数学建模竞赛成绩的综合评价与预测模型

2012年＂全国大学生数学建模竞

赛＂暑期模拟赛封面

参赛题目数学建模竞赛成绩的综合评价与预测模型

参赛编号2012007

皖西学院

应用数学学院

2012.8

数学建模竞赛成绩的综合评价与预测模型

摘要本文把所给的数据进行整理后，运用基于层次分析法的综合评价模

型，灰色神经网络模型和Topsis综合评价法三种模型解答了问题一和问题二。

并且对问题三，我们给出了认为还需要考虑的因素才能对各高校数学建模成绩科学、合理地进行评价和预测。

针对问题一，我们建立了基于层次分析法的综合评价模型，我们通过求解“建模水平Q”这一数学指标来对安徽高校的建模水平进行综合排序。首先，运用层次分析法的相关知识，求出安徽各个高校获得赛区一等奖、赛区二等奖、赛区三等奖的特征向量=（0.6442 0.2706 0.0852 ），用向量C=[c1j]（j=1,2,3）来表示安徽赛区各个高校的获奖情况。由公式求出各个高校每年的建模水平，进而得出每年各个高校的排序。考虑到高校各年的成绩对综合排名的不同影响，这里对五年的成绩再一次进行加权，求出年份权重，继而求出建模水平，对各个高校进行综合排序。前五名依次为：安徽大学、解放军陆军军官学院、安徽财经大学、中国科技大学、解放军电子工程学院。对2012年各校数学建模成绩的预测，我们采用灰色模型和神经网络模型结合的灰色神经网络模型，通过 GM（1，1）进行初预测，而后运用 BP 神经网络进行再预测。

针对问题二，考虑到所给数据量大、时间跨度长等特点，从数据中总结出，年均获奖组数、稳定性、参赛率、高教社杯获得情况四个因素，采用Topsis 综合评价法，鉴于篇幅有限，我们选取了49所本科和40所专科学校，先对10所本科高校进行综合排序，再用相同的方法对所选高校进行排序针对问题三，问题三的解决主要是对问题一问题二的总结与拓展，在求解问题一和问题二时，我们发现有些高校分别在安徽省和全国有着不同的排列顺序，通过网络上搜集相关资料，我们发现参赛经历、师资力量、学校受重视程度、学生的学习能力等因素对学校综合排名有影响。

关键字层次分析法综合评价模型灰色神经网络模型 Topsis综合评价法

一问题重述

1.1 问题背景

数学建模竞赛（Mathematical Contest in Modeling，缩写为MCM）于1985年最先出现于美国，1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年10月中国工业与应用数学学会（CSIAM）成立，CSIAM下属的数学模型专业委员会开始考虑创办我国自己的大学生数学建模竞赛。

近20年来，CUMCM的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。因此，在数学建模活动开展20周年之际，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。

1.2 需要解决的问题

（1）利用附件1中的数据，试建立评价模型，给出安徽赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对安徽赛区各院校2012年建模成绩进行预测；

（2）利用附件2中的数据，给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；

（3）你认为如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？

二问题分析

问题一要对高校的数学建模成绩进行排名必须找到一个量化的数学指标去衡量成绩的差别，本文定义综合成绩Q作为此衡量标准，作为一个综合评价指标，Q值的大小不仅与学校得奖的等级、数量有关，还与每年学校成绩的进步、倒退有关，可以通过赋予各年成绩不同权值表示每年成绩的进步、倒退对Q值的影响；赋予省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖以不同的权值来表示各奖项对Q值贡献不的同。权重的确定可以借助层次分析法。由此可根据Q1的值，对各校数学建模竞赛成绩进行综合排序。对于预测问题，我们构建了一种灰色神经网络模型来预测2012年安徽赛区各高校的数学建模成绩。灰色系统建模方法简单，但不具备并行运算的能力,模型精度欠高，而神经网络可以实现非线性映射,具有并行计算。两者各具所长,将两者结合构成

灰色神经网络模型(GM-BP),则优点兼具"灰色模型可以采用少量数据建模,其建模是利用累加生成的新数据,由于累加数据具有单调增加趋势,在一定程度上弱化原始数据的随机性,容易找出数据变换规律,使得神经网络中的非线性激励函数易于逼近,可修正灰色模型的结果。灰色神经网既是两个理论的融合,也是其各自的展和新的研究领域本文我们通过 GM（1，1）进行初预测，而后运用 BP 神经网络进行再预测，。这种组合预测方法能够对单一预测模型进行混合处理，得到一个包含各种模型预测信息的新的预测模型

