圆综合练习题
O
F A B
C D
E
F E
D
C
B
O A
C
E
B
O D
F
A
圆综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等） 1.如图，BD 为⊙O 的直径，AC 为弦，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，4ED =．
（1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长； （2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
2.已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长； （3）求图中阴影部分的面积． 3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，
连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF
AD ⊥．
（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =60?，P 是OB 上一点，过P 作
AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ．
（1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．
5．已知:如图,BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C ,交
半圆O 于点E ，且E 为?DF
的中点. （1）求证：AC 是半圆O 的切线；
（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．
6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2
=AP ·AD （1）求证：AB AC =
；
（2）如果60ABC ∠=o
，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC 的中点，
求AD 的长.
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点,以OA 为半径的⊙O 经过点D .
（1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5,DC =3,求AC 的长.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC OC 、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.
O
P
D
C B
O
A
C
B
A B
C
D
E
O G
F
O
Q
P
C
B
A
G F
E D
C O
B
A
第13题图
9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥
，垂足为D ，BF 交AD
于E ，且BE AE =． （1）求证：AF AB =；
（2）如果5
3
sin =
∠FBC ，54=AB ，求AD 的长． 10．如图，已知直径与等边ABC ?的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点
D 、
E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点
F 、
G 。 （1） 求证：DE AC P ；
（2） 若ABC ?的边长为a ，求ECG ?的面积.
11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点． （1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A ＝30°，AP =3O 半径的长. 12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上
的另一点，点C 是OB 的中点，1
2
AC
OB =， 若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =o
,AB =23时，求△APC 的面积的最大值．
13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F .
（1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s∠F 的值.
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在 加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图 示的方式测量.
(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切. 求证:⊙O 与AE 相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，
且AF =3，求?BC
的弧长. 二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD ∥OC 并交BC
的延长线于D ，OC 交AB 于E.
（1）求∠D 的度数；
（2）求证：2AC AD CE =?； （3）求
BC
CD
的值. 16．如图⑴，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE
⊥，在BC 上取一点D ，分
别作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、. ⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ?∽COM ?；
A
C
O
P
F
B
C
E
G
O
EB ⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取 在上，仍作直线ED CD 、，分别交直线AB 于点M F 、. 试判断：此时是否仍有FDM ?∽COM ?成立？若成立请证明你的
结论；若不成立，请说明理由。
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交
y 轴于点A （如图1）。
⑴求⊙O 半径；
⑵求sin HAO ∠的值；
⑶如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ?是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin CGO ∠的大小怎样变化？请说明理由。
四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M 的圆心在x 轴上，与坐标轴交于A （0，3）、
B （－1，0），抛物线2
33
y x bx c =-
++经过A 、B 两点． （1） 求抛物线的函数解析式；
（2） 设抛物线的顶点为P ．试判断点P 与⊙M 的位置关系，
并说明理由；
（3） 若⊙M 与
y 轴的另一交点为D ，则由线段PA 、线段PD
及弧ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？
19．如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，以点C （1，1）
为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，B 两点，开口向下的抛物线经过点A ，B ，且其顶点P 在⊙C 上． （1）求∠ACB 的大小； （2）写出A ，B 两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平
分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙1O 与x
轴交于A B 、两点，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2
y x bx c =-++的图象经过A B 、两
点，其顶点为F ．
（1）求b
c ，的值及二次函数顶点F 的坐标； （2）将二次函数2
y x bx c =-++的图象先向下平移1个单位，
x
y
A
B
O
-2
45
-1
-3
2-1-21
O 1
图1
图2
O
x
y
D(4,3)
A
H
C F
E P B G O
x
y
D(4,3)
图1
图2
再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C ，在经过点B 和点()0,3D
-的直线l 上是否存在一点P ，使PAC ?的周长最小，
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中,图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：
第一次划分：如图(2)所示，以OA 的一半OA 1的长为半径画弧交OA 于点A 1，交OB 于点B 1，
再作∠AOB 的平分线，交?AB 于点C ，交?11A B 于点C 1，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形
OAB 、扇形OAC 、扇形OCB 、扇形OA 1B 1、扇形OA 1C 1、扇形OC 1B 1；
第二次划分：如图(3)所示，在扇形OC 1B 1中，按上述划分方式继续划分，即以OC 1的一半OA 2
的长为半径画弧交OC 1于点A 2，交OB 1于点B 2，再作∠B 1OC 1的平分线，交?11B C 于点D 1，交?22
A B 于点D 2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分； ……依次划分下去.
(1) 根据题
意,完成右边的表格；
(2) 根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为2008个?为什么? (3) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m °，且扇形的半径OA 的长为R ．我们把图(2)第一次划分
的图形中，扇形11OA C （或扇形11OC B ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S 1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S 2；……，把第n 次划分的最小扇形面积记为S n..求1
n
n S
S -的值.
22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作?AOB AB ∠@（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作??1()2
AOB AB CD
∠+@
（如图①）请回答下列问题： （1）如图②，猜测?
