用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点

1．锐角三角函数

（1）锐角三角函数的定义

我们规定：

sinA=a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

，cotA=

b

a

．

锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角

函数．

（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三

角函数值求角度

对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可

以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．

①已知角求三角函数值；

②已知三角函数值求锐角．

2

αsinαcosαtanαcotα

30o1

2

3

2

3

3

3

45o2

2

2

2

1 1

60o3

21

2

33

3

直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质

（1）0

（2）tan α·cot α=1或tan α=1

cot α

； （3）tan α=

sin cos αα，cot α=cos sin α

α

． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．

方法点拨

有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数

例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125

tan =

A ，那么sin

B 的值等于（ ） 5

12.12

5.

13

12.

13

5.

D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求

AB AC 的值，而已知的12

5

tan =A ，也就是12

5

=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=

13

12

1312sin ==

∴k k B ，选B 二、巧代换

例2. 已知3tan =α，求

α

αα

αcos sin 5cos 2sin +-的值。

解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式

3cos sin tan ==

α

α

α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。

图1

图2

1cos sin 52

cos sin cos sin 5cos 2sin +-=+-α

ααα

αααα

再把

3cos sin =αα代入，得：原式16

1

= 三、妙估计

例 3. 若太阳光与地面成?37角，一棵树的影长为10m ，则树高h 的范围是（取

7.13=）

A. 53≤

B. 105<

C. 1510<

D. 15

解析：如图2，树高?=37tan 10h ，要确定h 的范围，可根据正切函数是增函数，估

计?

即?

103

3

10<

∴h 105<<∴h ，故选B

四、善转化 例4. 在ABC ?中，

103

1

tan 30==?=∠BC B A ，，，求AB 的长。

解析：注意题中所说的ABC ?并不是直角三角形！如图3，ABC ?不是直角三角形，

为了利用3

1tan =

B ，可以作AB CD ⊥于D ，这样B ∠就是一直角三角形中的一角，A ∠也

出现在另一个直角三角形中，

设x CD =，则x BD 3=

由2

22)10()3(=+x x ，得1=x

即CD＝1，BD＝3

再有

3

30

cot=

?

?

=CD

AD

3

3+

=

∴AB

五、适时构造

例5. 不查表，不用计算器，求?

75

sin的值。

解析：我们可以先画ABC

Rt?，使?

=

∠

?

=

∠90

30C

A，，如图4，延长CA至D，使AD＝AB，连结BD，则?

=

∠

=

∠15

DBA

D，?

=

∠

∴75

DBC

图4

设BC＝1，则3

2

3

2+

=

=

=CD

AC

AB，

，

4

2

6

2

6

3

2

75

sin

2

6

)3

2(

12

2

+

=

+

+

=

?

∴

+

=

+

+

=

∴BD

六、准确分类

例6. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到?

=

∠30

A，AC ＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积。

图5 图6

解析：ABC ?中，已知两边和其中一边的对角，这时特别注意ABC ?的形状不惟一！要分两种情况分别求出，如图5、图6，作AB CD ⊥，分出直角三角形后，可求得面积应

为：2

2)1503200()1503200(米或米-+

1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=

2

，则cosB 的值是（ ）

A ．

1

2

B C ．1 D ．2

2．下列各式不成立的是（ ）

A ．sin50°

B ．cos1°

C ．tan22°

D ．cos23°>sin23°

3．∠A 是锐角，tanA>

3

，则∠A （ ） A ．小于30° B ．大于30° C ．小于60° D ．大于60° 4．下列各式正确的是（ ）

A ．sin30°+sin30°=sin60°

B ．tan60°-tan30°=tan30°

C ．cos （60°-30°）=cos60°-cos30°

D ．3tg30°

5．一个人从山下沿30°角的坡路向上攀登，如果在坡面上走了100米，?那么他上升的高度是（ ）

A ．100米

B ．50米

C ．米

D ．无法确定

6．在△ABC 中∠C 为直角，各边长均扩大2倍，则锐角A 的四个三角函数值（ ） A ．都扩大2倍 B ．都缩小2倍

C ．没有变化

D ．有的扩大2倍，有的缩小2倍 7．

cos 60tan 45cot 302cot 45?-?

?-?

