概率论与数理统计习题及答案第二章

习题2-2

1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0

1,,

0,A X A =??

?发生不发生.

写出随机变量X 的分布律.

解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者

2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为

c

c c c 167

,

85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠

13571,24816c c c c

+++= 所以3716

c

=

. 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121

}0{}1{=

++=≠-=c

c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9

=

, 求{P Y ≥1}.

解 注意p{x=k}=k

k n k n C p q -,由题设5

{9

P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-

故213

q

p =-=

. 从而

{P Y ≥3219

1}1{0}1().327

P Y =-==-=

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为

1927

, 求每次试验成功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是

27

19

，那么一次都

没有成功的概率是

278. 即278)1(3

=-p , 故 p =3

1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.

解 由泊松分布的分布律可知6=λ.

6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.

解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103

5

=C 种取法.

{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =10

1

;

{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10

3

3523=C C ;

{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5

3

3524=C C .

X 的分布律是

1. 设求分布函数解 (1) F (x )=0,

1,0.15,10,0.35,01,1,

1.

x x x x <-??-

?

(2) P {X <0}=P {X =-1}=;

(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=. 2. 设随机变量X 的分布函数为

F (x ) = A +B arctan x -∞

试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知

()0112

,.2()1

2A B A B A B πππ?

+-=???==?

?+=?? 于是 11

()arctan ,.2F x x x π

=+-∞<<+∞

(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤

1111

(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-

11111().24242

ππππ=+?---=

3. 设随机变量X 的分布函数为

F (x )=0, 0,

01,21,1,

,x x

x x <

求P {X ≤-1}, P {

解 P {X 1}(1)0F -=

-=≤,

P {

P {0

5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11

{1},{1}84

P X

P X =-===; 在事件

{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度

成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .

解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时, 1(1)8

F -=

;

当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以 115

{11}(1)(1){1}1.848

P X F F P X -<

<=---==--=

易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为

{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,

取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12

. 因此 {1P X -<

≤|11}1

2

x X x -<<=

+. 于是, 对于11x -<<, 有

{1P X -<≤}{1x P X =-<

≤,11}x X -<<

{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155

.8216

x x ++=?=

对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而

0,1,57(),

11,161,

1.

x x F x x x <-+=-<

7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=

习题2-4

1. 选择题 (1) 设2, [0,],

()0, [0,].

x x c f x x c ∈=???

? 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)

13. (B) 12. (C) 1. (D) 32

. 解 由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞

=?

可得0

2d 1c

x x =?, 于是1=c , 故本题

应选(C ).

(2) 设

~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C) 1

2

. (D) -1. 解 因为{}{}P X c P X c =

<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即

2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).

(A)

cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??

?其它. (B) 1

,2,

()20,x f x <=?????其它.

(C)

22

()

2,0,

()0,

0.≥x x f x x μσ--

=

=?

可知本题应选(D).

(4) 设随机变量

2~(,4)X N μ, 2~(,5)Y N μ, 1

{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).

(A) 对任意的实数12,

P P μ=. (B) 对任意的实数1

2,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有1

2P P =. (D) 对任意的实数1

2,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有

1

2(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).

(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则

对任意实数a , 有( ).

(A) 0

()1d ()∫a

F a x f x -=-

. (B) 0

1

()d 2

()∫a

F a x f x -=-

.

(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.

解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量

X

服从正态分布

211(,)N μσ,Y

服从正态分布

2

22(,)N μσ,且

12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.

解 答案是(A).

(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<α

α, 数αu 满足

{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).

(A) 2

u α . (B) 2

1α-

u . (C) 1-2

u α. (D) α-1u .

解 答案是(C).

2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1

{2}4

P k X k <<=

成立, 应当怎样选择数k ?

解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为

1e ,0,

()0,0.≤x x F x x λ-->=??

?

由题意可知

221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4

k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.

于是 ln 2

k

λ

=.

3. 设随机变量X 有概率密度

34,01,

()0,

x x f x <<=??

?其它, 要使{}{}≥P X a P X a =

<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?

解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是

30

4d 0.5a x x =?

,

因此a =

4. 设连续型随机变量X 的分布函数为

20,0,()01,1,1,

,

≤≤x F x x x x <=>?????

求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.

解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,

可得

2,01,

()0,

其它.x x f x <

? (2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <

<=-=-=.

5. 设随机变量X 的概率密度为

f (x )＝ 2,01,0,x x ??

?

≤≤ 其它,

求P {X ≤

12

}与P {

14

X ＜≤2}.

解 {P X ≤

1

220

1112d 22

4

}x x x ===

?;

1

{4P X <≤1

2

14

1

152}2d 1164

x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数

,

01,(),12,0,x x f x A x x <=-

???

≤≤其它.

求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).

解 (1) 由概率密度的性质可得

12

2

2

1

1

2

1

111d ()d []

12

2

x x A x x x

Ax x A =+-=

+-

=-??,

于是

2A =；

(2) 由公式()

()d x F x f x x -∞

=?

可得

当x ≤0时, ()0F x =; 当0x <≤1时, 201()d 2

x F x x x x ==

?

;

当1x <

≤2时, 21

1

()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=-

-??;

当x >2时, ()1F x =.

所以 22

0,0,

1()221, 2.

