五校联考高三数学试卷答案

2015届高三第四次模拟考试答案

数学(I)

(满分160分，考试时间120分钟)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ▲ ．

【答案】(0,1)

2. 复数z ＝a ＋i 1－i

为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．

【答案】1

3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有

40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ． 【答案】8

4. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．

【答案】7

8

5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝4

3

x ，那

【答案】5

3

6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概

率为 ▲ ． 【答案】3

4

7. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．

【答案】15π

8. 直线l 过点(－1,0)，且与直线3x ＋y －1＝0垂直，直线l 与圆C ：(x －2)2

＋y 2

＝1交于M 、

N 两点，则MN ＝ ▲ ．

【答案】

105

9. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ▲ ．

【答案】4

10. 函数sin (sin cos )([,0])2

y π

αααα=-∈-的最大值为 ▲ ．

【答案】

122

+ 11. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB u u u r ＋12

AC u u u r ＝AD u u u

r ，且|CD uuu r |＝3，那么

DA DC ?u u u r u u u r

＝ ▲ ．

【答案】3

12. 已知函数f (x )＝???－x 2

＋ax (x ≤1)

2ax －5

(x ＞1)

，若?x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)

13. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[1

3

,3]内，函数g (x )

＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】???ln33,?

??

1e

14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的

数列至多有 ▲ 项． 【答案】7

解：a 2

1＋a 2＋a 3＋···＋a n ＝a 2

1＋

(n －1)(a 2＋a n )2

＝a 21＋(n －1)(a 1＋n )＝a 2

1＋(n －1)a 1＋n (n

－1)＝? ????a 1＋n －122

＋n (n －1)－(n －1)2

4＝? ??

??a 1＋n －122

＋

(n －1)(3n ＋1)

4≤33 为了使得n 尽量大，故? ??

??a 1＋n －122

＝0，∴(n －1)(3n ＋1)

4≤33 ∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132；当n ＝7时，6×22＝132， 故n max ＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）

已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ? ??

??π3，12，且与x 轴

两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；

（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝5

13，求△ABC 的面积．

解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)………2分

∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π∴π3＜π3＋φ＜4π3∴π3＋φ＝5π6即φ＝π

2

……

5分

∴f (x )＝sin ? ??

??x ＋π2＝cos x ．………6分

注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x )的解析式不化简不扣分．

（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513，∴A ,B ∈(0,π

2)

∴sin A ＝45，sin B ＝12

13

………8分

∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝56

65………10分

∵在△ABC 中a sin A ＝b

sin B ∴b ＝15.………12分

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×56

65＝84．………14分

注意：其他解法参照给分 16. （本小题满分14分）

在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；

（2）设M 为棱CC 的点，且满足BM ⊥B D ，

1

A 1

B 1

C

求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．

证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD .

∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点， 又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD .………2分 又∵A 1C ?∕平面AB 1D ，OD ?平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D .………6分

注意：条件“A 1C ?∕平面AB 1D ，OD ?平面AB 1D ”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！

(2)∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .………8分 ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，

平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ?平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C .

【或利用CC 1⊥平面ABC 证明AD ⊥平面BB 1C 1C .】………10分 ∵BM ?平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BM .………12分 又∵BM ⊥B 1D ，AD ∩B 1D ＝D ，AD ,B 1D ?平面AB 1D ， ∴BM ⊥平面AB 1D .

又∵BM ?平面ABM ，∴平面AB 1D ⊥平面ABM ．………14分 17. （本小题满分15分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5

5

，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，

点B 为下顶点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）点P (x 0,y 0)是椭圆C 上第一象限的点．

①若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→

OM ， 求直线OP 的斜率；

②设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0d 2

为定值，并求出该定值． A

D

M

C

1

A 1

B 1

C

O

解：（1）由题意知，2b ＝4，∴b ＝2，又∵e ＝c a ＝

55，且a 2＝b 2＋c 2

， 解得：a ＝5，c ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2

4

＝1；………4分

（2）①由（1）知：B (0,－2)，F 1(－1,0)，∴BF 1：y ＝－2x －2………5分

设M (t ,－2t －2)，由→PO ＝6·→

OM 得：?

????x 0＝－6t y 0＝26(t ＋1)………7分

代入椭圆方程得：6t 25

＋6(t ＋1)2

＝1，

∴36t 2＋60t ＋25＝0，∴(6t ＋5)2

＝0，∴t ＝－56，∴M (－56，－13

)………9分

∴OM 的斜率为25，即直线OP 的斜率为2

5

；………10分

【或】设直线OP 的方程为y kx =，由22154y kx

x y =??

?+

=??