的值等于（ ）

A ．-1-

2 B ．-1

2 C D ．1+2 8．用计算器求“已知cot α=1.515，求α”时，先计算（ ）

A．

1

cotα

B．α C．

2312

-

D．1+

3

2

9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=23，BC=2，则cosA=______．

10．若sin（90°-α）=

3

2

，则cos（90°-α）=______．

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3

8

，b=6，则c=______．

12．2cos30°-3tanα=0，则锐角α是_____度．

13．用不等号连接右面的式子：cos40°_____cos20°，sin37°______sin42°．

14．计算：2sin45°-1

2

cos60°=_______，（sin30°+tan45°）·cos60°=_______．

15．在Rt△ABC中，∠C为直角，若sinA=3

5

，则cosB=_______．

16．若tanα·tan35°=1，则锐角α的度数等于________．

17.△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，已知b=3，c=14，?求∠A的四个三角函数．

18. 正方形ABCD中的正三角形ABP，?已知正方形的边长为1，?试计算tan?∠PAD．

19.一个等腰三角形的两边是10、12，这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切．

20．如图是一块三角形形状的草坪ABC，经测量：

∠B=30°，∠A=45°，BC=25m，请你求出这块花圃的面积．（结果用根号表示）

21.△ABC中，│cosA-

2

2

│+（sinB-

1

2

）2=0，求∠C．

答案:

1．D [点拨

，所以∠A=45°，所以cos∠

．

2．B [点拨]余弦函数值随角度的增大而减小，所以cos1°

3．B [点拨]因为

tan>tan30°．?

又因为正切值随着角度的增大而减小，所以∠A>30°．4．D

5．B [点拨]他上升的高度为100×sin30°=50．

6．C

7．D [点拨] cos60tan45

cot302cot45

?-?

?-?

1

1

-

2

．

8．A

9

．

2

[点拨]此题有多种方法，这里例举一种：

，

cosA=

AC

AB

=

10．1

2

[点拨]因为sin（90-α）

90°-α=60°，

所以cos（90°-α）=cos60°=1

2

．

11

．

4

[点拨]tanA=

3

8

=

6

a

，a=

9

4

，

=

4

．

12．30° [点拨]因为2cos30°-3tanα=0，所以tanα

=

3

，α=30°．

13．<，< [点拨]正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．

14

．

34，34 [点拨] 2sin45°-1

2

cos60°=2×22-12×12=34；

（sin30°+tan45°）·cos60°=（

12+1）×12=3

4

． 15．35 [点拨]因为∠A=90°-∠B ，所以sinA=3

5

=sin （90°-∠B ）=cosB ．

16．55° [点拨]因为tan35°·cot35°=1，tan α·tan35°=1，

所以tan α=cot35°，α=55°．

17．解：根据勾股定理得：a=22

(14)3-=5，

所以sinA=

570414a c ==，cosA=3314

1414

b c ==

；tanA=53a b =，cotA=355． 18．解：过点P 作PE ⊥AD ，交BC 于点F （如图所示）． 显然EF=1，BF=CF=

12，AD=ED=1

2

． 在直角三角形BFP 中，PF=sin60°×BP=

32×1=3

2

． pE=EF-PF=1-

32=23

2

-． 在△AEP 中，∠AEP=90°，所以tan ∠PAD=

23

212

PE

AE

-==2-3． 19．解：如图所示：AB=AC=10，BC=12，作AD ⊥BC 于点D ，作CE ⊥AB 于点E ．

∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD=6． 在直角三角形ABD 中，AD=

22AB BD -=22106-=8．

又∵S △ABC =

12AB ·CE=1

2

BC ·AD ，所以10×CE=12×8，CE=9.6． 在直角三角形ACE 中，AE=

22AC CE -=22109.6-=2.8．

所以sin ∠BAC=

9.610CE AC ==0.96，cos ∠BAC= 2.8

10AE AC =

=0.28， tan ∠BAC=9.6242.87CE AE ==，cot ∠BAC=7

24

．

20．解：如图，过B 作BD ⊥AC 于点D ．

在直角三角形BCD 中，∠B=30°，∠BDC=90° sinB=

CD

BC

，即CD=BC ×sinB=25×sin30°=12.5（米） BD=BC ×cosB=253253（米） 在直角三角形ACD 中，∠A=45° 所以AD=CD=12.5（米） AB=BD+AD=12.5+

32=252532

+（米） 所以三角形地ABC 的面积是12AB ·CD=12

25253+256256253

2+=（平方

米） 答：略． 21．解：∵│cosA-

22│≥0，（sinB-12）2≥0且│cosA-22│+（sinB-12

）2

=0

∴│cosA-

22│=0，（sinB-12

）2

=0

所以cosA-

2=0，sinB-12=0，即cosA=2，sinB=12

， 因此∠A=45°，∠B=30°

所以∠C=180°-45°-30°=105°．