8.1__椭圆及其标准方程
第1节 椭圆及其标准方程
三点剖析：
一、教学大纲及考试大纲要求：
1. 掌握二元一次不等式表示的平面区域
2. 理解线性规划的意义和线性约束条件,线性目标函数,可行解,可行域,最优解等基本概念
3. 掌握线性规划问题的图解法,并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题. 二、重点与难点
1．重点是理解二元一次不等式表示的平面区域；
2．把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点 三、本节知识理解
本节主要学习内容是二元一次不等式（组）表示的平面区域以及线性规划的问题。
关于0Ax By C ++>表示的区域，常用特殊点带入检验，若0C ≠，常把原点带入；若0C =，则另选一些容易计算的特殊点带入检验。线性规划主要解决物资调运，劳力（或产品）安排，合理配方（或下料）等问题。主要步骤是(1)审题；（2）设相关元，列出目标函数和线性约束条件（不等式组）；（3）作出可行域；（4）找最优解，确定目标函数的最值；（5）回答实际问题。
求线性规划的最优解，有时是整数解要根据实际问题取不足近似值或过剩近似值，一般方法有：（1）平移直线法，由网格观察最优解；（2）检验优值法，当可行域内整数点个数比较少时，可逐一带入检验；（3）调整优值法，先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的只是调整最优值，最后筛选最优解。
精题精讲
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-
,2
5） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=+b
y a x )0(>>b a
9
454
,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a
所以所求椭圆标准方程为9
252
2=+y x
⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
12
2
22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，
22)225()23(2++-=a ＋22)22
5
()23(-+-
102
11023+=
102= 10=∴a 又2=c
6410222=-=-=∴c a b
所以所求标准方程为
16
102
2=+x y 另法：∵ 42
222-=-=a c a b
∴可设所求方程14
2
2
22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；
题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.
选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查c b a ,,关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：
)0(122
22>>=+b a b
y a x
∵100)35(0)35(222=+-+++=
a ，2c =6.
∴3,5==c a
∴16352
2
2
2
2
=-=-=c a b
∴所求椭圆的方程为：116
252
2=+y x .
(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
)0(12
2
22>>=+b a b x a y . ∴.1442
22=-=c a b
∴所求椭圆方程为：
1144
1692
2=+x y 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.
解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(12
2
22>>=+b a b y a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)
∴?????==∴???????=+=+14a 11010
22
22
2222
b b a b a 故所求椭圆的标准方程为14
22
=+y x （２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：
)0(122
22>>=+b a b
x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴362
2
2
=-=c a b .
∴所求椭圆的标准方程是
136
1002
2=+x y . 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值. (2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2
5
,23与-
，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(12
2n m n m n
y m x ≠>>=+ 则有 ?
???
???=+=+-1)5()3(1)25()23(2
222
n m
n
m ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为
10
62
2=+y x 例5 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且A
B C ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程
坐标
解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角
系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得,3,5===b c a
所以顶点A 的轨迹方程为
116
252
2=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件
例6 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP
ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为2
1
，求点M 的轨迹）
),(y x ，
解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为则P 的坐标为2,(y x
因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)2(2
2
=+y x ，即 14
22
=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是
14
22
=+y x
（2）当M 分 PP ˊ之比为
21时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2
3
,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，
所以有 4)23(22
=+y x ，即
116
9422=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是116
942
2=+y x 例7 已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14
2
2=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -
因为点Q 为椭圆1422=+y x 上的点， 所以有
1)2(4
)12(22
=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)2
1(2
2=+-y x
例8 长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3
2，求点M 的轨迹方程
解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为)2
5
,
0(y 因为2||=AB ，
所以有 4)25(
)3
5
(22
=+y x ，即44
2592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是44
259252
2=+y x 例9 已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已
知圆内切且
过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程
分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：
MP MQ -=8
上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为
86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦
点的椭
圆
解 已知圆可化为：()64322
=+-y x
圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径 又圆M 和圆Q
内切，所以MP MQ -=8， 即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，
72=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：
71622=+y x 基础达标
1.设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则动点M 的轨迹是 （ ）
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段 答案：D
2.椭圆
17
162
2=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）
A.32
B.16
C.8
D.4 答案：B
3.设α∈(0,2π)，方程
1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈ （） A.(0,4π] B.(4π,2π
) C.(0,4π) D.［4π,2
π)
答案：B
1.已知椭圆
116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 （ ）
A.2
B.3
C.5
D.7 答案：D
2.已知椭圆方程为
111
202
2=+y x ,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.331 D.31 答案：A
3.已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （2
3
,25-），则椭圆标准方程是 .
答案：
16
102
2=+y x 4.过点A （-1，-2）且与椭圆1962
2=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是 . 答案：16
32
2=+y x 5.过点P （3，-2），Q （-23，1）两点的椭圆标准方程是 .
