实数全章教案

实数全章教案

１2．１实数的概念

教学目标

知识与技能：了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程,理解实数系统的结构，体会分类思想.

过程与方法:通过对比分析,理解无理数是无限不循环小数,会辨别一个数是否是无理数.

情感态度价值观：通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数,了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.

教学重点及难点

理解无理数是无限不循环小数,会辨别一个数是否是无理数.

教学用具准备

各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备．

教学过程设计

一、 复习引入

教师设问:

（1）我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗?

（２）有理数都可以表示为哪种统一的形式?

(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(≠q q p q

p 都是整数，且的形式？ 答：不是，无限不循环小数（如:π）就不能表示为该形式.

［说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考,带着这样的困惑和好奇学习新知．

二、 学习新知

1． 操作剪拼正方形,引出2．

要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少?边长如何用代数符号表示？

师:如果设该正方形的边长为x ，那么22=x ,即x 是这样一个数，它的平方等于２.这个数表示面积为2的正方形的边长,是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关,我们现在用2（读作“根号2”）来表示.

追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示?若面积为５呢?

类似的,分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示.

2． 尝试说明2是一个无限不循环小数.

要求学生尝试完成以下填空： 假设2是一个有理数，设)0,(2≠=q q p q

p 表示整数且互素，同时，

等式两边分别平方,可以得到２= ,则2p ＝ ,

由此可知p 一定是一个 (填“奇”或“偶”)数,

再设p ＝２n(n 表示整数)，代入上式，那么2q = ,

同理可知q 也是 .这时发现p 、q 有了共同的因数2， 这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立, 即2不是 ，而是无限不循环小数.

师生总结:从以上填空可以说明2是无限不循环小数.

3． 请你再举出几个无限不循环小数的例子. 除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率 也是无限不循环小数.此外,我们还可以构造几个无限不循环小数，如：０.２002……、０．１23456７8911222324……等.

三、 形成概念

1．无理数

无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数,它们互为相反数.

2.实数

有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类:

正有理数

有理数 零 ——有限小数或无限循环小

数

实数 负有理数

正无理数

无理数 ——无限不循环小数

负无理数

四、 巩固练习

1.将下列各数填入适当的括号内:

0、-3、2、6、3.14159、32.0 、7

22、5、π、0．37３7７3７７73…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜;

正实数：﹛ ﹜；负实数:﹛ ﹜;

非负数：﹛ ﹜；整 数:﹛ ﹜. ２．判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1） 无限小数都是无理数;

(２)无理数都是无限小数；

(３）正实数包括正有理数和正无理数;

（4)实数可以分为正实数和负实数两类.

３．请构造几个大小在３和4之间的无理数．

４.用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： { { {

. (2) 0 有理数．

(3) 无限不循环小数 无理数.(4) 实数 有理数和无理数．

(5) 正整数、0和负整数 整数.

(６) 有理数 有限小数或无限循环小数.

五、自主小结

请学生谈谈:你学到了什么?

你有什么样的疑问？

你有什么收获、体会或想法?

你还想知道什么?

六、布置作业

布置作业:必做:数学练习册１2.1习题

选作:伴你成长

教学反思

本节课的知识形成过程:首先通过操作,得到面积为2的正方形,提出 “正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，即无理数．紧接着再举几个无理数的例子.在此基础上，引进无理数,归纳得到实数的概念,体验数的扩充的过程和必要性.

(1）动手操作和问题讨论的目的,是让学生感受2的现实意义，并认识到用已有的有理数不能准确表示这一线段长度,因而需要寻找一种新的数来解决问题;同时调动学生学习和思维的积极性,帮助学生体验无理数的产生过程,引导学生用科学的眼光认识世界.本节中“

”的出现先于定义,暂只作为一个记号,其含义

待下一节课详述.