?APB AB CD ∠与、有怎样的等量关系,并说明理由； （2）如图③，猜测?
?APB AB CD ∠与、有怎样的等量关系,并说明理由. （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
23．已知：半径为R 的⊙O '经过半径为r 的⊙O 圆心，⊙O '与⊙O 交于M 、N 两点．
P
O
A
C D B
图②
O B
D
A
C
图①
C D
O
P A
B
（1）如图1，连接O O'交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙O'于点A、B，求OA OB
g的值；
（2）若点C为⊙O上一动点.
①当点C运动到⊙
O'内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O'于A、B两点．请你探索OA OB
g的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙O'外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O'于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索OA OB
g的值（只写出OA OB
g的值，不必证明）．
北京市丰台区2015-2016学年度第一学期初三数学
第24章圆综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1.如图，BD为⊙O的直径，AC为弦，AB AC
=，AD交BC于E，2
AE=，4
ED=．（1）求证：ABE ADB
△∽△，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF BO
=，连接FA，判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由. 1．解：AB AC
=
Q，ABC C
∴=
∠∠.
C D
=
Q∠∠，ABC D
∴=
∠∠．
又BAE DAB
=
Q∠∠，
ABE ADB
∴△∽△．
AB AE
AD AB
∴=．
()()
224212
AB AD AE AE ED AE
∴==+=+?=
g g．
AB
∴=（舍负）．
（2）直线FA与O
e相切．
连接OA．BD
Q为O
e的直径，90
BAD
∴=o
∠．
在Rt ABD
?中，由勾股定理，得BD====
11
22
BF BO BD
∴===?=．
AB=
Q，BF BO AB
∴==．
（或BF BO AB OA
∴===，AOB
∴?是等边三角形，F BAF
∠=∠．
60
OBA OAB
∴∠=∠=?，30
F BAF
∠=∠=?．）
90
OAF
∴=o
∠．OA
∴⊥AF．
又Q点A在圆上，∴直线FA与O
e相切．
2.已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D
作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
2．（1）证明：连接DO.
∵ABC ?是等边三角形，∴∠C =60°，∠A =60°， ∵OA =OD ，∴OAD ?是等边三角形.∴∠ADO =60°. ∵DF ⊥BC ，∴∠CDF =30°.
∴∠FDO =180°-∠ADO -∠CDF =90°.∴DF 为⊙O 的切线.
（2）∵OAD ?是等边三角形，∴CD =AD =AO =
2
1
AB =2. Rt CDF ?中，∠CDF =30°，∴CF =
2
1
CD =1.∴DF =322=-CF CD . （3）连接OE ，由（2）同理可知E 为CB 中点，∴2=CE .
∵1=CF
，∴1=EF .
∴2
33)(21=?+=DF OD EF S FDOE
直角梯形． ∴ππ3
23602602=?=DOE
S 扇形．
∴π3
2
233-=
-DOE FDOE S S 扇形直角梯形． 3、如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且
CF AD ⊥．
（1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若8AB =，求CD 的长． 3、（1）证明：连接AC ，如图
CF AD ⊥Q ，AE CD ⊥且CF AE ，过圆心O
??AC AD ∴=，??AC CD =，ACD ∴△是等边三角形．30FCD ∴∠=o
在Rt COE △中，12
OE OC =
，1
2OE OB ∴=∴点E 为OB 的中点
（2）解：在OCE t ?R 中8AB =Q ，1
42
OC AB ∴==
又BE OE =Q ，2OE ∴=
4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =60?，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作OC CD ⊥交PQ 于点D ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形； （2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．
4．（1）证明：由已知得∠ACB =90°，∠ABC =30°，
∴∠Q =30°，∠BCO =∠ABC =30°. ∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ =∠BCO =30°， ∴∠DCQ =∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形.
（2）解：设⊙O 的半径为1，则AB =2，OC =1，AC =
12
1
=AB ，BC =3. F E
D
C
B
O
A
∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ =BC =3.
∵AQ =AC +CQ =1+3，AP =2
3
121+=
AQ ， ∴BP =AB －AP =2332312-=+-PO =AP －AO =2
1
31231-=
-+， ∴BP ∶PO =3.
5．已知:如图,BD 是半圆O 的直径,A 是BD 延长线上的一点，BC ⊥AE ，交AE 的延长线于点C ,交
半圆O 于点E ，且E 为?DF
的中点. （1）求证：AC 是半圆O
的切线；
（2）若6AD AE ==，BC 的长．
5.解：（1）连接OE ,∵E 为?DF
的中点，∴??DE EF =．∴OBE CBE ∠=∠. ∵OE OB =，∴OEB OBE ∠=∠.∴OEB CBE ∠=∠.∴OE ∥BC.