，得P x =6分 由22

y kx y x =??=--?得22M x k -=+，………8分

由→PO ＝6

·→

OM 得P M x =解得：25

k =………10分

②由题意，PF 1：y ＝y 0

x 0＋1

(x ＋1)，即y 0x －(x 0＋1)y ＋y 0＝0………11分

∴d 1＝

y 0y 20＋(x 0＋1)2，同理可得：d 2＝y 0

y 20＋(x 0－1)

2

∴y 0d 1＋y 0d 2

＝y 2

0＋(x 0＋1)2＋y 2

0＋(x 0－1)

2

＝PF 1＋PF 2＝2a ＝15分

【或】∵S △OPF 1＝12PF 1·d 1＝12OF 1·y 0，∴PF 1·d 1＝y 0，∴y 0

d 1＝PF 1．

同理在△OPF 2中，有y 0

d 2

＝PF 2．

∴y 0d 1＋y 0d

2

＝PF 1＋PF 2＝2a ＝………15分

18. （本小题满分15分）

如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切． （1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．

解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，

记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r P

sin θ

＋r P ＝80，………4分 ∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ(0＜θ＜π2)………6分

(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝

r P sin θ－r Q

sin θ

＝r P ＋r Q

∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ(0＜θ＜π2

)………10分

法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t

2＝80?

??

??

－1－2t

2＋3t

令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2

＋3m －1)∴m ＝34时，有最大值10．………14分

注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤

2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ

2

∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)2

8∴r Q ≤10．此时sin θ＝1

3………14分

注意：不指出取等号的条件扣1分

法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2

)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )

(1＋t )

3

令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝1

3时，⊙Q 的半径的最大值为10．………14分

注意：不列表扣1分

答：⊙Q 的半径的最大值为10．………15分 注意：应用题不写答扣1分 19. （本小题满分16分）

已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2

－4x ．

（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2,3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （3）设g (x )＝212ln 5a

a x x x x

++--

，若存在x 0∈[1,e ]，使得f (x 0)

成立，求

实数a 的取值范围．

解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2

－4x ＋a

x

假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2，………2分 此时，f '(x )＝2(x －1)

2

x

，

∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．

故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值．………4分 （2）f '(x )＝2x 2

－4x ＋a x ＝2(x －1)2

＋a －2x

，

①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立；………6分 ②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a

2

或x ＜1－1－a

2

， ∴f (x )在(1＋

1－a

2

,＋∞)上递增，

∵f (x )在[2,3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a

2＜3，解得：－6＜a ＜2 综上，a ＞－6．………10分

（3）在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1e ，上存在一点0x ，使得

()00h x <，即函数()1ln a

h x x a x x

+=+

-在[]1e ，上的最小值小于零． 22221(1)(1)[(1)]

()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==

①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1e ，上单调递减，

所以()h x 的最小值为()h e ，由()10a

h e e a e +=+-<可得211e a e +>

-， 因为2111e e e +>--，所以21

1

e a e +>-；………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，

所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；………14分

③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．

综上可得所求a 的范围是：21

1

e a e +>-或2a <-．………16分

解法二：由题意得，存在x ∈[1,e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1

x

成立．

令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1,e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0,m (e)＝1－1

e ＞0

故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1,x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1,e]时，m (x )＞0

故存在x ∈[1,x 1)时，使得a ＜x 2＋1

x ln x －1成立，·························(☆)

或存在x ∈(x 1,e]时，使得a ＞x 2＋1

x ln x －1

成立，·························(☆☆)………

12分

记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)

2

(x ln x －1)

2

当1＜x ≤e 时，(x 2

－1)ln x －(x ＋1)2

＝(x 2

－1)·?

??

??

ln x －

x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －

x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2

e －1

＜0 ∴当1＜x ≤e 时，(x 2

－1)ln x －(x ＋1)2

＜0，即F '(x )＜0

∴F (x )在[1,x 1)上单调递减，在(x 1,e]上也是单调递减，………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2

＋1

e －1

综上可得，a ＞e 2

＋1

e －1或a ＜－2．………16分

20. （本小题满分16分）

已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，22

14n n b b +=，且111,1a b ==-．

（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()

r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦

{}{}

①若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；

②若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *

++=-=∈，

∴21n a n =-，11,1

2,2

n n n b n --=?=?≥?；………4分

（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,???，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，

故22,5

420,6

n n n S n n n ?≤?=?-+≥??；………8分

②∵22

14n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=………9分

而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．

假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数．………10分 首先证明：6m ≤．

若7m >，数列{}n a 中()()2

1max 1321(1)m S m m +=++???++=+，而数列{}n b 中，m b 必

然为正，否则

()()1121212122230m m m m T b ---=-++???+-≤-++???++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()

13211min 12+22223m m m m m T ----=-++???++-+=-，

设122(1)3m m c m -=-+-，易得1

1223,m m m m d c c m -+=-=-- 而1

1220m m m d d -+-=->，()7m >，

∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >， 即6m ≤．………14分

当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,???，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--??? 此时12r =，24r =

所以max 6m =，对应的12r =，24r =………16分