高层电梯问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 魏松

2. 狄龙

3. 张伟鹏

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2010 年 8 月30 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010河南科技大学数学建模选拔赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

高层办公楼问题

摘要

上班时间，员工因等待电梯迟到而焦虑万分是很普遍的问题，也是亟待解决的问题。

问题一，要求设计一个最优的电梯调度方案，尽快的把各层的人流尽快送达目的地，通过分析可得电梯载同一层楼的员工可在最大程度上减少候梯时间。将电梯分楼层运送员工，每次电梯都满载，且电梯与电梯间的间隔小于1分钟。然后对每层剩余员工通过合理搭配求出混运的最优解。最后得出电梯运送方案如附表1所示。

问题二，本题属线性规划问题，让不同速度的电梯满足要求的同时减少安装成本。利用所给约束条件将楼层分为低、中、高三组，在保证要求的前提下，做出减少电梯成本的方程，最后将电梯分配进行优化，最后求得分配方案为。

关键字：最优解，MATLAB，LINGO，满载

一、问题重述

商用写字楼员工在早上8：20到9：00这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常使员工因等待电梯而焦虑万分，所以，公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。

（1）各层楼的办公人数在附表中显示；

（2）第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9l m；

（3）电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；

(4)电梯的额定容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s 和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10％；

(5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；

第一问：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。

第二问：

如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8 m／min，304.8 m／min，365.8m／min）。

二、问题分析

底楼最大等待时间不超过一分钟，即两个电梯之间时间差不能超过一分钟，现在有六部电梯，安排合理的调度方案，把各层人流快速送达目的地。如果电梯里各层员工混合运送，则电梯要多次停留，而延长电梯运送时间，所以考虑一个电梯运送同一楼层的员工。然后将每层余下的人（各层总人数对19取余）进行混运，合理搭配运送方案。

问题二，在满足问题一的情况下，通过求解不等式组把电梯合理分为三类，即底层电梯、中层电梯、高层电梯，分别运送低、中、高层楼的员工。按组分配不同速度的电梯以减少费用。

三、模型假设

1、只考虑人们从第一层进入电梯，不考虑从中间楼层进入电梯；

2、电梯的减速在瞬间完成；

3、因为是上班高峰期，假设员工以足够密集的时间到达一楼大厅等候电梯，也就是说每当一部电梯到达底层时，都能够满载；

4、电梯运行过程中，每次最多载19人，不会超载；

5、由于人们是在8：20——9：00到达，做进一步假设，第20、21、28层工作人员在八点二十到八点二十六到达；第19、7、18层工作人员在八点二十六

到八点三十二到达；第13、26、27层工作人员在八点三十二到八点三十九到达；第14、15、16层工作人员在八点三十九到八点四十八到达；第22、23、24层工作人员在八点四十八到八点五十五到达；第12层工作人员在八点五十五到八点五十八到达。

四、符号约定

a ————————————————————————————加速度； 1h ————————————————————————第一层楼的高度；

h —————————————————第二层至最高层各层楼的高度；

0v ———————————————————————电梯最大运行速度；

't ————————————————电梯速度由零加至最大所用的时间；

0t ————————————————————一 一次开关电梯的时间； '1t ——————————————每个乘客上电梯的平均时间分别为0.8 s ； '2t —————————————————每个乘客下电梯的平均时间0.5s ； i t ———————满载情况下，电梯由一楼直接到第一楼并返回一楼历时；

s ———————————————————————电梯运行的总高度；

's ——————————————————电梯速度由零加至最大的行程；

k —————————————————————————到达的楼层数； l ———————————————————— 一次进入一个电梯的人数；

i d ——————————————————————————第i 号电梯； i x ——————————————————————————第i 层楼； i x ————————————————第i 层楼梯运行的最佳间隔时间；

五、模型建立与求解

电梯由低向高的运行过程中，先以加速度2/22.1s m a =加速运行，直至速度

s m v v /08.50==，运行路长为10.5764m 22

.1208.522

2

00=?==

a v s ，用时

4.1639s

5.08/1.22'==t 。之后以速度s m v /08.50=匀速运行，直至要到达的楼层。

当电梯自一楼进入l 个人，到达k 楼并返回一楼用时用的时间：

201''00120''012(2)222() k 322() k 2k v k h h v a t t t l v a t t t t l ì??-?-??+?++闯=í

+?+?（时）（时）??????????