问题二问题中的排序可认为是评价问题，也就是对各个学校的竞赛成绩做一个综合评价，那就要对数据进行合理分析，考虑多方面因素，确定各因素的权重，按照适合的方式处理后对各个学校的多年来的取得的成绩进行评定，最终得到一个科学合理的排序。

三模型假设

1.假设题目中所给的数据都是客观公正、真实可靠；

2.假设各参赛人员所处环境相同且均稳定发挥；

3.假设每年的建模试题难度大致相同；

4.假设评委老师绝对公平，奖励等级的评定公平、合理；

5.假设各校的综合排序只与成绩有关

6.假设参赛人数和获奖人数都线性增长

7.各个去年参加竞赛的高校2012年都会参加竞赛，不会出现无人参赛的情况，

且参赛人数线性增长或无多大的波动

四符号说明

λmax：最大特征值

ω：特征向量

1

Q1：各高校每年的综合成绩

)0(

x：原始非负时间序列

)1(

x：累加生成序列

a ： 待辨识参数 u ： 待辨识内生变量

?a a

u ??

= ???

：待辨识向量 U ：一致性检验系数

L

W

W

W

,...,)

2()

1(：权重值

1E ：误差测度

(1)

(2)

()

21(...((())...))L i L i

O F F F PW W

W

= ：实际输出

五 模型的建立与求解

5.1模型︱（解决问题1.2（1）中的的排序问题）

1、模型的建立

第一步：构造省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖的正互反矩阵[]a ij

A =

(i,j=1,2,3),其中a

a a ji

ij ij 1

,0=

>，易见1=ii a ，n i ,,1 =。

关于如何确定a ij 的值，Saaty 建议引用数字1~9 及其倒数作为标度。表1 列出了1~9 标度的含义：

表1-1

此处我们取

?????

?????=14

/16

/1413/1631A 利用matlab 编程求出成对比较的最大特征值λmax 和最大特征值对应的特征向量())3,2,1(11==

j p j

ω,此特征向量即为奖励等级的权值向量。

第二步：一致性检验

构造出的成对比较矩阵通常不是一致阵，但为了能用它的对应于特征根

λ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应该在允许的范围内，

Satty 将 CI=

1

-

-n

n λ

定义为一致性指标。CI=0时A 为一致阵；CI 越大A 的不一

致程度越严重；为了确定A 的不一致程度的允许范围，需要找出衡量A 的一致性指标CI 的标准。Satty 又引入了平均随机一致性指标RI ，对n = 1,…,9

，Saaty 给出了RI 的值，如表1-2 所示。

表1-2

对于n>=3的成对矩阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR 当

1.0<=

RI

CI CR

时认为Ａ的不一致程度在允许的范围内，可用其特征向量作为权向量。

第三步：安徽省各高校数学建模各等级得奖数量的向量)3,2,1(11=?

?

? ?

?=k k

c C

综合成绩：

()ω1

1

1

?=C Q t （1）

根据()t Q 1

就可以对07,08,09,10,11年的安徽省各高校的数学建模成绩进行排名。

第四步：对安徽省各高校五年年的成绩进行综合排名

考虑到综合排名应当反应一个学校的当前的综合实力，选取近五年的建模成绩作为排名的根据；由于要考虑各校建模成绩的进步对综合成绩的影响，这里对四年的成绩求加权平均值，权值的确定仍然用层次分析法得出。由9~1尺度确定成对比较矩阵A 1

[])5,4,3,2,1,(,1

==

j i a A

ij

对比较矩阵进行一致性检验：

CI=

1

-

-n

n λ

RI

CI CR =

=0.0152<0.1

所以一致性检验通过。

利用matlab 编程得出成对比较矩阵的最大特征根λ2max 和此特征值对应的特征向量即每年的排名对总排名的权重ω2

根据上面算出的各高校每年的排名)(1

t Q ，由

ω2

1

)(?=

t Q Q

（2）

即可算出各高校数学建模成绩的综合排名。 2、模型的求解

利用excel 将附录一给出的数据进行筛选处理，统计出安徽省各高校的各年数学建模成绩部分结果表1-3（剩余部分见附录5）

通过matlab 编程（程序见附录1）求出比较矩阵A 的最大特征值

λ

max

=3.0536；此特征值对应的特征向量即省级一等奖、省级二等奖、省级三

等奖的权值1ω=[0.6442 0.2706 0.0852 ]T ，各高校获得的奖项数向量C=[c 1j ](j=1,2,3省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖)；由于每年综合成绩：

C

Q

?=

ω

1

1

根据Q 1

的大小可得每年安徽省各高校的排名部分如表1-4（其余见附录5）：

表1-4

Q利用excel软件再次进行统计得出将安徽省各高校每年的)(1t

表1-5

计算年份权重：

根据9~1分度构造年份的成对比较矩阵???????