∵BC ⊥AC ，∴∠C=90°.∴∠AEO =∠C =90°.即OE ⊥AC . 又OE 为半圆O 的半径，∴AC 是半圆O 的切线. （2）设O e
的半径为x ，
∵
OE AC ⊥，∴222
(6)x x +-=.∴3x =.∴12AB AD OD OB =++=.
∵OE ∥BC ，∴AOE ABC △∽△.∴
AO OE AB BC =.即93
12BC
=
∴4BC =. 6.如图，ABC △内接于⊙O ，过点A 的直线交⊙O 于点P ，交BC 的延长线于点D ，且AB 2
=AP ·AD （1）求证：AB AC =；
（2）如果60ABC ∠=o ，⊙O 的半径为1，且P 为弧AC
AD 的长.
6.解：（1）证明：联结BP ．
∵ AB 2
=AP·AD，∴ =．
∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD ∽△APB ， ∴∠ABC
=∠APB，∵∠ACB =∠APB， ∴∠ABC =∠ACB．∴AB=AC.
（2）由（1）知AB=AC ．∵∠ABC=60°，∴△ABC ∴∠BAC=60°，∵P 为弧AC 的中点，∴∠AB P =∠PAC=∠A BC=30°， ∴∠BAP=90°，∴ BP 是⊙O 的直径，∴ BP=2，∴AP =BP=1， 在Rt △PAB 中，由勾股定理得 AB 2
=BP 2
－AP 2
=3， ∴AD ==3．
7．如图，在△ABC 中，∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点,以OA 为半径的⊙O 经过
点D .
（1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5,DC =3,求AC 的长. 7.（1）证明:如图1，连接OD .
∵OA =OD ,AD 平分∠BAC , ∴∠ODA =∠OAD ,∠OAD =∠CAD .
∴∠ODA =∠CAD . ∴OD //AC . ∴∠ODB =∠C =90?. ∴BC 是⊙O 的切线.图1
（2）解法一:如图2，过D 作DE ⊥AB 于E .
∴∠AED =∠C =90?. 又∵AD =AD ,∠EAD =∠CAD , ∴△AED ≌△ACD . ∴AE =AC ,DE =DC =3.
在Rt △BED 中，∠BED =90?,由勾股定理，得
BE =422=-DE BD .图2
设AC =x （x >0）,则AE =x .
在Rt △ABC 中，∠C =90?,BC =BD +DC =8,AB =x +4,由勾股定理，得x 2
+82
=(x +4)2
. 解得x =6.即AC =6.
解法二:如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB .
∵AD =AD ,∠EAD =∠BAD , ∴△AED ≌△ABD . ∴ED =BD=5.
在Rt △DCE 中，∠DCE =90?,由勾股定理，得
CE =422=-DC DE .………………………5分图3
在Rt △ABC 中，∠ACB =90?,BC =BD +DC =8,由勾股定理，得AC 2
+BC 2
=AB 2
. 即AC 2
+82
=(AC +4)2
.解得AC =6.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC.
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长.
8、证明：（1）连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴
．∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．
解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CE B.
∴△ACE∽△CBE． ∴
.CE
AE
BE CE =∴CE 2=BE·AE． 又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．
∴AC=
.548022==+CE AE
9．如图，已知BC 为⊙O 的直径，点A 、F 在⊙O 上，BC AD ⊥
，垂足为D ，BF 交AD
于E ，且BE AE =． （1）求证：AF AB =；
C A
O B
E
B
D
C
A
O
E
A B
C
D
E
O
G
F
O G F
H
A
B
C
D
E
（2）如果5
3
sin =
∠FBC ，54=AB ，求AD 的长． 9．解：（1）延长AD 与⊙O 交于点G ．
∵直径BC ⊥弦AG 于点D ，
∴． ∴∠AFB =∠BAE ．
∵AE =BE ，∴∠ABE =∠BAE ． ∴∠ABE =∠AFB ．∴AB =AF ． （2）在Rt △EDB 中，sin ∠FBC =
5
3
=BE ED ． 设ED =3x ，BE =5x ，则AE =5x ，AD =8x ，在Rt △EDB 中，由勾股定理得BD =4x ． 在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD 2
+AD 2
=AB 2
． ∵AB =45，∴2
2
2
)54()8()4(=+x x ． ∴x =1（负舍）．∴AD =8x =8．
10．如图，已知直径与等边ABC ?的高相等的圆O 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，边AC 过圆心O 与圆O 相交于点F 、G 。 （3） 求证：DE AC P ；
（4） 若ABC ?的边长为a ，求ECG ?的面积.
10.(1)ABC ?Q 是等边三角形,60B ?
∴∠=,60A ?
∠=,
Q AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD=BE .
60BDE ?∴∠=,60A ?∠=,有DE//AC .
(2)分别连结OD 、OE ,作EH ⊥AC 于点H .
Q AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心，
90ADO OEC ?
∴∠=∠=，OD=OE ，AD=EC .
ADO CEO ∴???,有AO=OC =1
2
a .