答案：
15
252
2=+y x
综合发展
椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)
2.2.1椭圆及其标准方程（1） 教学目标: 重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点：椭圆标准方程的建立和推导． 知识点：椭圆定义及标准方程. 能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏 数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法. 教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义； 2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法. 考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题 易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错. 拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程. 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 【创设情景】 材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.
材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片． 【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？ 【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导: 按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件） 思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？ 1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律： 当1212||||||MF MF F F +> 时, M 点的轨迹为椭圆；
第2课椭圆及其标准方程(2)
第2课 2.1.1椭圆及其标准方程（2） 类型四、与椭圆有关的轨迹问题 【课堂主体参与】 例1、（课本P34例2）在圆42 2=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹是什么？为什么？ 练习1、（课本P43 B 组第1）如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且2 3=DP DM ，当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 与上述例题相比，你有什么发现？ 例2、（课本P35例3）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-. 直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94- ，求点M 的轨迹方程. 练习2、已知ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为()()0,5,0,5-，且BC AC ,所在直线斜率之积等于)0( 练习3、课本P36练习4 例3、（课本P42第1题）如果点),(y x M 在运动过程中，总满足关系式 10)3()3(2222=-++++y x y x ，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 练习3、（课本P42第7题） 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点. 线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？ 【课堂检测反馈】 1、已知两定点)0,2(),0,2(21F F -，动点M 到两定点的距离之和为M 2、已知 ?ABC 的周长为36，求?ABC 的顶点C 的轨迹方程。 【拓展深化】 1、求过点)0,2(A 且与圆03242 2=-++y x x 内切的圆的圆心C 的轨迹方程. 2、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆81)3(:222=+-y x O 内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程. A P O Q l 《椭圆及其标准方程》评课稿 椭圆及其标准方程，本节课选自人教版高中数学教材第二册（上）第八章圆锥曲线方程第一节（两课时）第一课时。纵观这节课的教学过程，有以下几个特点： 1、创设问题情景激发学习兴趣 在教学过程中，使学生体验数学的意义，经历数学知识的形成与应用过程。从实例中激发兴趣。新教材的一个特点是数学问题的生活化。在本节课的教学过程中，教师从生活中的实例：一些天体运行轨道，油罐车的截面，镜子等，使学生头脑中初步形成椭圆的形象，较好的体现了数学来源于生活、应用于生活的本质。 2、探究有效的学习过程，挖掘学生的学习潜能 《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”数学教学过程是学生在教师的组织和引导下，进行积极主动参与学习的过程，其核心是调动全体学生积极主动地参与到学习的全过程。它不仅仅是一个认识过程，更重要的是让学生参与实践操作活动，亲自体验数学知识，主动获取知识的过程，同时也有助于提高学生的学习兴趣，激发求知欲。勇老师在引导学生探究椭圆定义产生过程，让学生动手实验。教师充分为学生创设操作和实践的机会，让学生在实验的过程中，体验定义产生过程。 3、营造探究氛围引导合作交流 教师在课堂上努力营造学生自主探究和合作交流的氛围，有意识的给学生创造一个探究问题的平台。课程改革的目的之一就是促进学生学习方式的转化，加强主体性和探究性。本节课上通过师生共同探讨椭圆图形的画法及其标准方程的推倒，让学生体会椭圆的形成过程，图形的对称性，方程的推导中不同的建系方式以及不同结果的比较。体现了自主学习与合作学习的协调发展，极大发挥了学生的想象力，学生通过充分探讨提出了不同的答案，享受成功的喜悦。 4、巩固基础知识训练基本技能 在问题解决的过程中，巩固基础知识和基本技能。本节内容是椭圆定义及其标准方程的推导，建立椭圆的概念，用其推导方程这也是新教材的特点。遵循这 椭圆及其标准方程 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 椭圆单元练习卷 一、 选择题： １.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ） A. 22143x y + = B. 22134x y += C. 2214x y += D. 22 14 y x += ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) A 185 80145 20125 20120 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 5 D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( ) A. 1 2 B. 2 C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ） A. 221169x y + = B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 22 1254 x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A 16x 2＋9y 2＝1 B 16x 2＋12y 2＝1 C 4x 2＋3y 2＝1 D 3x 2 ＋4 y 2＝1 《椭圆及其标准方程》教学设计说明 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科. 从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。 二、教学目标设置 1.课程目标 （1）了解圆锥曲线与二次方程的关系； （2）掌握圆锥曲线的基本几何性质； （3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想. 2.单元目标 （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质； （3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质； （4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题； （5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 3.本节课教学目标 （1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨 人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体 幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 课题：椭圆及其标准方程 教材： 人教社《全日制普通高级中学教科书》（试验修订本?必修）数学? 