?

2

5.08(2) 3.917.62 5.08

2 1.22262(0.80.5) k 35.08 1.22

262(0.80.5) k

2k l l ì??-?-??′?=??

++闯?=í????=??

+?????

（时）（时）

根据上式可知，当满载（19人）时，由一楼到达2-30楼并返回所用的时间

由上表可知，当楼层数13k 3时，满载19人运送并返回历时超过一分钟。比如，当30k =时，3086.9663t s =，若使任意两次间隔时间少于一分钟，则至少

给该层楼同时分配的电梯数3086.9663s

1.4560b s

=

=，即至少给第30同时分配两个电梯，当两个电梯的间隔时间3086.9663s

43.4832

t s == 时，该楼层的人的等待时间最短，为43.483s<60s=1min 。同理可得各层楼所需的电梯数目和最佳间隔时间

当电梯自一楼进入l 个人，分别到达m 楼和n 楼（m

22

0011''001200

22001''001200''0012(2)2(2)2233() m 3(2)(2)2232() m

2()3()m n

v v n h h n h h v a a t t t l v a v v v n h n h h v a a t t t l v a v t n m h h v t t t l a -?-??-++?+?吵-?-?-++?+??=-+++?+、 （n-m 3且时） （n-m 3时且时）

20102

01''001202 (n-m<3m=2)(4)2223()2 (n-m<3m 3)

v a v v n m h h v a t t t l a v ì??????????????????í??-??????????+-+- ???++?? ????

且时且时201''00120201''001201''00122(2)23233() m 32(2)2232() m 2()3()v n h h v a t t t l v a v n h h v a t t t l v a n m h h v t t t l a ??- ++?+闯 ??- ++?+闯==-+-++?+（n-m 3且时）（n-m 3且时）200201''001202 (n-m<3m=2)(4)2223()2 (n-m<3m 3)v a v v n m h h v a t t t l a v ì??????????????????í????????????+-+- ???++?? ????

且时且时

2

2

5.08

2(2) 3.9127.623 5.08

2 1.22

363(0.80.5)m3

5.08 1.22

5.08

2(2) 3.917.622 5.08

2 1.22

362(0.80.5)

5.08 1.22

n

l

n

l

???

′

?+?+闯

??-

′

?+?+闯

=

（n-m3且时）

（n-m3

且

2

2

m2

5.08

(2) 3.917.62

5.082 1.22

36(0.80.5) (n-m<3m=2)

1.22 5.08

5.08

(4) 3.9127.622

5.082 1.22

36(0.80.5)2 (n-m<3m3

1.22 5.08

n

l

n m

l

=

-?-

′

?+?+

+-??

′

?+??

时）

且

且)ì?

??

??

??

??

??

??

??

??

í?

??

??

??

??

??

??

??

???

带入数据计算可得，33

n m m

-吵

当且时，满载19人，电梯运行一次所用

830

n

＃时，使用两个电梯交换运行可以保证间隔时间不大于1min.

同理可知，32

n m m

-?

当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：

根据上表可知，电梯循环一次所用的最长时间

max

95.001

t s

=，所以在上述情

况下，至多使用95.001

1.58260

n =

= 个就可以满足间隔时间不大于1min.

同理可知，32n m m -<=当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：

同理可知，33n m m -< 当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：

当没有满载，电梯中有l 个人时，电梯运行一周的时间与满载时相比，仅相差了所缺少的人进出电梯的时间，即

19(0.80.5)(19)l t t l =-+?