Q 圆O 的直径等于ABC ?的高,得半径OG =3a ,∴CG=OC+OG =1
2a +3a .
,60EH OC C ?⊥∠=Q ,30COE ?∴∠=,EH =
3
a . 12ECG S ?=Q CG ?EH =12(3a +12a )·3
a ,
ECG S ?∴=22336432a a +=232364
a +. 11．如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点． （1）请你判断直线PQ 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
AB=GB
O
P
C
B
A
G F
E D
C O
B A 第13题图
（2）若∠A ＝30°，AP =23，求⊙O 半径的长. 11、解：（1）直线PQ 与⊙O 相切. 连结OP 、CP .
∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BPC ＝90°. 又∵Q 是AC 的中点，∴PQ =CQ =AQ . ∴∠3＝∠4.
∵∠BCA =90°，∴∠2+∠4=90°. ∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3=90°.
即∠OPQ =90°. ∴直线PQ 与⊙O 相切. （2）∵∠A ＝30°，AP =23， ∴在Rt△APC 中，可求AC =4.
∴在Rt△ABC 中，可求BC =
4
33
. ∴BO =233.∴⊙O 半径的长为233
.
12．如图，已知点A 是⊙O 上一点，直线MN 过点A ，点B 是MN 上的另一点，点C 是OB 的中点，
1
2
AC OB =，
若点P 是⊙O 上的一个动点,且∠30OBA =o
,AB =23时，求△APC 的面积的最大值． 12、解:连结OA .
由C 是OB 的中点,且12AC OB =,可证得∠OAB =90°.
则∠O =60°.可求得OA=AC=2.
过点O 作OE ⊥AC 于E ，且延长EO 交圆于点F ． 则P(F)E 是△PAC 的AC 边上的最大的高. 在△OAE 中,OA =2,∠AOE =30°, 解得3OE =.所以23PE =+. 故11
2(23)22
PAC S AC PE =?=??+V . 即23PAC
S =+V .
13．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F . （1）求证：EF ⊥AB ； （2）求co s∠F 的值.
13.证明：
（1）联结OD
∵OC =OD ∴∠ODC =∠OCD 又∵AB =AC ∴∠OCD =∠B ∴∠ODC =∠B ∴OD ∥AB
G F
E D
C
O A
第13题图
∵ED 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径 ∴OD ⊥EF ∴AB ⊥EF （2）联结AD 、CG ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ADC =∠AGC =90° ∵AB ⊥EF ∴DE ∥CG ∴∠F =∠GCA ∵AB =AC ∴DC =
1
2
BC =5 R t △ADC 中，2212AD AC CD =-=
∵AD g BC =AB g CG
∴CG =
120
13
AD BC AB =
g R t △CGA 中，c os ∠GCA =
120
169
GC AC =
∴c os ∠F =
120
169
14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.
(1)若⊙O 分别与AE 、AF 交于点B 、C ，且AB=AC ,若⊙O 与AF 相切. 求证:⊙O 与AE 相切；
(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE 、AF 的三分之一点时，
且AF =3，求?BC
的弧长. 14.解:（1）证明：连结OB 、OA 、OC . 根据题意,∠OCA =90°. 在△ABO 与△ACO 中,
AB =AC ,OA=OA ,OB=OC ,
所以△ABO ≌△ACO .
所以∠OCA =∠OBA =90°.则AE 是圆的切线.
(2)因∠OCA =∠OBA =90°, 且∠EAD =∠FAG =30°, 则∠BAC =120°.
又1
13
AC
AF =
=,∠OAC =60°,故3OC =所以?BC
的长为33
. 二、圆与相似综合
15．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D ，
OC 交AB 于E . （1）求∠D 的度数；
（2）求证：2AC AD CE =?； （3）求
BC
CD
的值. 15．（1）解：如图3，连结OB .
D
O
E
A
C
B
F
B
C
E
G
O
G F
E D
C O
A
EB ∵⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC =45°，
∴∠BOC =2∠BAC=90°.
∵OB=OC ，∴∠OBC =∠OCB =45°. ∵AD ∥OC ，∴∠D=∠OCB =45°.
（2）证明：∵∠BAC =45°，∠D=45°，
∴∠BAC =∠D .
∵AD ∥OC ，∴∠ACE =∠DAC . ∴△ACE ∽△DAC ． ∴
AC CE
DA AC
=
．∴2AC AD CE =?． （3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA . ∵AD ∥OC ，∴∠F=∠BOC =90°.
∵∠ABC =15°，
∴∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°. ∵OA=OB ，
∴∠FOA =∠OBA ＋∠OAB =60°，∠OAF =30°. ∴1
2
OF OA =
. ∵AD ∥OC ，∴△BOC ∽△BFD ． ∴
BC BO BD BF =．∴2BC BO OA CD OF OF ===，即
BC
CD
的值为2. 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得3
，OM =2r ，30MOE ∠=?，
3tan 30ME OM =??=
，BE 23，AE 3，所以2BC BE
CD EA
==. 16．如图⑴，⊙O 的直径为
AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在上取一点D ，分别
作直线ED CD 、，交直线AB 于点M F 、.