1,02

1,12x F x x x x x x x =->???

≤≤,

≤,

7. 设随机变量X 的概率密度为

1

(1),02,()4

0,x x f x ?????

+<<=其它,

对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.

解 根据概率密度与分布函数的关系式

{P a X <≤}()()()d b

a

b F b F a f x x =-=?,

可得

21

15{1}(1)d 4

8

P X x x >=+=

?

.

所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为

223333535175

()()()888256

C C +=

. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程2

4420x Xx ++=有实根的概率.

解 随机变量X 的概率密度为

1

05,()50,

,x f x <=?????≤其它,

若方程有实根, 则 2

1632X

-≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为 P {2

X ≥2}=21{2}P X -<

1{P X =-<<

1d 5

x =-

15

=-

.

9. 设随机变量

)2,3(~2N X .

(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？

解 (1) 由P {a

}()()2

2

222

a X

b b a ΦΦ-----<

=-≤

公式, 得到

P {2

{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-

=123(

)2

Φ--+23(

)2

Φ--=,

}3{>X P =133

{3}1(

)1(0)2

P X ΦΦ-=-=-≤= .

(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以

{}0.5P X c =≤

由(0)Φ=0推得

3

0,2

c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P X

d > 即13(

)0.92

d Φ--≥, 也就是

3()0.9(1.282)2

d ΦΦ--

=≥,

因分布函数是一个不减函数, 故

(3)

1.282,2

d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.

10. 设随机变量2

~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.

解 因为()~2,X N σ2

,所以~(0,1)X Z N μσ

-=. 由条件{04}0.3P X <<=可

知

02

2

42

220.3{04}{

}()()X P X P ΦΦσ

σ

σ

σσ

---=<<=<

<

=--,

于是2

2(

)10.3Φσ

-=, 从而2

()0.65Φσ=.

所以 {{

}2

020}P P X X

σ

σ==--<<

22

()1()0.35ΦΦσσ

-=-=. 习题2-5

1. 选择题

(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).

(A) 11

(

)33

F y -. (B) (31)F y +. (C) 3()1F y +. (D)

1

1

33

()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).

(2) 设

()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).

(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .

解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).

2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解 若随机变量

2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即

2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ==

, 所以Z ~(5,8)N .

概率密度为

()f z

=

2

(5)16

,x x --

-∞<<+∞.

3. 已知随机变量X 的分布律为

(1) 求解 (1)

(2)

4. ()X f x ＝1

142ln 20x x <

???，　，　，　

其它，

且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.

解 先求Y 的分布函数)(y F Y :

)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X

=≥2}y -

1{2}P X y =-<-=1-

2()d y

X f x x --∞

?

.

于是可得Y 的概率密度为

()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 2

0,.,124,其它y y -?

<-

???

即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?

?

=???

5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y

X =的概率密度.

解 由题意可知随机变量X 的概率密度为

()0,.

1

,22,4其它X f x x =?-<

因为对于0

(){Y F y P Y =≤2}{y P X =

≤}{y P =X

(X X F F =-.

于是随机变量2Y

X =的概率密度函数为

()Y f

y (X X f f =+

0 4.

y =

<<

即

()04,0,.其它f y y =<

总习题二

1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件

样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.

解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .

(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23

3

58.02.0C .

(2) 至多有3件次品的概率是

k k k k C

-=∑53

5

8.02.0.

2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为. 问在同一时刻

(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？

解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,

P {X =k }=k k

k C -559.01

.0,k =0,1, (5)

(1) 所求的概率是P {X =2}=0729

.09.01

.032

2

5=C ;

(2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951

.0)1.01(5

=--;

(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=; (4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=. 3. 设随机变量X 的概率密度为

e ,0,()00,

≥，x k x f x x θθ

-=

且已知1{1}2

P X

>=

, 求常数k , θ.

解 由概率密度的性质可知

e d 1x

k

x θθ

-

+∞=?

得到k =1.

由已知条件

1

1

1

e d 2x

x θ

θ

-

+∞

=

?

, 得1

ln 2

θ=

.

4. 某产品的某一质量指标2

~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥, 问允许

σ

最大是多少?

解 由{120P ≤X ≤}

200120160160200160{}X P σσσ

---=≤≤

=40

40

40

(

)(1(

))2(

)1ΦΦΦσ

σ

σ

--=-≥,

得到40

(

)Φσ

≥, 查表得

40

σ

≥, 由此可得允许σ最大值为.

5. 设随机变量X 的概率密度为

φ(x ) = A e -|x |, -∞

试求: (1) 常数A ; (2) P {0

解 (1) 由于||

()d e d 1,x x x A x ?+∞

+∞

--∞

-∞

==?

?

即0

2e d 1x A x +∞

-=?故2A = 1, 得

到A =

12

.

所以 φ(x ) =

12

e

-|x |

.

(2) P {0

1

1

1

1

1e e d (e )0.316.022

2

x

x

x ----=-=

≈?

(3) 因为||

1()e d ,2x

x F x x --∞=

? 得到 当x <0时, 11()e d e ,22x x x

F x x -∞==?

当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222

x x x x

F x x x ---∞=+=-??

所以X 的分布函数为 1,0,2

()11,0.2

x

x x F x x -?