从而就可以求得在人数为任意的l 时，电梯相应的运行周期t 。

根据以上的数据和公式，通过计算机模拟最终可得下面的调运方案可以在最

上表中i d 表示第i 号电梯，与其在一竖列的楼层表示该电梯所担负的运送任务。由于当运至12层楼时，已经使用了38.11min ，若继续把11层楼的人运完，总的运送时间将大于40min.为了保证每层楼的人都能够在9:00之前到达工作的楼层，安排1——11层楼的工作人员爬楼梯进入办公室。

综述，上述方案在38.11min 的时间内解决了工作人员不能及时进入工作所需的楼层的问题。

5.2、在高层商务楼中

有30N =

层楼，1楼为地面。

第i 层有工作人员i P ； 电梯有6m =部； 电梯的开关门时间为06t =；

每个乘客上梯时间为0.8u t =下梯时间为0.5d t =；

每层楼的高度为 3.91h

m =；

电梯正常运行的最大速度为

max v ；

电梯运行高度'

h 所需要的时间：

加速时间为max

1v t a

=

，加速阶段的距离为2max

12v h a

=

当1

'h

h ≤，电梯需要以max v 运行max

12max max ''2v h h h t v v a

-=

=-，总时

间为：max max max 12max max

''

22v v v h h t t t a v a a v =+=

+-=+ 当1

'h h >，电梯速度不可能达到max v ，此时最大速度为

间为：t =

则考虑加速度时电梯运行'

h 的时间为：

max

max

(h>h')2()v h a v t h ?+??=

一．电梯运行周期

在某一时刻有R 个人上电梯； 停靠次数为

s ；

停靠位置为i q

；

R 个人的总上下梯时间为:()u d R t t + 电梯的开关门时间为：0(1)t s +； 电梯在停靠点间运行时间的总和为：

1

1

(())

s i i i t h q

q -+=-∑

（这里的1i q +和i q 分别表示不同的楼层，两者无直接关系）

上班高峰期，员工从1楼到达自己所要去的楼层，因此在1楼有上楼信号时，电梯在完成任务后会马上返回1楼，返回1楼的时间为：

s ((2)7.62) ( q 1)s t h q -+>，s q 为i q 中的最大值。

以“从一楼出发到回到一楼为一个周期T ”则：

1

010()(1)(())((2)7.62)

s u d i i s i T R t t t s t h q q t h q -+==++++-+-+∑

二．用分组的办法讨论电梯的调度 将原理说明中的停靠次数s

用()

F n 代替

()F n 表示电梯行驶周期内的可能停站数，根据概率统计方法可得出可能停

站数为：

1

n

为一个人在某层下的概率。 1()[1(

)]N

R n F n n n

-=-

n 为电梯服务层数，19N

R

=为电梯额定载客量。

0T 为开关门时间总和，

00()1

T t F n （）=+， l T 为其余损失时间，

0.1()l d p T T T =+

p T 为乘客出入的总时间，

()

p u d T R t t =+

110

(())((2)7.62)s c i i s i t t h q q t h q -+==-+-+∑

c t (()1)r T t F n σ=++

r T 为电梯实际处于运动状态的时间，

h 为平均层高，v 为电梯的平均速

度，t

σ为相邻层所需时间（需要考虑电梯启动和制动时的加速度）。

4.1639t s =

综上，电梯运行周期TT 为： 0c 1

0101.1()1.1[(()1)()]t (()1)

1.1[(()1)()](())((2)7.62)(()1)

l r d p r

u d s u d i i s i TT T T T T T t F n r t t t F n t F n r t t t h q q t h q t F n σσ-+==+=++=++++++=++++-+-+++∑

电梯系统的性能可从电梯的运能和乘客等待时间去衡量：

电梯运能指1min 内电梯运送 客人数占全部被服务人数的百分比CE

60100%R C

CE TT M =

??

