微分积分公式
高中大学数学微分与积分公式（全集）
⑵ lim 1 x e (3) lim n
a(a o) 1
x 0
n
(11) lim x x
1
x 0
三、下列常用等价无穷小关系（X
0）
sinx: x tanx: x
arcsinx: x
arctanx: x 1 cosx :
1 2 x 2
ln 1 x : x
e x
1: x
a x
1 : xln a
1 x 1 : x
四、导数的四则运算法则
a 。
b 。
n m
0 n m
（系数不为0的情况）
n m
n
n 1
[
..a °x a i x L a .
lim —- —
x b o x b 1x
L
b m
（高中大学数学）
1 _
二、重要公式（i ）lim
Si — x
x 0
⑷lim 折 1
n
(7)
limarccot x
(5) limarctan
x
(8) lim arccot
x
(6) lim arc
tanx
x
(10) lim e x
x
⑼ e x e x
⑽ a x a x
ln a
(ii) In x -
x
(12) log a x
(13) arcsinx
(14) arccosx
(15) arctanx
1
2
(16) arccot
x
2 (17)
x
1 (18) \ x
1
2、
1
1 1
u v u v uv u v uv u u v uv v 2 v
五、基本导数公式
⑴c 0 / \ 1
⑵x x ⑶s in x cosx
⑷ cosx sin x
2
⑸ tanx sec x ⑹cot x
2
csc x
⑺ secx secx tan x ⑻ cscx cscx cot x
六、高阶导数的运算法则
(1) u x v x ⑵cu
n cu
n
⑶ u ax b ax n
k
C n u
v（k）
七、基本初等函数的n阶导数公式
n
n
(1) x n!
ax b
⑵e
ax b
e I
n
sin ax b
n .
a sin ax
cos ax
n
a cos ax
八
、
(12) d
(15) d ax b
n
n a n!
n 1
ax b
I
n
ax n
ax b
微分公式与微分运算法则
1dx sin
x
cosxdx cosx sin xdx ⑸ d
secx secx tan xdx
x x
e e dx
log a x
1 dx xln a
arcta nx dx
1 x2
九、微分运算法则
⑴ d u v du dv
tanx
⑶ d uv vdu udv
十
、
基本积分公式
kdx kx c
a x dx
ln
a se€
xdx
cotx csc xdx
cscx cscx cot
xdx
In
adx
(ii)
d
In
x
-dx
x
(13) d arcs in x
1
dx (14) d
.1 x2
arccosx dx
e x dx x dx
(16)
d
arccotx
cu
dx
x
cdu
vdu
dx
udv
2 v
In
x
cosxdx sin x c
sin
xdx cosx c
1 ~~2~
sin x
csc xdx cot x c
dx cos x
dx 1 x 2
sec xdx tanx
arctanx c
积分型
换兀公式
1
f ax b d^
- f ax b d ax b a
u ax b
1 1
f x x dx — fxdx u x
1
f In x -dx
f In x d In x
x
u In x
r
x
X 」
r
X 」
x
f e e dx f e d e
x
u e
1
r x X 」 1 r x . x f a a dx ------- f a d a x
u a
f sin x cosxdx f sin x d sin x u sin x
f cosx sin xdx f cosx d cosx u cosx
f tan x sec xdx
f tan x d tan x
u tanx f cotx csc xdx f cotx d cotx
u cotx
1
f arctan x
2
dx f arcta n x d arcta n x
1 x 2
u arcta nx
1
f arcsinx -------- dx
f arcsi nxd arcs in x
4T7
u arcs in x
=dx arcs in x c 2 x
F 列常用凑微分公式
十二、补充下面几个积分公式
1 :
(ii)
1
1 |x a
-2
2 dx In
c
x a 2a
|x a
cotxdx In sin x c cscxdx In cscx cotx c
tan xdx In cosx c
secxdx In secx tan x
c
1 , 1 x
2 2 dx — -arcta c a x a a
_1_ —a^?
dx arcsin c
十三、分部积分法公式
⑴形如 n ax x e dx ,令 u x n ,dv e 1
ax i
dx 形如 x n sin xdx 令
u
x n
,dv sin xdx 形如
x n cosxdx 令
u
x n
,dv cosxdx
⑵形如 x n arctanxdx ，令 u arctanx , dv x n dx 形如 x n In xdx ,令 u ln x , dv x n
dx
⑶形如 ax
e sin xdx , e ax cosxdx 令 u e ax
,sinx,cosx 均可。
第二换元积分法中的三角换元公式
十四、
【特殊角的三角函数值】
十五、三角函数公式
1、两角与公式
2、二倍角公式
2ta nA
2
1 tan A
sin2A 2sin AcosA
cos2A
cos 2
A sin 2
A 1 2sin 2
A 2cos 2
A 1
(1) . a 2 x 2
x a si nt
x ata nt (3).x 2 a 2
asect
(i)s inO
⑵sin
6
三(4)sin-
1) (5) sin
2 2
(i)cos0
(2)
cos —
、.3
(3) cos — 1 ⑷cos —
0)⑸ cos
2
2
(1)tanO
⑵ tan
— ⑶ tan -
」3 (4) tan —不存在 (5) tan
2
(1) cot0不存在
⑵ cot
—
⑶ cot —
Uot-
3
2 0 (5) cot 不存在
sin( A B) sin AcosB cos As in B
sin( A B) sin A cos B cos A sin B cos(A
B) cos A cosB sin A sin B
cos(A B) cos A cos B sin Asin B
tan(A B) tan A tanB cot(A B)
1 tan Atan B cot A cot B 1 tan (A B) tanA tanB cot B cot A
cot(A B)
1 tan AtanB cot A cotB 1 cot B cot A
tan2A
3、半角公式 .A 1 cos A sin
2 A [1 cos A cos —
2
tan^ 2 1 cos A
sin A 1 cos A 1 cos A 1 cos A cod
2
1 cos A
4、与差化积公式 si
na si nb
2si n a sin A cos A
cosa
cosb 2cos ib a b cos — 2 2 a b a b cos — 2
tana tan
b sin a b
cosa cosb 5、积化与差公式 1 . cos a b
2 1 . sin 2 sin asi n b sin acosb
6、万能公式 c 丄 a
2ta n 2
a 2 si na 1 tan 2
7、平方关系 .2 2 sin x cos x 8、 倒数关系 tanx cotx 1 9、 商数关系 丄 sin x tanx cosx 几种常见的微分方程 六、
1、可分离变量的微分方程
2、齐次微分方程煜
3、一阶线性非齐次微分方程 sin a sinb 2cos —
2
2si 门红
2
cosa cosb
.a b sin
2 .a b sin
cos sin a cosa sec x ta n secx cosx cotx cosacosb cosas in b 2 a tan 2
-
2 .2 a tan
2
tana
cos a sin a
—a 2ta n
2
2 a
1 tan
2
cos a b sin a b
cosx sin
x
csc 2
x cot 2
x
cscx sinx 1
:dy
dx :
dy
dx
x g 1 y dx f 2
x g 2 y dy 0
p x dx
解为:
x dx
dx c