⑴求COA ∠和FDM ∠的度数； ⑵求证：FDM ?∽COM ?；
⑶如图⑵，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在上，仍作直线ED CD 、，
分别交直线AB 于点M F 、.试判断：此时是否仍有FDM ?∽COM ?成立？若成立请证明你
的结论；若不成立，请说明理由。 （1）（第16题）（2）
16．解：（1）∵AB 为直径，AB CE ⊥，∴?
?
=AE AC ，EG CG =.
在COG Rt ?中，∵OC 2
1
OG
=
，∴ο03G O =∠C .∴ο60=∠COA . 又∵o
60COA AC CAE 2
1CDE =∠===∠??的度数的度数的度数的度数,
∴ο
120CDE 180o =∠-=∠FDM .
（2）证明：∵ο
120COA 180o
=∠-=∠COM ,∴FDM COM ∠=∠.
B
C
A
F
E
O
D
图4
在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，??
?==EG
CG GM
GM ，
∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.∴E G C G M M ∠=∠. 又∵E G M DMF ∠=∠，∴DMF OMC ∠=∠. ∴FDM ?∽COM ?
（3）结论仍成立.证明如下： ∵CDE 180o
∠-=∠FDM ，
又∵的度数的度数的度数的度数COA CA CAE 2
1CDE ∠===∠??
，
∴COM COA 180o
∠=∠-=∠FDM . ∵AB 为直径，AB CE ⊥， 在CGM Rt ?和EGM Rt ?中，
??
?==EG
CG GM
GM ， ∴CGM Rt ?≌EGM Rt ?.
∴E G C G M M ∠=∠.∴FDM ?∽COM ?.
三、圆与三角函数综合
17．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）。
⑴求⊙O 半径；
⑵求sin HAO ∠的值；
⑶如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ?是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin CGO ∠的大小怎样变化？请说明理由。
图1图2
17．(1)点()4,3D
在⊙O 上，∴⊙O 的半径5r OD ==。
（2）如图1，联结HD 交OA 于Q ，则HD ⊥OA 。联结OH ，则OH ⊥AH 。 ∴∠HAO=∠OHQ。∴3
sin sin 5
OQ HAO OHQ OH ∠=∠==。 （3）如图2，设点D 关于
y 轴的对称点为H ，联结HD 交OP 于Q ，则HD ⊥OP 。
又DE=DF ，∴DH 平分∠BDC。
∴??BH
CH =。∴联结OH ，则OH⊥BC。 图1图2
∴∠CGO=∠OHQ。
∴3
sin sin 5
OQ CGO OHQ OH ∠=∠=
= 四、圆与二次函数（或坐标系）综合
18、如图，⊙M 的圆心在x 轴上，与坐标轴交于A （0，3）、B （－1，0），抛物线2
33
y x bx c =-++经过A 、B 两点．
（4） 求抛物线的函数解析式；
（5） 设抛物线的顶点为P ．试判断点P 与⊙M 的位置关系，并说明理由； （6） 若⊙M 与
y 轴的另一交点为D ，则由线段PA 、线
段PD 及弧ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？
18．解：（1）∵抛物线经过点A 、B ，
∴??
???+--==.330,3c b c 解得??
???==.
3,33
2c b ∴
.
3332332++-=x x y （2）由33
32332++-
=x x y 得.334)1(332+--
=x y ∴顶点P 的坐标为（1，3
34）． 在Rt△AOM 中,MA 2
－MO 2
=OA 2
,OA=3,OB=1, MA 2
－(MA －1)2
=3,∴MA=2.
∴MB=2,MO=1,即点O 的坐标为（1，0）． ∴MP=
3
3
4＞2.∴顶点P 在圆外； （３）连结OD ，∵点M 在抛物线的对称轴上, ∴MP ∥y 轴,∴PAD OAD S S ??=.