要在40min 将员工送完，则1

2.5%40

CE ≥=，就是说，要安排电梯使其将电梯分为三组，分别为楼层的低、中、高楼服务，设低中高楼分别有

123x x x 、、，每组电梯个数为456x x x 、、。

分析可得，1.高楼层多分派电梯；2.随着楼层高度的增加，楼数减少。 即应求出乘客等待时间TT 的最小值：

3

1

31233

21456456

123

4560

()min

246..,,0,,0i i i TT x x x x x x x x

x x x s t x x x x x x x x x CE CE 由题中条件列出该问所满足的线性方程组如下=+++=??<??>?

≥?∑

0CE 表示在规定时间内运完乘客所需要的运能。运用LINGO 软件对此方程组求最优解（程序见附录2）得到最优的分组为2、2、2；9、10、10以及各小组的服务楼层：低层（2—10）、中层（11—20）、高层（21—30）。

由各类楼层的高度考虑结合公司花费最小得，分低层两个243.8 m ／min 的电梯，分中层两个304.8 m ／min 的电梯，分高层365.8m ／min 的电梯。

六、模型评价与应用

模型优点：

1、将8：20至9：00的大块时间分为各小的时间段，以减小乘电梯的员工等待时间。

2、分楼层运送员工以减小电梯运行周期，将各楼层的剩余员工（楼层员工总数对19取余）合理搭配进行混运，以减少电梯总的运送时间。

3、第二问将各题中信息充分利用，设出几个变量，列出其所满足的线性方程组，将问题化为求最优解模型问题。合理安排各电梯的分配情况。

模型的缺点：

1、模型存在许多细节没有完善, 在现实中，电梯可能会因某层无乘客出电 梯而不在该层停靠。由于问题的复杂性，对模型的求解只进行了较简单分析，模型没有做到很精细。

2、假设条件有些理想化，在某时间段内所规定的楼层员工可能不会全部到达，从而使的结果并非最优解。

七、参考文献：

[1] 姜启源，谢金星，数学建模案例选编，高等教育出版社，2008。

[2] 杨万才，概率论与数理统计，高等教育出版社，2001。

[3] 徐玖平，运筹学--数据·模型·决策，科学出版社，2006。

[4] 边馥萍, 数学模型方法与算法.高等教育出版社, 2005。

附录：

1

2、程序

当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：-吵

n m m

33

for i=6:30;

n(i)=i;

tm(i)=3*6+(2*(n(i)-2)*3.91+2*7.62-3*5.08*5.08/2/1.22)/5.08+3*5.08 /1.22+1.3*19;

end

32n m m -?当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为： for i=5:30; n(i)=i;

tm(i)=3*6+(2*7.62/1.22)^0.5+(2*(n(i)-2)*3.91+7.62-2*5.08*5.08/2/1.22)/5.08+2*5.08/1.22+1.3*19;

end

32n m m -<=当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为：

for i=3:4; n(i)=i;

tm(i)=3*6+1.3*19+(2*7.62/1.22)^0.5+(2*(n(i)-2)*3.91/1.22)^0.5+5.08/1.22+((n(i)-2)*3.91+7.62-5.08*5.08/2/1.22)/5.08;

end

33n m m -< 当且时，满载19人，电梯运行一次所用的时间为： for i=3:29; m(i)=i; n(i)=i+1;

tm(i)=3*6+1.3*19+(2*5.08/1.22)+(2*(n(i)-m(i))*3.91/1.22)^0.5+((n(i)+m(i)-4)*3.91+2*7.62-2*5.08*5.08/2/1.22)/5.08;

end

第2问LINGO 源程序 求最少等待时间 model:

!目标函数;

min=tt1/x4+tt2/x5+tt3/x6;

!约束条件; t1=2.5318; h=3.91; m=5948;

vmax1=243.8/60; vmax2=304.8/60; vmax3=365.8/60; @gin(x1); @gin(x2);

@gin(x3);

@gin(x4);

@gin(x5);

@gin(x6);

f1=x1*(1-((x1-1)/x1)^19);!高层; f2=x2*(1-((x2-1)/x2)^19);!中层; f3=x3*(1-((x3-1)/x3)^19);!低层;

x1+x2+x3=30;

x1

x2

x4+x5+x6<6;

x4>x5;

x5>x6;

x1>0;