概率论期末试题(B)

2004—2005学年第一学期期末考试

2003级信息科学专业《概率论与数理统计》试题 （B）

一、填空题（25分，1-7题每题3分，第8题4分）

1．将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿．

2．设随机变量ξ~N(a ，σ2)，则η= ~N(0，1)．

3．两封信随机地投入四个邮筒， 则前两个邮筒没有信的概率为_______，第一个邮筒只有一封信的概率为_________．

4．一批产品的废品率为0.2， 每次抽取1个，观察后放回去，下次再任取1个，共取3次，则3次中恰有两次取到废品的概率为_________．

5．已知P (A )=0.4，P (B )=0.3，P (A +B )= 0.6，则P (AB )=＿＿＿，P(A －B)=＿＿＿，=)|(A B P ＿＿＿．

6．设ξ具有概率密度，又?

??<<+=其他031)(x b ax x f )21(2)32(<<=<<ξξP P ，则 a =＿＿＿，b =＿＿＿．

7．设ξ与η相互独立，ξ～N (0，1)，η～N (1，2)，令ζ=ξ＋2η，则Eζ=＿＿，D ζ=＿＿＿， ζ的概率密度函数为＿＿＿．

8．设为来自（0－1）分布的一个样本，P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1－p，则的概率分布为＿＿＿，),,(1n X X L ),,(1n X X L =X E ＿＿＿，=X D ＿＿＿．

二、选择题（25分，每题5分）

1．设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为（ ） ① ABC ② A ＋B ＋C ③ C B A ④ C B A

2．设ξ～N (0，1)，令η=a ξ+b ， (a ，b 为常数)，则Dη=( )

① a －b ② a ＋b ③ a ④

2a 3．每次试验成功的概率为)10(<

)1(n r r ≤≤① ② r n r r n p p C ??)

1(r n r r n p p C ????)1(11③ ④

r n r p p ??)1(r n r r n p p C ?????)1(1114．对随机变量ξ，η，若已知ηξξηE E E =，则（ ）

① ηξξηD D D = ② ηξηξD D D +=±)(

③ ξ与η相互独立 ④ ξ与η相关

5．设（ξ，η）具有概率密度函数

??

???<<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f

则A=( )

① 0.1 ② 0.5 ③ 1 ④ 2

三、计算题（40分，每题10分）

1．已知袋中放有10个球，3个白球，7个黑球，从袋中每次任意抽取一个球，已抽出的球不再放回，共抽两次，求

（1）两次都抽到白球的概率；

（2）第二次才抽到白球的概率；

（3）第二次抽到白球的概率．

2．已知随机变量ξ～N (0，1)，求

（1）的概率密度；

ξ

ηe =（2）||ξζ=的概率密度．

3．全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求

（1）3人中至少有1人学过日语的概率；

（2）ξ的概率分布列及E ξ．

4．设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为 ??

???<≤=?0

001)(1x x e

x f x θθ，（θ>0） 试求参数θ的矩估计和极大似然估计． 四、证明题（10分）

随机变量η是另一个随机变量ξ的函数，并且（λξηe

=0>λ），若ηE 存在，求证对于任何实数都有．

a λξλξEe e a P a ?≤≥?}{