??????

??

?=12

/13

/14

/15/1212/13/14/13212/13

/143212/1543211A 通过matlab 编程（见附表）可以得到A 1的最大特征根0681.52max =λ， 对

应

于此特征根的特征向量即年份权重

()T 0618

.0,0973.0,1599.0,2625.0,4185.02

=ω

；对成对比较矩阵进行一致性检验

得：1.00152.0<==RI

CI CR ，不一致程度在允许范围内，一致性通过,可以将

所得的特征向量作为权向量。 又

)

(1

2t Q Q ?=

ω （3）

根据Q 值的大小可以对数学建模安徽赛区各高校排名如表1-6所示

表1-6

由上表可知安徽省各高校数学建模成绩最近五年来的综合排名前二十由高到低为安徽大学、解放军陆军军官学院、安徽财经大学、中国科技大学、解放军电子工程学院、安徽师范大学、合肥工业大学、安徽工程大学、皖西学院、安庆师范学院、安徽工业大学、铜陵学院、滁州学院、安徽建筑工业学院、蚌埠学院、阜阳师范学院、淮北师范大学、安徽财经大学商学院、江淮学院、合肥师范学院（其余见表格1-6）。

5.2模型‖（解决1.2（1）中的预测问题）

1、模型的建立

对安徽赛区各院校2012年建模成绩的预测，我们采用灰色神经网络模型。GM(1,1)预测模型的基本原理

( 1) GM(1,1)灰色系统

所谓灰色系统是指既含有已知信息, 又含有未知信息的系统, 是由邓聚龙教授在1986年提出的. 灰色理论自诞生以来, 发展很快, 由于它所需因素少, 模型简单, 特别是对于因素空间难以穷尽, 运行机制尚不明确, 又缺乏建

立确定关系的信息系统, 灰色系统理论及方法为解决此类问题提供了新的思路和有益的尝试.

灰色预测方法是根据过去及现在已知的或非确知的信息, 建立一个从过去引申到将来的GM 模型, 从而确定系统在未来发展变化的趋势, 为规划决策提供依据. 在灰色预测模型中, 对时间序列进行数量大小的预测, 随机性被弱化了, 确定性增强了. 此时在生成层次上求解得到生成函数, 据此建立被求序列的数列预测, 其预测模型为一阶微分方程, 即只有一个变量的灰色模型, 记为GM(1,1)模型.

灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要是以矩阵为主, 它和MATLAB 的结合可以有效的解决了灰色系统理论在矩阵计算中的问题, 为灰色系统理论的应用提供了一种新的方法. （matlab 程序见附录2） ( 2) GM(1,1)预测模型的基本原理

GM(1,1)模型是灰色预测的核心, 它是一个单个变量预测的一阶微分方程模型, 其离散时间响应函数近似呈指数规律. 建立GM(1,1)模型的方法是：

设()()(){}(0)(0)(0)(0)1,2,,X X X X n = 为原始非负时间序列, ()(1)X t 为累加生成序列, 即

()()(1)

(0)

1

,1,2,,i

m X

t X

m t

n

===∑

（4）

GM(1,1)模型的白化微分方程为： (1)

(1)

dX

aX

u dt

+=

（5）

式( 2) 中, a 为待辨识参数, 亦称发展系数；u 为待辨识内生变量,亦称灰作用

量. 设待辨识向量?a a

u ??

= ???, 按最小二乘法求得1?()T T a B B B y -=式中

()()()()()()()()()(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

11212

1

2312

1

11

2

X X X X B X n X n -+-

+=

-

-+

()

()

()

(0)

(0)

(0)

23X X y X

n =

于是可得到灰色预测的离散时间响应函数为：

()()(1)

(0)11at u u X

t X e a a

-?

?+=-

+ ??

?

（6）

()(1)

1X

t +为所得的累加的预测值, 将预测值还原即为：

()()()()(0)(1)(1)???11,1,2,3X

t X t X t t n +=+-=

（7）

( 3) GM(1,1)预测模型的MATLAB 程序

根据上述GM(1,1)模型的数学思想, 结合MATLAB 语言的特点编制了一套可读性强, 容易理解的预测程序. 该程序操作简单灵活, 稳定性好, 直接面向用户.

