高考数学二轮复习 教师用书 专题一至专题三 文
第1讲 函数图象与性质及函数与方程
高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性；2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解，综合性强；3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理.数形结合思想是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.
真 题 感 悟
1.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－x
B.y ＝cos x
C.y ＝ln(x ＋1)
D.y ＝2－x
解析 y ＝1
1－x
与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数；
y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x
＝? ??
??12x
在(－1，1)上单调递减. 答案 D
2.(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2
－e |x |
在[－2，2]上的图象大致为( )
解析 令f (x )＝2x 2
－e |x |
(－2≤x ≤2)，则f (x )是偶函数，又f (2)＝8－e 2
∈(0，1)，故排除A ，B ；当x >0时，令g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x
，而当x ∈? ??
??0，14时，g ′(x )<14×4
－e 0
＝0，因此g (x )在? ??
??0，14上单调递减，排除C ，故选D.
答案 D
3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域相同
的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2
x
D.y ＝
1
x
解析 函数y ＝10lg x
的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同
的函数为y ＝1
x
，故选D.
答案 D
4.(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 ， 则f ? ?? ??－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x ，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0， ∴f ? ????－52＋f (2) ＝－f ? ?? ??52＋f (2) ＝－f ? ?? ??12＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －2 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性 ①用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性. ②常见判定方法：(ⅰ)定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；(ⅱ)图象法；(ⅲ)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(ⅳ)导数法. (2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性. (3)周期性：常见结论有：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线 x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )? ? ? ?? 或f （x ＋a ）＝1f （x ）， 则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意结合其图象研究. 3.指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质，分0＜a ＜1， a ＞1两种情况，着重关注函数图象中两种情况的公共性质. 4.函数的零点问题 (1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 热点一 函数性质的应用 [微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性 【例1－1】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B.奇函数，且在(0，1)上是减函数 C.偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数 (2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2 )为偶函数，则a ＝________. (3)(2016·北京卷)函数f (x )＝ x x －1 (x ≥2)的最大值为________. 解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ? ????－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0， 1)上是增函数，故选A. (2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2 )为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2 )＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2 －x 2 )＝0，∴a ＝1. (3)f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝2 2－1 ＝2. 答案 (1)A (2)1 (3)2 探究提高 牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义域的基本条件，这是解决函数性质问题的关键点. [微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性 【例1－2】 (1)(2016·天津二模)已知定义在R 上的函数f (x )＝2 |x －m | －1(m 为实数)为偶函 数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜b D.c ＜b ＜a (2)(2016·广州4月模拟)若函数f (x )＝2 |x －a | (a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ， ＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________. 解析 (1)由函数f (x )＝2 |x －m | －1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x | －1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0， ∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B. (2)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，f (x )＝2 |x －1| ， ∴f (x )的增区间为[1，＋∞)，∵[m ，＋∞)?[1，＋∞)，∴m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 (1)B (2)1 探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 【训练1】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3 －1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ? ????x ＋12＝f ? ????x －12.则f (6)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足 f (lo g 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)当x ＞12时，f ? ?? ??x ＋12＝f ? ????x －12， 即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1). 当x ＜0时，f (x )＝x 3 －1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3 －1]＝2，故选D. (2)由题意知a ＞0，又log 12a ＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a ). ∵f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增. ∴|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，∴a ∈??????12，2. 答案 (1)D (2)???? ??12，2 热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别 【例2－1】 (1)函数y ＝ x ln|x | |x | 的图象可能是( ) (2)函数f (x )＝? ?? ??1x －x sin x 的大致图象为( ) 解析 (1)法一 函数y ＝ x ln|x ||x |的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x | |x | 的图象过点(－e ，－1)，排除A ，选B. 法二 由已知，设f (x )＝ x ln|x | |x | ，定义域为{x |x ≠0}.则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D ，故选B. (2)由y 1＝1x －x 为奇函数，y 2＝sin x 为奇函数，可得函数f (x )＝? ?? ??1x －x sin x 为偶函数，因 此排除C 、D.又当x ＝π2时，y 1＜0，y 2＞0，f ? ????π2＜0，因此选B. 答案 (1)B (2)B 探究提高 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法. [微题型2] 函数图象的应用 【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2 －2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1 m x i ＝( ) A.0 B.m C.2m D.4m (2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－ f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12 ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞c ＞b D.b ＞a ＞c 解析 (1)由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2 －2x －3|的图象也关于x ＝1对称， 两函数的交点成对出现，因此根据图象的特征可得∑i ＝1 m x i ＝m ，故选B. (2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图 象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ? ????－12＝f ? ?? ??52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D. 答案 (1)B (2)D 探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法. 【训练2】 (1)函数y ＝ x 3 3x －1 的图象大致是( ) (2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－ 2)＋f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.4 解析 (1)由3x －1≠0得x ≠0， ∴函数y ＝ x 3 3x －1 的定义域为{x |x ≠0}，可排除A ； 当x ＝－1时，y ＝（－1）3 13－1＝3 2＞0，可排除B ； 当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝4 5 ， 但从D 中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C. (2)设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2 x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 (1)C (2)C 热点三 函数的零点与方程根的问题 [微题型1] 函数零点的判断 【例3－1】 (1)函数f (x )＝2x ＋x 3 －2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数f (x )＝? ????ln x －x 2 ＋2x ，x >0， 4x ＋1，x ≤0的零点个数是________. 解析 (1)法一 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x －2与y 2＝－x 3 的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图(图略)，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B. 法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13 －2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. (2)当x >0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2 －2x 的图象，由图知，当x >0时， f (x )有两个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－1 4 ，综上，f (x )有三 个零点. 答案 (1)B (2)3 探究提高 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. [微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数 【例3－2】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝??? ? ?|x |，x ≤m ，x 2 －2mx ＋4m ，x ＞m ， 其中m ＞0.若存在实 数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. (2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( ) A.? ?? ??0，12 B.? ?? ??12，1 C.(1，2) D.(2，＋∞) 解析 (1)如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |. 当x ＞m 时，f (x )＝x 2 －2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数. 若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2 －2m ·m ＋4m ＜|m |. 又m ＞0，∴m 2 －3m ＞0，解得m ＞3. (2)由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点. 如图： ∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝1 2x －1之间， ∴1 2＜k ＜1，故选B. 答案 (1)(3，＋∞) (2)B 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 【训练3】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2 －bx ＋a 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝e x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) (2)(2016·海淀二模)设函数f (x )＝?????2x －a ，x ＜1， 4（x －a ）（x －2a ），x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又 f ′(x )＝2x －b ，所以 g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，即g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)，故选B. (2)①当a ＝1时，f (x )＝? ????2x －1，x <1， 4（x －1）（x －2），x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1，1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2 －3x ＋2)＝4???? ?? ? ????x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1. ②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0. 当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.