2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
导数应用_含参函数的单调性讨论(一)
导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性
小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3． 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间
高考数学专题：函数的单调性
高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
含参不含参函数单调性
含参不含参函数单调性
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利用导数研究函数单 调性
不含参函数单调性 【题型一】因式分解 【例1】 求函数的单调区间。 【变式1】求函数421()342 f x x x x = -+的单调区间。 【例2】 求函数2()322 x x e f x e x =-+的单调区间。 【变式1】求函数2()ln 7ln f x x x x x x =-+的单调区间。 【例3】 求函数()2()2x x x f x x e e -= +-的单调区间。 【变式1】求函数22 ln 3()ln 224 x x x f x ex x ex =--+的单调区间。 3227()154()32f x x x x x R = +-+∈
【例4】 求函数()2 ()ln 22 x f x x x e x =+-+的单调区间。 【变式1】求函数()()ln 1x f x e x =-+的单调区间。 【例5】 求函数2()ln f x x x x =-的单调区间。 【变式1】求函数ln 1()x e x e f x e +-= 的单调区间。 【变式２】求函数2()mx f x e x mx =+-的单调区间。
【例6】 求函数2311()26 x f x e x x x =-+ -的单调区间。 【变式1】求函数2 ()cos 12 x f x x =+-的单调区间。 【例7】 求函数()2311()123x f x x ex e x = -+-的单调区间。 【变式1】求函数()41()24x f x x e x x =--+，112，??∈ ???x 的单调区间。
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数． （ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出 满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数． （ 1）讨论的单调性； （ 2）当时，证明：； （ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （ 1）讨论函数的单调性； （ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 . （ 1）求的值； （ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；
6．已知函数 ln , x ，其中. f x ax x F x e ax x 0, a 0 （ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的 e2 最小值 . 7．已知函数 f ( x) e x m ln x . （ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ； （ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） . 8．已知函数 f x ln 1 mx x2 mx ，其中0 m 1 ．2 （ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3 ；3 （ 2）试讨论函数y f x 的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 . （1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 . 10 ．已知函数 f x e x ax 2 （1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值； （2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性； （3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2, 都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立， 求 a 的取值范围。
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案)
1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.
6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ? ? ∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。
专题函数单调性的证明
函数单调性的证明 函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。 一、证明方法步骤为： ① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x ＜2x ② 将()1f x 与()2f x 作差或作商（分母不为零） ③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。 在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。 二、常见的类型有两种： （一）已知函数的解析式： 例1：证明：函数()1=x-1 f x 在x ∈（1，+∞）单调递减 例2：证明：函数()3 =x +x+1x f x R 在∈时单调递增 例3：证明：函数()x [1+f x ∞∈，）时单调递增 例4：讨论函数()1=x+ 1+x-1 f x ∞在（，）的单调性，并求最小值 例5：求函数()x+2= x-1 f x 的单调区间
练习：1、证明函数()a =x+a 0x f x ∞（＞）单调递增 2、讨论函数()f x 的单调性 （二）抽象函数的单调性： 抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中()f x 与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例： 例1：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞0时，f (x )＞0.证明：f (x )在R 上单调递增. 例2：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增. 例3：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞ 1.若f (x )≠0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增. 练习： 1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ，总有 ()()()()()2+=+y x 00=-.3 y 1f x f f x f x f ，且当＞时，＜； （1）求证：()f x 在R 上是减函数 （2）求()f x 在[-3，3]上的最大值与最小值
含参函数的单调性习题
导数专题------求函数的单调区间 1.设()()2 56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线 ()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点 ()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 2.设函数()()2 1x f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; 3.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； 4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(22x f a ax x x a x f >+-= 的单调区间和极值。）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(. 0),(,)1(3 1 ).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-=
。 的单调区间和极小值点求函数其中 （已知函数 ) ( .0 , ln ) 1( 2 1 ) .62 x f a x a x a x x f> + + - = 的单调区间。 ）求 （ 处的切线方程 ， 在点（ 时，求曲线当 已知函数 ) ( 2 )) 1( 1 ) ( 2 )1( , 2 ) 1 ln( ) ( .72 x f f x f y k x k x x x f = = + - + = 8. 的单调区间。 （ 求 已知函数) ), .( )1 ( ln ) (2x f R a ax x x a x f∈ - - - = 的单调区间。 讨论 已知函数) ( ), 1 (, ln ) ( .9x f x ax x x x f> - =
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是 考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.
二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3专题5导数的应用含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数
高考专题：函数的单调性与最值
函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．
2．函数的最值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对?x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0?f (x )在D 上是 减函数． (2)对勾函数y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0， a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题
用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调
微专题30函数的单调性答案
微专题30 例题1 答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}； (2)－2. 解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1. (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12 (舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数， 即t ≥21－2－1＝32 .所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2. 例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝ f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2 1(＝cos π4＝22. 变式联想 变式1 答案：(1)略； (2)???a ＝－1，b ＝－2，或?????a ＝1，b ＝2；(3)当? ????a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当?????a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7 5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1 ，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数．
