≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 r

E ENe

h -=

r E

r E

e r EN Ne dE dh ---=，令.0=dE

dh

得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平

e

N

x =

*

0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(N

x

rx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .

10

．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

20

．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*

0x . 解：10

．)(t x 变化规律的数学模型为

h N

x

rx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即

02

=+-h rx x N

r ----（1）y Ex y =

()x f y =

x

0x

e

N

)4(42N

h

r r N rh r -=-

=? ， （1）的解为：2

412,1N rN

h

N x -

±=

① 当0 ?时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=?时，（1）有两个相等的实根，平衡点为2

0N x =

. N

rx r N rx N x r x f 2)1()('-

=--

= ，0)(0'

=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ? 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即

0 dt dx

∴0x 不稳定； ③ 当0 ?时，得到两个平衡点：

2411rN

h

N N x --=

， 2

412rN

h N N x -

+=

易知 21N x

， 2

2N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.

20．最大持续产量的数学模型为： ??

?=0

)(..max x f t s h

即 )1(max N

x rx h -

=， 易得 2*0

N x = 此时 4rN h =，但2*

0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2

N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N

.

《数学模型》第七章作业

（2008年12月4日）

1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.