狭义相对论的整个推导过程

狭义相对论的整个推导过程

一、两大假设

1.惯性系的平权

2.光速不变原理

二、洛仑兹变换

令x’=k1(x-ut)

x=k2(x’+ut’)

根据假设1,有k1=k2

令k1=k2=γ

所以x’x=γ^2(x-ut)(x’+ut’)

根据假设2,有 x=ct,x’=ct’

所以c^2tt’=γ^2(c-u)(c+u)tt’

所以γ=1/sqr(1-u^2/c^2)

所以x’=γ(x-ut)

x=γ(x’+ut’)

由x’=γ(x-ut),得

ct’=γ(x-ut)

所以t’=γ(x/c-ut/c)

所以t’=γ(t-ux/c^2)

同理,有t=γ(t’+ux’/c^2)

因为很自然的有 y’=y,z’=z y=y’,z=z’

所以

x’=γ(x-ut) x=γ(x’+ut’)

y’=y y=y’

z’=z z=z’

t’=γ(t-ux/c^2) t=γ(t’+ux’/c^2)

其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2)

三、洛仑兹速度变换

v x’=dx’/dt’=(dx’/dt)*[1/(dt’/dt)]=(v x-u)/(1-uv x/c^2)

v y’=dy’/dt’=(dy’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2)

v z’=dz’/dt’=(dz’/dt)*[1/(dt’/dt)]=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2)

同理,有

v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2)

v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)

v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)

所以

v x’=(v x-u)/(1-uv x/c^2) v x=(v x’+u)/(1+uv x’/c^2)

v y’= v y sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v y=v y’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2) v z’=v z sqr(1-u^2/c^2)/(1-uv x/c^2) v z=v z’sqr(1+u^2/c^2)/(1+uv x’/c^2)四、

因为t’=γ(t-ux/c^2)

所以t1’=γ(t1-ux1/c^2)

t2’=γ(t2-ux2/c^2)

所以t’=t2’-t1’=γ[(t2-t1)-u(x2-x1)/c^2] (x1=x2)

所以t’=γt

又因为x=γ(x’+ut’)

所以 x1=γ(x1’+ut1’)

X2=γ(x2’+ut2’)

所以l0=x2-x1=γ[(x2’-x1’)+u(t2’-t1’)]

所以l0=γl

所以l=l0/γ

所以

t’=γt’, l=l0/γ其中:γ=1/sqr(1-u^2/c^2)

五、

p=m(u)u

质量守恒 m(u)+m0=M(v)

动量守恒 m(u)u=M(v)v

所以 [m(u)+m0/m(u)]=u/v

因为v’=-v=(v-u)/(1-uv/c^2)

所以uv/c^2+u/v-2=0 两边乘以u/v,得

(u/v)^2-2(u/v)+u^2/c^2=0

解得u/v=1±sqr(1-u^2/c^2)

因为u>v

所以u/v=1+sqr(1-u^2/c^2)

所以[m(u)+m0/m(u)]=1+sqr(1-u^2/c^2)

所以m(u)=m0/sqr(1-u^2/c^2)=γm0

六、质能公式

F=d p/dt

dE k=F d s=d p d s/dt=d(m u)d s/dt=u d(m u)=mudu+u^2dm

因为m(u)=m0/sqr(1-u^2/c^2)

所以dm=m0udu/[c^2(1-u^2/c^2)^(3/2)]=mudu/(c^2-u^2)所以dE k=muc^2du/(c^2-u^2)=c^2dm

因为E k=∫(0,E k)dE k=∫(m0,m)c^2dm=mc^2-m0c^2

所以E=E k+m0c^2=mc^2

所以

E=mc^2