一次函数的概念

一、一周知识概述

1、一次函数的概念

一般地，解析式形如y=kx＋b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数，x是自变量，y为因变量．一次函数的定义域是一切实数．

特别地，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0),这时y是x的正比例函数．因此正比例函数是一次函数的特殊情形.

对于y=c（c为常数）表示不论x的值怎样变化，y的值总是常数c，我们仍认为y 与x之间有确定的依赖关系，这时把函数y=c（c为常数）叫做常值函数，其自变量由所讨论的问题确定．

2、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

由于一次函数y=kx＋b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

3、一次函数的图象

一般地，一次函数y=kx＋b（k、b是常数，且k≠0）的图象是一条直线，一次函数y=kx＋b的图像也称为直线y=kx＋b，这时，把一次函数的解析式y=kx＋b称为这一直线的表达式．正比例函数的图象也是一条直线.

4、画一次函数图像的方法

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是

先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

直线y=kx＋b与x轴交点为，与y轴交点为(0,b)，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为．

5、直线的截距

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称为直线的截距．直线y=kx＋b与y轴的交点坐标是（0，b），所以直线y=kx＋b（k≠0）的截距是b．

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

更一般地得到当b

1≠b

2

时，直线y=kx+b

1

与直线y=kx+b

2

平行，反之，如果两条直线

y=k1x＋b1与直线y=k2x＋b2平行，那么，必有k2= k2, b1≠b2．

7、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系

（1）任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

（2）任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

（3）一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0和一元一次不等式的关系：函数y=kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集.

8、一次函数与一次方程（组）

（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数

的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数

的图象的交点.

9、一次函数y=kx＋b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k＜O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

二、重、难点知识归纳及讲解

（1）会确定函数关系式及求函数值；

（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；

（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；

（4）利用一次函数与方程和不等式的关系求解方程和不等式式问题．

三、典型例题讲解

例1、当m为何值时，函数是一次函数？

分析：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．

解：

∵函数是一次函数，

∴m=－2.

∴当m=－2时，函数是一次函数．

小结：

某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．

例2、已知一次函数y=kx＋b图象经过点（－2，5）并且与y轴相交于点P，直线

与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式.

分析：

直线与y轴相交，其交点Q的横坐标为0，求出交点坐标.再利用对称性求出点P 的坐标，根据点（－2，5）和点P在直线上，其点的坐标符合其函数解析式，列方程组求解.

解：

∵直线与y轴的交点Q的坐标为（0，3），

又∵点P与点Q关于x轴对称，∴点P的坐标为（0，－3），把点（－2，5）和点（0，－3）代入y=kx＋b得∴

∴这个函数解析式为y=－4x－3.

例3、有一个附有进水管、出水管的水池，每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，4h内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间x(h)与水量y(m3)之间的关系图（如图）.

回答下列问题：

（1）进水管4h共进水多少？每小时进水多少？

（2）当0≤x≤4时，y与x有何关系？

（3）当x=9时，水池中的水量是多少？

（4）若4h后，只放水不进水，那么多少小时可将水池中的水放完？

分析：

在本题中横坐标的意义是进出水的时间，纵坐标表示水池中的水量，从图象看0≤x≤4时，y是x的正比例函数关系；x>4时，y是x的一次函数关系.

解：

（1）由图象知，4h共进水20m3，所以每小时进水量为5m3.

（2）y是正比例函数，设y=kx，由于其图象过点（4，20），所以20=4k，k=5，即y=5x(0≤x≤4).

（3）由图象可知：当x=9时y=10，即水池中的水量为10m3.

（4）由于x≥4时，图象是一条直线，所以y与x符合一次函数关系，设y=kx＋b，由图象可知，该直线过点（4，20），（9，10）.

令y=0，则－2x＋28=0，∴x=14.

14－4=10，所以4h后，只放水不进水，10h就可以把水池里的水放完.

例4、已知一次函数y=（3－k）x－2k2＋18.

（1）k为何值时，它的图象经过原点？

（2）k为何值时，它的图象经过点（0，－2）?

（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？

（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=－x？

（5）k为何值时，y随x的增大而减小？

分析：

函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项b＞O；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0．

解：

（1）图象经过原点，则它是正比例函数．

∴∴k＝－2．

∴当k=－3时，它的图象经过原点．

（2）该一次函数的图象经过点（0，－2）.

∴－2=－2k2＋18，且3－k≠0，

∴k=±

∴当k=±时，它的图象经过点(0，－2)

（3）∵图象与y轴的交点在x轴上方，即b＞0．

∴－2k2＋18＞0，

∴－3＜k＜3，

∴当－3﹤k﹤3时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方．

（4）函数图象平行于直线y=－x，

∴3－k=－1，

∴k＝4．

∴当k＝4时，它的图象平行于直线y=－x．

（5）∵y随x的增大而减小，

∴3－k﹤O．

∴k＞3．

∴当k＞3时，y随x的增大而减小．

例5、一次函数y=kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为.

分析：

本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x=－3，y=－5；当x=6时，y=－2，把它们代入y=kx+b中可得

∴∴函数解析式为y=x－4．

②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：当x=－3时，y=－2；当x=6时，y=－5，把它们代入y=kx＋b中可得

∴∴函数解析式为y=－x－3.

∴函数解析式为y=x－4，或y=－x－3.

答案：y=x－4或y=－x－3.

说明：

本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.