BP 神经网络模型的基本原理 ( 1) 神经网络的定义简介

神经网络是由多个神经元组成的广泛互连的神经网络, 能够模拟生物神经系统真实世界及物体之间所做出的交互反应. 人工神经网络处理信息是通过信息样本对神经网络的训练, 使其具有人的大脑的记忆, 辨识能力, 完成名种信息处理功能. 它不需要任何先验公式, 就能从已有数据中自动地归纳规则, 获得这些数据的内在规律, 具有良好的自学习, 自适应, 联想记忆, 并行处理和非线性形转换的能力, 特别适合于因果关系复杂的非确定性推理, 判断, 识别和分类等问题. 对于任意一组随机的, 正态的数据, 都可以利用人工

神经网络算法进行统计分析, 做出拟合和预测.

基于误差反向传播(Back propagation)算法的多层前馈网络(Multiple-layer feedforward network, 简记为BP 网络), 是目前应用最成功和广泛的人工神经网络.

( 2) BP 模型的基本原理[3]

学习过程中由信号的正向传播与误差的逆向传播两个过程组成. 正向传播时, 模式作用于输入层, 经隐层处理后, 传入误差的逆向传播阶段, 将输出误差按某种子形式, 通过隐层向输入层逐层返回, 并“分摊”给各层的所有单元, 从而获得各层单元的参考误差或称误差信号, 以作为修改各单元权值的依据. 权值不断修改的过程, 也就是网络学习过程. 此过程一直进行到网络输出的误差准逐渐减少到可接受的程度或达到设定的学习次数为止. BP 网络模型包括其输入输出模型, 作用函数模型, 误差计算模型和自学习模型.

BP 网络由输入层, 输出层以及一个或多个隐层节点互连而成的一种多层网, 这种结构使多层前馈网络可在输入和输出间建立合适的线性或非线性关系, 又不致使网络输出限制在-1和1之间. 见图( 1) .

O 1 O 2 O i O m

( 大于等于一层) W (1)…

( 3) BP 神经网络的训练

BP 算法通过“训练”这一事件来得到这种输入, 输出间合适的线性或非线性关系. “训练”的过程可以分为向前传输和向后传输两个阶段： [1]向前传输阶段：

输入层

输出层 隐含层

图2-1 BP 网络模型

①从样本集中取一个样本,i j P Q , 将i P 输入网络； ②计算出误差测度1E 和实际输出(1)

(2)

()

21(...((())...))L i L i O F F F PW W

W

=；

③对权重值L

W

W

W

,...,)

2()

1(各做一次调整, 重复这个循环, 直到i E ε<∑.

[2]向后传播阶段——误差传播阶段：

①计算实际输出p O 与理想输出i Q 的差； ②用输出层的误差调整输出层权矩阵； ③2

1

1

()2

m

i ij

ij j E Q

O ==

-∑；

④用此误差估计输出层的直接前导层的误差, 再用输出层前导层误差估计更前一层的误差. 如此获得所有其他各层的误差估计；

⑤并用这些估计实现对权矩阵的修改. 形成将输出端表现出的误差沿着与输出信号相反的方向逐级向输出端传递的过程.

网络关于整个样本集的误差测度：

i

i

E E

=

∑

灰色神经网络模型

( 1) 本文运用 2007-2011年安徽赛区各院校数学建模成绩情况统计资料，通过 GM （1，1）进行初预测，而后运用 BP 神经网络进行再预测，。这种组合预测方法能够对单一预测模型进行混合处理，得到一个包含各种模型预测信息的新的预测模型，克服了单一模型的局限性，尤其适合信息不完备的复杂系统。

对于神经网络模型，需要对输入样本进行归一化处理，具体归一化方法如下：

为了检验模型的预测精度，引入一致性检验系数U ：

显然U 越小越好。

2、模型的求解

根据上述GM(1,1)模型的数学思想, 结合MATLAB语言的特点编制了一套可读性强, 容易理解的预测程序. 该程序操作简单灵活, 稳定性好, 直接面向用户。（matlab程序见附录3）

2.1 应用步骤

( 1) 输入原始数据资料；

( 2) 应用灰色模型进行预测, 得到预测序列；

( 3) 将预测值作为输入量, 原始数据作为期望值, 对BP神经网络进行训练, 得到相应的权值和阀值；

( 4) 输入需要预测的年份, 即可得到具有相当精度的预测量.

2.2预测结果分析

安徽赛区各院校2012年建模成绩情况

通过查询附录的数据, 获知安徽赛区各院校2007—2011年的数学建模成绩情况。

根据此数据, 应用灰色预测模型预测安徽赛区各院校2009—2011年的数学建模成绩, 将其作为训练样本( 输入量) , 2009—2011年的安徽赛区获奖情况原始数据作为检验样本( 期望值) , 对BP神经网络进行训练。

在此基础上, 对2012年安徽赛区各院校数学建模成绩进行预测. 预测数据见表2-3.。