30幂的运算(提高)知识讲解
幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
+?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： ()()n m
mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数).
（2）逆用公式：()n
n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010
101122 1.22?????=?= ? ?????
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)35(2)(2)(2)b b b +?+?+；
(2)23(2)(2)x y y x -?- ．
【答案与解析】
解：（1）353519(2)(2)(2)(2)
(2)b b b b b +++?+?+=+=+． （2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -?-=-?--=--．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
()()(),n n
n a n a a n ??-=?-??为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ?-?-=?--??为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；
（3）22412()()m m x x -+?； （4）3234()()x x ?．
【答案与解析】
解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ?=--=--．
（2）32235()()2y y y y +-?666662220y y y y y =+-=-=．
（3）22412()()m m x x -+?4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=?=?=．
（4）3234()()x x ?61218x x x =?=．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
3、（2015春?南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣
9，求x+2y 的值． 【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．
【答案与解析】
解：根据2x =23（y+2），32y =3x ﹣
9，
列方程得：， 解得：， 则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三：
【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322
m m m m a b a b b +-?＝ ． 【答案】－5； 提示：原式()()()()23223232m m m m a
b a b =+-? ∵
∴ 原式＝23222323+-?＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -?- 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-???=-．
（2）24333[()]a a b -?-231293636274227()()()a a b a a b a b =-?-=-?-?=．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()3
6933a a = ④()()57355107103510???=? ⑤()()1001001010.520.522-?=-??
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】A ；
提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；
()()5712135107103510 3.510???=?=?
【变式2】（2015春?泗阳县校级月考）计算：
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
（2）（2）20?（）21．
【答案】
（1）a4?（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4?9a6＋16a10
=9a10＋16a10
=25a10；
（2）（2）20?（）21．
=（×）20?
=1×
=．
5、（2016秋?济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．