(2）考虑到学生层次相对较好,教学中以2为例,教师与学生一起通过说理,说明了2不是有理数，而是一个无限不循环小数.对此，可结合本班学生实际特点开展教学．

(3）把无限不循环小数叫做无理数,是与有理数的意义进行比较后，通过理性思考得到的，无需做更多地解释.无理数的相反数的概念在“实数运算”一节有定义，这里只对特殊的数作说明．

(4)实数的分类办法,建议与有理数分类方法进行比较.实数的分类能帮助学生更好认识实数,构建数系知识结构，应予重视．在此要帮助学生领会数的分类应遵循的规则，领会分类思想.

(5)练习从不同的角度帮助学生理解实数系中各类数的概念.练习1中7

22应给予关注,它是一个无限循环小数,学生容易将它归入无理数范畴.练习2的(3)、（4）两小题,建议与实数的分类作比较分析,即可得出正确结论．在此可引导学生总结实数的另一种分类方法。

12．2平方根和开平方（1)

教学目标

知识与技能:知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；

过程与方法：会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根. 情感态度价值观:理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示;

教学重点及难点理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.

教学过程设计

一、 问题导入

1.小丽家有一张方桌，桌面是面积为６４平方分米的正方形,这个正方形桌面的边长是多少？

2．解答：设正方形桌面的边长为ｘ分米,则可得：x ２=６4,因为x>０,所以x=8.

3.思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算?

二、学习新课

１、概念辨析：

（１）已知一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，即x 2=ａ，我们把x 叫做a 的平方根，a 叫做被开方数.

(2)求一个数ａ的平方根的运算叫做开平方运算.

【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算.

2.例题分析：

求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同?

(1） ０.16; (2) -25

9; （3） ０. 解:因为(±０.4）２=0．16,所以０.16的平方根是±0.４． 因为不存在一个实数的平方根为－

259,所以-259无平方根. 因为0２＝0,所以0的平方根为0．

3.性质归纳：

（1）因为任何一个实数的平方都是非负的,所以负数没有平方根;

(2)因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数,因此正数a 有２个不同的平方根,记作“±a ”,它们互为相反数,其中“a ”表示正的平方根(也可以称算术平方根)，读作“根号ａ”.

（3)．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0,即：±0=0.

【说明】“a ”是一个数学符号,其意义是:非负数a 的算术．．

平方根,同时它也表示一个数,这个数的平方等于a,即(a ）２=ａ.

三．问题拓展

思考1:由以下计算你能否发现并总结某些规律？

（1)2)3(-的意义是什么？ 2)3(-＝?

（2）2)3(的意义是什么？ 2)3(=?

（3)2)3(-的意义是什么? 2)3(-=？

(4）2)3(-的意义是什么? 2)3(-=?

(５） 计算：2)31(=_____＿ 2)3

1(-=＿_＿___ 2)7(＝＿_＿＿___ 2)7(-=_____＿ 210-=＿__＿_＿＿ 2)10(--=___＿＿＿．

2．规律总结：

(1)．2a 表示ａ２的正平方根,因为a 2≥0，所以2a =∣a|∣.

(２）.2)a (表示数ａ的正平方根的平方，根据平方根的意义,这里的ａ≥0,且2)a (=ａ;

2)a (-表示数a 的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a ≥0，且2)a (-=ａ；

综上所述,（±a ）２＝ａ．

四、巩固练习

1.下列等式是否正确?不正确的请说明理由并加以改正.

（1）49-=-７; （2）2)2(-=2; （3）-2)5(-=5; （4)81=±９

2.求下列各数的正的平方根：

（1） 225; (2)0.000１; （3)

121

9. 3.若2m-5与4m-9是同一个数的平方根,求m 的值.

【说明】

练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论:一种情况是2m-5与４m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2ｍ-5与４m-9是一个数的同一个平方根．

五、课堂小结

１.平方根的意义是什么?平方根的性质是什么？

2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？

３、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？

六、作业布置

必做：1 . 课本和练习册上的练习

2 ． 复习所学的知识

选作：伴你成长、预习新课

教学反思：１.对学生而言,开平方运算和平方根不易理解的最大原因是:它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.