∴由线段PA 、线段PD 及弧ABD 形成的封闭图形PABD 的面积=扇形OAD 的面积. ∵在Rt△AOM 中,sin ∠AMO=
2
3
,∴∠AMO=60°. ∴封闭图形PABD 的面积=
212043603
MA ππ
?=
19．如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，
B 两点，开口向下的抛物线经过点A ，B ，且其顶点P 在⊙
C 上． （1）求∠ACB 的大小；
（2）写出A ，B 两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；
若不存在，请说明理由．
19．解：（1）作CH ⊥x 轴，H 为垂足．
∵CH =1，半径CB =2， ∴∠HBC =30°． ∴∠BCH =60°． ∴∠ACB =120°． （2）∵CH =1，半径CB =2，
∴3=
HB ，故(130)A -，，)031(，
+B ． （3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P 的坐标为（1，3）．
设抛物线解析式为2
(1)3y a x =-+，把点)031(，+
B 代入解析式，
解得1a =-．所以
2
22y x x ∴=-++． （4）假设存在点D 使线段OP 与CD 互相平分，则四边形OCPD 是平行四边形．
所以，PC OD ∴∥且PC OD =． ∵PC y Q ∥轴，∴点D 在y 轴上．
∵2=PC ，∴2OD ∴=，即)20(，
D ． ∵)20(，D 满足2
22y x x =-++， ∴点D 在抛物线上．
∴存在)20(，D 使线段OP 与CD 互相平分．
20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙1O 与x 轴交于A B 、两
点，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2
y x bx c =-++的图象经过A B 、两点，其顶点为F ．
（1）求b
c ，的值及二次函数顶点F 的坐标； （2）将二次函数2
y x bx c =-++的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C ，在经过点B 和点()0,3D
-的直线l 上是否存在一点P ，使PAC ?的周长
最小，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 20.解：（1）由题意得，
A (1,0),
B (3,0).
则有10930.b c b c -++=??
-++=?，解得4,
3.
b c =??=-?
∴二次函数的解析式为()2
24321y x x x =-+-=--+．∴顶点F 的坐标为（2，1）．
（2）将
()2
21y x =--+平移后的抛物线解析式为2y x =-，其顶点为C (0,0).
∵直线l 经过点B （3，0）和点D （0，-3），∴直线l 的解析式为3y x =-．
作点
A 关于直线l 的对称点A '，连接BA '、CA '， ∴AA '⊥直线l ，设垂足为E ，则有A E AE '=， 由题意可知，45ABE ∠=?,2A
B =，
∴45EBA '∠=?，2A B AB '==．∴90CBA '∠=?.
过点A '作CD 的垂线，垂足为F ,∴四边形CFA B '为矩形．
3FA OB '∴==．∴()3,2A '-．
∴直线CA '的解析式为
23
y x =-.
2,33.y x y x ?=-???=-?Q 的解为9,5
6.5x y ?
=???
?=-??
∴直线CA '与直线l 的交点为点96,55P ??- ??? 五、以圆为背景的探究性问题
21．下图中,图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：
第一次划分：如图(2)所示，以OA 的一半OA 1的长为半径画弧交OA 于点A 1，交OB 于点B 1，
再作∠AOB 的平分线，交?AB 于点C ，交?11A B 于点C 1，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形
OAB 、扇形OAC 、扇形OCB 、扇形OA 1B 1、扇形OA 1C 1、扇形OC 1B 1；
第二次划分：如图(3)所示，在扇形OC 1B 1中，按上述划分方式继续划分，即以OC 1的一半OA 2
的长为半径画弧交OC 1于点A 2，交OB 1于点B 2，再作∠B 1OC 1的平分线，交?11B C 于点D 1，交?22
A B 于点D 2，可以得到扇形的总数为11个；
第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分； ……
依次划分下去.
(4) 根据题意,完成右边的表格；
(5) 根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总
数为2008个?为什么?
(6) 若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m °，且扇形的半径OA 的长为
R ．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形11OA C （或扇形
11OC B ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S 1；把图(3)
第二次划分的最小扇形面积记为S 2；……，把第n 次划分的最小扇形面积记为S n..求1
n
n S S -的值. 21．解：（1）
（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n 不存在；
（3）
22
111
122223603608
n n n n n n m R m R S S ππ---???????? ? ?????=÷
=． 22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作?AOB AB ∠@（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作??1()2
AOB AB CD ∠+@
（如图①）请回答下列问题： （1）如图②，猜测?
?APB AB CD ∠与、有怎样的等量关系,并说明理由； （2）如图③，猜测?
?APB AB CD ∠与、有怎样的等量关系,并说明理由. （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
22
??)AB CD +EF o P 于E 、F 、M
AB CD ∴+
=??EM NF +（2）??1
()2
PAB AB CD
∠-@，理由如下： 过O 点分别作,EF AC MN BD o P P e 交于E 、F 、M 、N ，
??AB CD
∴-=??EM NF + 23．已知：半径为R 的⊙O '经过半径为r 的⊙O 圆心，⊙O '与⊙O 图②
图① 图③
（1）如图1，连接O O '交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于点A 、B ，求OA OB g 的值；
（2）若点C 为⊙O 上一动点.