第二册（上） 授课教师： 联系方式： 一、教学目标 （1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推 导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 （2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探 索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ M 2 F 1F 高中数学《椭圆及其标准方程(2)》公开课教案 一、教学目标： 知识与技能： ①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程; ②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。 过程与方法： ①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。 ②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观： ①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神. ②通过探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。 难点：掌握求椭圆方程的基本方法。 三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境： 如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程. （复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案） 回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。 回顾旧知： 1．椭圆的定义： 我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。 2．椭圆的标准方程 焦点在X 轴的椭圆的标准方程为: 焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . （二）新知探究: 1.口答练习：（提问学生完成以下问题） ①方程 19 452 2=+y x 表示到焦点F1 和F2 _____的距离和为常数____的椭圆; ②求满足下列条件的椭圆的标准方程 ③如果方程1m y 4x 2 2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． ④ 已知?ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。 （1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。 2.探究1： 已知椭圆两个焦点的坐标分别是1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2 3 ,25(-，求 它的标准方程. 先让学生自己思考，然后引导学生得出：可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解。 教师指出：注意椭圆有两种标准方程，要正确选择。 法1.定义法： 12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3 ==a c 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 椭圆及其标准方程(第1课时) 一、内容和内容解析 内容：椭圆的定义及其标准方程的推导． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－1第二章第2节《椭圆》第1课时内容．在此之前学习了曲线与方程以及圆的方程，初步具备了解析几何的思想和用坐标法研究曲线问题的经验．另外，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，是本节和本章的重点内容．故本节课的学习有着示范性的作用．教学中应当引起充分重视．椭圆的定义，较为抽象，用细绳画椭圆的方法将椭圆定义具体化．这对学生提出了较高的思维能力要求，这也是新课程标准中的数学核心素养要求之一．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析 目标： （1）用细绳画椭圆的方法将椭圆的定义具体化，加强对椭圆定义与图形的理解，在这过程中培养学生的思维能力． （2）在椭圆方程的推导过程中，会根据椭圆的图形特征，选择合理建系方法，理解椭圆标准方程之“标准”所在；会根据式子的结构特征，选择合适的化简方法，提高运算能力．（3）理解椭圆标准方程的特征及参数a，b，c的几何意义，能根据条件利用椭圆定义法或方程的待定系数法，求出椭圆的标准方程． 目标解析： （1）对椭圆的认识，先从直观感受再到理性认识，这与历史上对椭圆的研究历程是一致的．但椭圆的定义是发生式定义，较为抽象，故借助细绳画椭圆的方法可以将定义具体化，所画图像确实与印象中的椭圆是一致的．细绳画椭圆的方法既有利于对椭圆定义的理解，还有助于对椭圆对称性的理解与分析，在这过程中培养学生的思维能力． （2）通过类比圆方程最简洁形式时，圆与坐标系的对称关系，可以找到怎样根据椭圆的图形特征建立坐标系，使得椭圆方程更简洁，并能找到各参数对应的几何意义，从而也就能更好地说明椭圆标准方程之“标准”所在．另外，在化简过程中，到底是直接两边平方还是移项后再平方，可以通过分析得到初步判断，移项后两边平方只剩下一个根号和一次式，形式更简单．但直接两边平方，利用式子对称的结构特征进行运算的话，其实也不难．所以可以借此机会与学生强调，化简方程时利用式子的结构特征可以简化运算，提高运算能力．提 高二数学椭圆及其标准方程优质课教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 课题：椭圆及其标准方程一、教学目标 学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，生活中的椭圆。 - 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。 2动画演示 思考:什么是椭圆怎样画椭圆 （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ 思考： 1、定义中的常数为什么要大于焦距 2、若常数等于焦距，轨迹是线段 3、若常数小于焦距，轨迹不存在 注: 定义是判断椭圆的方法 定义是椭圆的一个性质 （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点； （学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁） 经过比较确定方案一. 2．推导标准方程． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. M 椭圆及其标准方程1 教学目标 1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握使用待定系数法求椭圆的标准方程； 3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察水平和探索水平； 4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提升使用坐标法解决几何问题的水平； 5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识． 教学建议 教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这个节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这个章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的． （1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，能够对比圆的定义来理解． 另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性． （2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点： ①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义实行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但能够使方程的推导过程变得简单，而且也能够使最终得出的方程形式整齐和简洁． ②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会． ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项． ④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求． （3）两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同． 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大； 课题：椭圆及其标准方程 一、教学目标 学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。 二、教学重点、难点 （1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。 （2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 三、教学过程 * （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，生活 中 的 椭 圆 。 - 天体运动轨道是椭圆，有些镜子做成椭圆形状。 