到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时,首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果:正数的平方根有两个,且互为相反数,而０的平方根只有一个:0;负数没有平方根．因此在教学时,应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.这里的教学多举一些实例进行说明.

2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而

陌生，因此,体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.

本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课,意在于此.但在课后学生出现的最大问题是:求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题:“如果一个数的平方等于6４,这个数是多少？”

３．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性,在课堂练习时也可以适当补充类似的问题,加深对概念的理解.

4.要理解公式“2a=∣a∣”和“(±a)2=a”超出了学生的思维发展水平,因此我在教学时的处理方式是：

(1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象,这是设问题拓展的原因,意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生2a≥０的印象,然后归纳出“2a＝∣a∣”.

（２)通过对“2)3

(-无意义”

(-的意义和计算结果”的讨论,达到对“2)3

的理解,从而总结出“（±a)2=ａ”成立的前提条件是:“a≥0”.

对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求,对含字母的运算不作要求.

?12．2平方根和开平方(2）

教学目标

知识与技能:会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.

过程与方法：会用计算器求一个正数的正平方根,并按指定精确度取近似值；

情感态度价值观:经历2是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；教学重点

１．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值;.

２.理解“逐步逼近数学思想”基本原理,对“极限”思想有初步认识.

教学难点

尝试用逐步逼近法探索2的近似值.

教学过程设计

一、 复习引入

１.问题:2的意义是什么?根据其意义,你能否猜测2有多大？

２.探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、２和4的三个正方形的大小可知：因为面积1＜2<4,所以边长１＜2<２,即2的整数部分为1．

3．规律总结:当 c>a>b>0时，b a c >>．

二、学习新课

1、请用计算器计算:1．12=＿_＿_____，1.22=__＿＿_＿__，1.３2=______＿_,１.42=_＿＿_＿＿__,1.52=＿______＿；

2、思考：

（1)观察计算结果，你有什么发现?

小结：由以上计算结果可知:1.４2<2<1.52,根据上述规律可得：1．4<2<１．5，所以2的十分位为4．

（２）：如何求2的百分位?

方法讨论:用计算器计算：1.412=_＿___＿__,1.４22＝＿_＿__＿＿_. 因为1．４12＜2<1.422，所以1.４１＜2<１.4２,得2的百分位为1.

3.巩固性问题:

(1） 请求出2的千分位.

(２） -2有多大？(精确到千分位)

4．例题分析：

用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数)

(1)8 (２）２

9

4 解:(1）8±≈±2.828.

(2) 942

±≈±1.563.

三、巩固练习

1、用计算器求值（近似值保留四位小数）

(１)5 (2）78.5

３、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？ (1)3 (2）

12 （３) 72

【说明】 求a 的整数部分一般有两种方法:

（1) 找到与被开方数a 最接近且比它大的一个完全平方数n ２，那么一定有“n 2＞a ≥(n －1)２”,从而“n ＞ａ≥n-１”,可以确定a 的整数部分为ｎ-1;

（2） 用计算器求出其近似值,然后取整数部分，需要注意的是:此时取整数部分不要四舍五入,把小数部分全部舍去．

四．问题拓展

1．思考：满足x 2<２０06的整数x 有多少个?

２．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是:

(1）.任意取ｘ1>0,作为a 的第一个估计值；

(2)由x 1出发，计算x 2=???

? ??+11x a x 21,作为a 的第二个估计值; （3）分别由x 2、ｘ３、x 4、…出发，重复步骤(2),求出ｘ3、x 4、ｘ5、…作为a 的

第三个、第四个、第五个、…的估计值;

由此得到ｘ2、x 3、x ４、…将一个比一个更接近a 的不同精确度的近似值.