①当点C 运动到⊙O '内时，如图2，过点C 作⊙O 的切线交⊙O '于A 、B 两点．请你探索
OA OB g 的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙O '外时，过点C 作⊙O 的切线，若能交⊙O '于A 、B 两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索OA OB g 的值（只写出OA OB g 的值，不必证明）．
23．解：（1）如图1，延长OO ′交⊙O 于点D ，连接AD ．
∵OD 是⊙O ′的直径，∴∠DAO=90°． ∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB ． ∴∠BCO=∠DAO=90°． 又∠B=∠D ，∴△BOC ∽△DOA ． ∴
OB OC
OD OA
=
．∴OA?OB=OC?OD=2Rr ． 即OA?OB=2Rr ．
（2）①答：OA?OB=2Rr 不变．
理由：如图2，作⊙O ′的直径OD ，连接AD 、OC ， ∴∠DAO=90°．
∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴∠BCO=90°． ∴∠BCO=∠DAO ．又∠B=∠D ， ∴△BCO ∽△DAO ．∴
OC OB
OA OD
=
． ∴OA?OB=OC?OD=2Rr ． ②答：OA?OB=2Rr 不变． 画图如图3．
中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中，
∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C 是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E． （1）求证：AE⊥DE； （2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
圆的综合大题
二次函数与圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的 速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式 （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积． 3、如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作 PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 圆中综合题复习专题 第一组 1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________． 解：由题意知B ?A.当a<1时，B ＝?，满足题意；当a ＝1时，B ＝{(0，2)}，满足题意；当a>1时，则集合A ，B 分别表示圆面x 2＋y 2≤16与圆面x 2＋(y －2)2 ≤a －1，由题意得B 内含于A ，从而4－a －1≥2，解得a ≤5.综上，a ≤5. 2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条. 解以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5) 2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线. 3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________． 解：点P (3，1)与圆心C (1，0)PA 2,则以P (3，1)为圆心，以2为半径的圆P 方程为(x －3)2＋(y －1)2 ＝4,则两圆的交点即为A ，B ，两圆相减可得AB 的方程为2x ＋y －3＝0． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ： ()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22 669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________． 解：由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，设C (a ，0），则(a ﹣4)2+(0﹣8)2+1=(a ﹣6)2+(0+6)2+9，∴a =0，∴圆C 的方程是x 2+y 2=81． 5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________． 15+，解得a =± 51=-，得0a =.综上 a =±0． 6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________． 解:由题意知以A(2，2)为圆心，1为半径的圆与以B(m ，0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋ 4<16，所以－23＋2 圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论． 3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小． 5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由． 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 圆综合复习 1、如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D 两点（A在D的下方）， AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB． （1）求B、C两点的坐标； （2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出 ∠MQG的度数；若变化，请说明理由． 2．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个 点， =，连接AB、AD、BD，弦AB不经过 圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F 是EC的中点，连接BF． （1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°， 求劣弧的长； （2）求证： BF=BD； （3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系． 3．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O 的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s） （1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为°； （2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）； （3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）． 4.如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5， BC＝8，cos B＝4 5 ，点P是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E 的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 备用图 5.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒ AC上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. （1）求证：△PAC∽△PDF； （2）若AB=5，⌒ AP = ⌒ BP，求PD的长； （3）在点P运动过程中，设x BG AG =， y AFD= ∠ tan，求y与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围） tan AE AFD FE ∠=， 中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一．教学内容: １．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 (9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ? 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示: 圆的综合问题 一、 填空题 1. “k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的 条件. 2. 直线y ＝kx ＋1与圆M ：x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是 . 3. 已知直线y ＝kx ＋1与圆（x －3）2＋（y －2）2＝9相交于A ，B 两点.若AB>4，则实数k 的取值范围是 . 4. 过点P （－4，0）的直线l 与圆C ：（x －1）2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 . 5. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 . 6. （2017·苏北四市期末）已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆 C 2：（x －3）2＋（y －4）2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为 . 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2 ＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点， 其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为 . 二、 解答题 9. 已知圆C 经过点A （－2，0），B （0，2），且圆心在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点. （1） 求圆C 的方程； （2） 若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值. 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B . (1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 1 2 ，求AB 和FC 的长． 【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403 CF = 【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可； （2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解. 详解：⑴证明：连结OC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90° ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠B=∠FCA ∴∠FCA+∠OCA=90° 即∠OCF=90° ∵C 在⊙O 上 ∴CF 是⊙O 的切线 ⑵∵AE=4，tan ∠ACD 1 2 AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ∴AD AC = ∵∠FCA ＝∠B ∴∠B=∠ACD=∠FCA ∴∠EOC=∠ECA ∴tan ∠B=tan ∠ACD=1 =2 CE BE ∴BE=16 ∴AB=20 ∴OE=AB÷2-AE=6 ∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90° ∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE = 即 106=8 CF ∴40CF 3 = 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目. 2．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动． （1）当t =0时，点F 的坐标为 ； （2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离； （3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离； （4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值． 2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵ 上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵ 的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等． 第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2， ∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°， 又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°； 第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°， 当点P 移动到CB ︵ 的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值． 