必修一数学函数及其表示知识点+习题
函数及其表示
(一)知识梳理
1.映射的概念
设B A 、是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设B A 、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对A 中的 任意数 x ,在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应,则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数,通常记为___y=f(x),x ∈A
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值, 对这样的函数值所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则
3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
4.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 考点2:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数)]([x g f 的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(x f
一、选择题
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( C ) ⑴3
)5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ;⑵111-+=x x y ,)1)(1(2-+=x x y ;
⑶x x f =)(,2)(x x g =;⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f .
A. ⑴、⑵
B. ⑵、⑶
C. ⑷
D. ⑶、⑸
2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是( C )
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 1或2
考点:函数的概念及其构成要素
分析:根据函数的定义,对于每一个自变量的值,有且只有一个元素与它对应,需要针对于函数在x=1处有没有定义,若有则有一个交点,若没有,则没有交点,综合可得答案.
解答:若函数在处有意义,
在函数的图象与直线X=1的公共点数目是1,若函数在处无意义,在两者没有交点,
有可能没有交点,如果有交点,那么仅有一个.
综上所述,答案为C.
3. 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+,且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应,则,a k 的值分别为( D )
A. 2,3
B. 3,4
C. 3,5
D. 2,5
4. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<?≥?
,若()3f x =,则x 的值是(D )
A. 1
B. 1或
32 C. 1,32或3 D. 3考点:函数值
分析:首先把函数值f (x )=3分别代入函数解析式,建立方程,求出x 的值,根据x 的不同取值范围,求得
答案即可.
解答:①当x +2=3,解得x =1,因为x ??1,所以不成立;
②当x 2=3,解得x =±3√,因为?1 ③当2x =3,解得x =32,因为x ?2,所以不成立。 综上可知,x 的值只有3√.故选:D. 5. 设 ???<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( B ) A 10 B 11 C 12 D 13 考点:[分段函数的解析式求法及其图象的作法, 函数的值] 分析:欲求f (5)的值,根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值. 解答:解析:∵f (x )={x ?2(x ?10)f [f (x +6)](x <10), ∴f (5)=f [f (11)]=f (9)=f [f (15)]=f (13)=11.故选B. 6 . 函数f (x )= 的定义域是( A ) A .-∞,0] B .[0,+∞ C .(-∞,0) D .(-∞,+∞) 任何数的零次方都为1(除零外) 7. 若函数f(x) = + 2x + log 2x 的值域是 {3, 5 + , 20},则其定义域是( B ) (A) {0,1,2,4} (B) {1,2,4} (C) {0,2,4} (D) {1,2,4,8} 8. 反函数是( B ) A. B. C. D. 原函数的定义域和值域和反函数相反 二、填空题 9 . 函数0(1)x y x x -=-的定义域是_____________________. 10 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________. 11. 若二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -,且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 . 两点式对称轴X=x1+x2/2 三、解答题 13. 求函数3 1()1 x f x x -=+的定义域. 14. 求函数12++=x x y 的值域. 15 已知函数2 ()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.