请用逐次逼近法，求5的近似值.(保留4个有效数字）

五、课堂小结

1.“逐步逼近法”的基本原理.

２.求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.

３.用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.

4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.

六、作业布置

必做:数学练习册12.１习题

复习所学的知识

预习新课

选作：伴你成长

教学反思

1.无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的,部分学生对“a”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段;而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法,二个难点碰到一起，本节课处理不好,学生一节课的学习不但不会有太大的收获,同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶．

为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰,每个环节的任务明确，结论单一,同时，环节宜少不宜多.

2．为了更加清楚地说明“2”的大小,笔者认为,利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时,在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积,把面积的大小比较转化为边长的大小比较,渗透了“转化”的数学思想方法,而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.

3．在问题探究时,笔者设计利用几个子问题(先求整数部分、再求十分位、最后求百分位,而巩固性问题中继续求千分位)搭起台阶,学生对使用计算器是很

有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较,可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法,在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.

4.部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获,同时加强对逐步逼近法的理解,我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.

12.3立方根和开立方

教学目标

知识与技能：了解立方根与实际生活的联系,通过与平方根类比,理解立方根的概念.

过程与方法:会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值． 理解a a =33和a a =33)(的含义,并能运用它们解决问题．

情感态度价值观:理解开立方与立方互为逆运算，能根据两者的关系求完全立方数的立方根.

教学重点及难点

理解开立方与立方互为逆运算,能根据两者的关系求完全立方数的立方根. 教学用具准备

多媒体设备、卡西欧f ｘ-82函数型计算器.

教学过程设计

一、 复习、类比、引入

复习题：

(1)我们用_＿_＿____表示面积为5的正方形边长; 用6来表示＿_＿_＿____的正方形的边长．

（２)同样8表示_________的正方形的边长，那么这个正方形的边长是多少?你是怎么知道的？你运用了什么运算?

（３)小杰家中有一个储物柜,是一个容积为２7立方分米的正方体.这个正方体储物柜的棱长是多少分米？

(４)经过立方运算后结果是2７的数还有没有?是多少？这样立方是2７的数有几个?

师生归纳：已知一个数的平方求这个数的运算,叫做开平方.类似的,已知一个数的立方求这个数的运算,我们称之为开立方.

二、 通过类比,学习新知

给出立方根和开立方的概念:

如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,用“3a ”表示,读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数,3叫做根指数.

求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．

例如，如果,1253=x 因为_____＿_______=１25,所以________=x ,也就是说 是125的立方根.

例题1、求下列各数的立方根:

(1)100０ (2）27

8- (3)001.0- (4)0 [说明]体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根

三、 思考归纳

设问:通过例题1的解决，请归纳开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个

数等方面有何显著区别?你知道其中的原因吗?

1、 正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数，零的立方等于零.

2、 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数,零的立方根是

零．

3、 任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根.也就是说：(1)a a =33)(,(２)a a =33．

四、 巩固练习

1．以下说法中正确的有( ）.

A ．16的平方根是4±

B ．6４的立方根是4±

Ｃ．27-的立方根是3- Ｄ．81的平方根是9

2.求值:

(1）33)8(- (2）3216 (3)3610- （4）335-

3.用计算器,求值（近似值保留三位小数）：

（1）324 (２)317576 (3)396.3- (４)33

22

4.用计算器，求下列立方根，直接写出计算器显示的结果：

（1）36 (2）36- （3）36000 (4)3006.0

五、 课堂小结

学生自主小结：你学到了什么?

你有什么样的疑问？

你有什么收获、体会或想法?

你还想知道什么？

六、 布置作业

布置作业：必做：数学练习册12．3习题

选作：伴你成长

教学反思

教学设计着重于把立方根与开立方和平方根与开平方进行类比教学.注重概念的形成过程.让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念.通过设置问题,组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念，让学生通过具体实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别.对本节课的例题和练习安排,我是这样思考的:

(1）对例题1的教学,要着眼于对立方根的概念的理解,要求学生模仿和适应书写格式．练习２则体现了开立方与立方互为逆运算的关系,并利用互逆运算来求一个数的立方根，但限于所得立方根是有理数的情况.