第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ， 中考数学综合题专题圆专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于 点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（） （A）3（B）3（C）3（D）3 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的3，那么这个圆 柱的侧面积是（） （A）100π平方厘米（B）200π平方厘米 （C）500π平方厘米（D）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问 题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足 为E，CE＝1寸，AB＝寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（） （A）3寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O 于点A，PA＝4，那么PC的长等于（） （A）6 （B）23（C）23（D）23 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（） （A）2厘米（B）23厘米（C）4厘米（D）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10 厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（） （A）7厘米（B）16厘米（C）21厘米（D）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝3，AO的延长线交BC 于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（） 3（B）3（C）3（D）3 （A） 8．（重庆市）一居民小区有一正多边形的活动场．为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12π平方米．若每个花台的造价为400元，则建造这些花台共需资金（） （A）2400元（B）2800元（C）3200元（D）3600元 9．（河北省）如图，AB是⊙O直径，CD是弦．若AB＝10厘米，CD＝8厘米，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（） （A）12厘米（B）10厘米（C）8厘米（D）6厘米 10．（河北省）某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为3，AB＝6厘米，点 B到点C的距离等于AB，∠BAC＝3，则工件的面积等于（） （A）4π（B）6π（C）8π（D）10π 11．（沈阳市）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线且过圆心，PA＝4， PB＝2，则⊙O的半径等于（） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 12．（哈尔滨市）已知⊙O的半径为33厘米，⊙3的半径为5厘米．⊙O与⊙3相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6厘米（圆心O、3在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O3的长为（） （A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米 13．（陕西省）如图，两个等圆⊙O和⊙3的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（）（A）3（B）3（C）3（D）314．（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝3，则∠ABD＝（） （A）3（B）3（C）3（D）3 15．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为3，则弧所在的圆的半径 为（） 3（C）12 （D）18 （A）6 （B）6 16．（甘肃省）如图，在△ABC中，∠BAC＝3，AB＝AC＝2，以AB 为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（） 中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32 中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案 一、圆的综合 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长． 【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线； （2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此解答即可． 【详解】 （1）如图所示，连接OD． ∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴?? BD CD =，∴OD⊥BC． 又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM． 又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线． （2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE． ∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即 ∠BED=∠DBE，∴BD=DE． 又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB DB DA =，即DB2=DF?DA． ∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF?DA=12，∴DB=DE=23． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为?AB，P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，连接PQ. 发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________； 思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求?BQ的长； （2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积； 探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离． 【答案】发现： 90°，102；思考：（1） 10 3 π =；（2）25π?1002+100；（3）点O 到折痕PQ的距离为30. 【解析】 分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论； 思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论； （2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论． 探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩 形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=1 2 OO′=30． 详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=22 OA OB +=102； 思考：（1）如图，连接OQ， 中考数学易错题精选-圆的综合练习题含详细答案 一、圆的综合 1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值. 【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142 2 =x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出 DM ME BD AE =，进而得出AE =1 22 x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD ==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ． （2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =1 22x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==， ∴ 22 DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ 圆的综合练习题答案 1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. （1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°. ∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°. ∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-= AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ .AE BE AD AB = .6 524=AD 即 ∴ 5 5 12= AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D. （1）求证：FD 是⊙O 的切线； （2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A. ∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°. 又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°. ∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分 （2）连接BC （如图②）， ∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 2 1 = .……………3分 ∴△OEG ∽△CBG. 图② 中考专题复习圆的综合题 1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线； （2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3 2，tan ∠AEC =35 ，求圆的直径． 2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点 C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作C D ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 3．（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A 、 B 重合），连接PA 、PB 、P C 、P D ． (1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形； (2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、 △PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ）， 试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值． 4、 5．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB ⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． （1）求证：PM＝PN； （2）若BD＝4，PA＝3 2 AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 6．（如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. 2017 年圆综合大题 8.（2011年苏州市?第26题8分）如图，已知AB 是⊙ O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB 上的任意一点（不与点 A 、B重合），连接CO并延长CO交于⊙ O于点D，连接AD．（1）弦长AB 等于▲ （结果保留根号）； （2）当∠ D＝20°时，求∠ BOD 的度数； （3）当AC 的长度为多少时，以 A 、C、D 为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 9．（2012年苏州市第27题满分8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l 的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC 的长为x（2 11．（2014?苏州第27题8分）如图，已知⊙ O上依次有A、B、C、D四个点，= ，连 接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF ． （1）若⊙ O 的半径为3，∠ DAB =120°，求劣弧的长； 2）求证：BD； （3）设G 是BD 的中点，探索：在⊙ O 上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF ？并说明PB 与AE 的位置关系．江南汇教育网 12．（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD 是△ABC的角平分线，△O经过A、B、D三点，过点B作BE△AD，交△O于点E，连接ED． （1）求证：ED△AC； 2 （2）若BD=2CD，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S1216S2 4 0，求△ABC 的面积． 13．（2016年苏州第26 题10 分）如图，AB 是△O 的直径，D、E 为△O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C，使得CD=BD，连接AC 交△O 于点F，连接AE 、DE 、DF ． （1）证明：△E= △C； （2）若△E=55 °，求△BDF 的度数； （3）设DE 交AB 于点G，若DF =4，cosB = ，E 是的中点，求EG?ED 的值．圆中综合题复习专题
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