2动画演示 思考:什么是椭圆怎样画椭圆 （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 《 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹 2、 概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 、 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ 思考： 【 1、定义中的常数为什么要大于焦距 2、若常数等于焦距，轨迹是线段 3、若常数小于焦距，轨迹不存在 M 2 F 1 F 注: 定义是判断椭圆的方法 定义是椭圆的一个性质 （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是 @ 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1F 2的中点为原点； 方案二：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 1为原点； 方案三：把F 1、F 2建在x 轴上，以F 2为原点； （学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁） 经过比较确定方案一. 2．推导标准方程． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点， # 则 {}a MF MF M P 221=+=， ∴ 得 ()()a y c x y c x 22 22 2=+++ +-， （想一想：下面怎样化简） （１）教师为突破难点，进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子对于本式是直接平方好还是整理后再平方好 呢化简，得 )()(2 2222222c a a y a x c a -=+-． （2）b 的引入． 由椭圆的定义可知，c a 22>, ∴220a c ->． 让点M 运动到y 轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a ，c 的几何意义，进而自然引进b ，此时设 222c a b -=，于是得222222b a y a x b =+， 两边同时除以22b a ，得到方程： 图2 椭圆及其标准方程（1） 一.知识探究 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距． 2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？ 4．如何确定焦点的位置？ 二.典型选讲： 例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。 ①16410022=+y x ②125 92 2=+y x 变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。 例2.已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。 变式训练2. 椭圆136 642 2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长 三.课后作业 1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25 ＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216 ＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3.椭圆1100 362 2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 29 ＝1的焦距为________，焦点坐标为________． 5．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________． 6.求下列条件的椭圆的标准方程 : （1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5； （2）a+c=10,a -c=4 自助餐 1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12 )2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程 2.方程15 102 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10 椭圆及其标准方程教案2 教学目标: 知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程 能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力 情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神 教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程 教学难点:椭圆标准方程的推导 教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳 教学过程: 设置情景,引出题 问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片 启发诱导,推陈出新 复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式? 提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式? 引出题:椭圆及其标准方程 小组合作,形成概念 动画演示椭圆形成过程 提问:点运动时,F1、F2移动了吗?点按照什么条运动形成的轨迹是椭圆? 下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题: 在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条?其轨迹如何? 2改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗? 学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论: 椭圆 线段 不存在 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 百度文库 - 让每个人平等地提升自我！ 1 椭圆的标准方程（一） 学习目标：掌握椭圆的定义；体会椭圆的标准方程的推导过程并掌握其标准方程；运用椭圆的 标准方程形式解决有关问题. 教学重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程。 2011年9月29号，我国发射了“天宫一号”空间站，它的运行轨迹是什么？你能在生活中找到椭圆的例子吗？ 学习任务 阅读课本理P 38-P 40 (文P 32-P 34) 的有关内容，并完成下列问题。 问题1：阅读课本“探究”指出圆上的点具有怎样的几何特征？和同学合作画一个椭圆， 指出椭圆上的点的几何特征.你能用自己的语言给椭圆一个定义吗？ 问题2：对照课本，明确椭圆的定义及相关概念. 思考：在定义椭圆时，对常数加上了一个条件，即常数要大于｜F 1F 2｜，为什么要这样规 定呢?如果常数等于|F 1F 2|点的轨迹还是椭圆吗？如果常数小于 ｜F 1F 2｜，点的轨迹又会是什么图形？ 问题3：用坐标法研究椭圆，首先应求出椭圆的方程，请你想一想应如何根据椭圆的几何 特征，建立适当的坐标系. 问题4：化简方程a y c x y c x 2)()(2 2 2 2 =+-+++ 总结化简这类方程的一般方法. 问题5： 回答理P 39 (文P 33) 思考，想想为什么将12 2 222=-+c a y a x 化成122 22=+b y a x （a>b>0）？ 问题6：回答理P 40(文P 34)思考，其中a 、b 、c 满足什么关系；它与勾股定理有什么区别联系？ 问题7：看例1，回答边框“？” 必做题 A 级： 理P 42(文P 36) 1、2、3 B 级：理P 49(文P 42) 1、2 选做题 1、下列说法正确的是（ ） A 、已知F 1（-4，0），F 2（4，0），到F 1,F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B 、已知F 1（-4，0），F 2（4，0），到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C 、到F 1（-4，0），F 2（4，0）两点的距离之和等于点M （5，3）到F 1，F 2两点的距离之 和的点是轨迹是椭圆 D 、到F 1（-4，0），F 2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 2、椭圆19 162 2=+y x 的焦距为____，焦点坐标为_______。 3、判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a 、b 、c 的值。 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12 -422=y x ④4x 2+9y 2=36 4、若方程 116-252 2=++m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） A.-6＜m ＜25 B. 2 9 ＜m ＜25 C. -16＜m ＜ 2 9 D.m ＞ 2 9 5、若椭圆142 2=+m y x 的焦距为2，则m=____________ 归纳反思：椭圆及其标准方程评课稿(供参考)
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