(2)求一个实数的立方根有两种途径．一种是根据定义（如例题1)，只用于求特殊实数的立方根，而且学生容易分析出这个实数是某数的立方;另一种是使用计算器(如练习３)，这是通用的方法,要讲清具体的操作.对练习3中的第(3）小题,可向学生说明一个负数的立方根等于它的相反数(正数）的立方根的相反数.

（3)在学生会用计算器求实数立方根的基础上,例４ 的“思考”是引导学生探索被开方数与立方根之间的小数点移动规律,让学生看到，正开方数扩大1000倍,

它的立方根扩大十倍;反之亦然.可指导学生类比被开方数与算术平方根之间的小数点移动规律,并进一步思考为什么有这样的规律，但是不要求学生勉为其难,更不要求会用.

?12.4 n次方根

教学目标

知识与技能：类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；

过程与方法：掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根,理解负数没有偶次方根.

情感态度价值观:通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念,并从中体会分类和类比等数学思想;

教学重点

1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；

２.掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.

教学难点

理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.

教学过程设计

一、问题导入

1．问题：如果一个数的n次方（其中ｎ是大于1的整数)等于a,你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少?

2.分析:设这个数为x，则可以建立方程x n=a,ｘ叫做a的n次方根.

3.小结:

（1）如果一个数ｘ的n次方等于ａ(n是大于１的整数），则这个数x叫a的n 次方根；

（2)求一个数的ｎ次方根的运算叫做开n次方.

二、问题探索

1．求ｘ:

(1)x5＝３2,x= ，x5＝－3２，ｘ= ．

(2)x４=1６,x= ,ｘ4=－16,x= .

（3）x5＝0，x= , x4=0, x＝ .

2.思考:观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a,你能否说明当根指数

ｎ取不同的值时,a的n次方根可以分为几类?每一类方根有什么性质?

3．知识归纳:

（1）当n为偶数时,a的n次方根有与平方根类似的性质,我们称之为a的偶次方根;

正数a有2个互为相反数的偶次方根,记作“±n a”；其中n a为a的正偶

次方根,也叫做算术偶次方根;a 叫被开方数,n 为根指数;读作“n 次根号ａ”．

0的偶次方根等于0，n 0±=0;

负数没有偶次方根（即当ａ<0时,n a 无意义）.

(2） 当n 为奇数时，ａ的n 次方根有与立方根类似的性质，我们称之为a 的奇次方根；记作： n a ”,a 叫被开方数，n 为根指数；“n a ”读作“n 次根号a ”. 任意实数a 的奇次方根都存在，并且与a 有相同的正负性．

4．例题分析:

1.（1) 求－243

32的５次方根； （2） 求(-8)2的6次方根.

解答：(1） 32322433255

55-=-=-; （2） 22)8(6

662±=±=-±.

【说明】

(1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个;

(2）求方根时,为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数．

2．用计算器，求近似值（保留三位小数)：

（1) 48600; （２） 568.15-．

解:(１)48600≈９.630．

（2) 568.15-≈-1.7３４．

【说明】 注意精确度的意义,最后一位要四舍五入.

三、练习反馈

1．计算:3216； 481； 5243-; 6281??? ??- . ２. 用计算器，求下列各数的近似值(结果保留三位小数）： 47859； 51568-; 0．3４56的6次方根.

四.拓展性问题

1. 若n 为自然数,n 2n 2a =-a ，ａ的取值范围是什么？

2． ５的n 次方根是多少？

五、课堂小结

请填表:

六、作业布置

必做:

１.数学练习册12．4习题２．复习所学的知识

３ . 预习新课

选作:伴你成长

教学反思