浙教版八年级数学下册第章二次根式知识点总结
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式mn m 1 +-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50,50 x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 取什么值时，代数式 211a ++取值最小，并求出这个最小值。 已知a 是 5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥-
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -0，b>0时，则：① 1a a b b >?>； ②1a a b b
二次根式知识点总结材料和习题
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
初中数学知识点精讲精析 二次根式知识讲解
21·1 二次根式 1. 二次根式的定义 一般地，式子（a ≥0）叫做二次根式，a 叫被开方数，a 可以是数可以是单项式或 多项式，如，，判断一个式子是否为二次根式；要看它是否具备两个特征： 一是根指数是2，二是被开方数为非负数，二者缺一不可. 2．二次根式的性质1 （Ⅰ）文字语言是：非负数的算术平方根是一个非负数. （Ⅱ）数学语言为：≥0（a ≥0），它的用途非常大，例如：若2＋＝0， 则a ＝0，b ＝0，若＋|b|＝0，则a ＝0，b ＝0，若＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0 思考：当a<0时，有意义吗?当a ≥0时，可能为负数吗? 3．二次根式的性质2 （Ⅰ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. （Ⅱ）数学语言为：()2≥0（a ≥0） （Ⅲ）证明：∵( a ≥0)是a 的算术平方根 ∴()2＝a （Ⅳ）作用()2＝3，()2＝，（)2＝x （x ≥0） 反过来：若a ≥0则a ＝ ，如：2＝，＝（)2 4．二次根式的性质3 （Ⅰ）文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （Ⅱ）数学符号： ＝|a| （Ⅲ）说明： ①a 的取值范围是任意实数. ②＝a 的前提是a ≥0，＝－a 的前提是a ≤0 5．()2与的异同点 a 3xy 12+x a a 3 1 b a a a a a a a 33131 x ()2 a () 2 221 212a 2 a 2 a a 2 a
（Ⅰ）区别：中a 必须取非负数即a ≥0，而 中的a 可以取任何实数. （Ⅱ）相同点： 当被开方数都是非负数，即a ≥0时，＝（）2 a<0时，（）2无意义而＝－a 典型例题 例1. 当a 为实数时下列各式中哪些是二次根式. ， ，，，， 解：，，，是二次根式. 例2. x 为何实数时，式子在实数范围内有意义？ 解：由x －2≥0得x ≥2，当x ≥２时在实数范围内有意义. 例3. 计算： （1）（）2；（2）（3）2； （3）（－2）2；（4）（）2 解：（1）（）2＝ （2）（3）2＝32×（）2＝9×2＝18 （3）（－2）2 ＝（－2）2×（）2＝4×＝ （4）（）2＝x 2＋y 2 例4. 计算： （1）； （2） ； （3）（a<３）； （4）（x<） ()2 a 2a 2 a a a 2a 10+a a 2a 12-a 12+a 2)1(-a a 2a 12+a 2)1(-a 2-x 2-x 52 231 22y x +52252 22313131342 2y x +252 )5.1(-2 ) 3(-a 2 )32(-x 23
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等 都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、 1 x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、 x y +（x ≥0，y?≥0） ． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式 有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负 数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -2x -，求 x y 的值．(2)1a +1b -=0，求a 2004+b 2004的值
二次根式知识讲解
二次根式（基础） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0）， （a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。 2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1（2015春?潍坊期中）下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． .3 C 【答案】 B 【解析】2231x +-，B ． 【总结升华】0．
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3 -；（6）1x -（1x >） A ．2 .3 C 【答案】B. 2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义 （1）1y x = -； （2）y=2+x －x 23-； 【答案与解析】 （1）1x -Q ≥0，所以x ≥1. （2）2x +Q ≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32 ； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零. 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x 【答案】B. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42 ?原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三： 【变式】（1）2)2 52(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________. 【答案】(1) 10;(2) 0.
二次根式知识点归纳及题型知识讲解
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是
八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如25 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3-8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 12 ） 二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？
（1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（ 35 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：
二次根式知识点归纳及题型总结_精华版
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21 +-x （3）45++x x (6) . （7）若1)1(-= -x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1 31 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<)0()0(0) (a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值) 来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点
第十二章二次根式 一、二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 ★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2， 即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“”。如 2 5 可以写作 5 。 （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。其中a≥0是 a 有意义的前提条件。 （4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。要注意当b是分数 时不能写成带分数，例如8 3 2 可写成 8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 二、二次根式的性质：
★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：
三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起 来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，s t （t≠0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。 列代数式的常用方法： （1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2）公式法：根据公式列出代数式。 （3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 四、二次根式的乘除 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 五、二次根式的乘法法则 a ． b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.
（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.
八年级初二数学二次根式知识点总结附解析
一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列计算正确的是（ ） A = B = C = D =4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 5．x 的取值范围是（ ） A ．0x < B ．0x C ．2x D ．2x 6．已知1 2x =?，n 是大于1的自然数，那么(n x 的值是（ ）. A ．12007 B ．12007- C ．()112007n - D ．()112007 n -- 7．设0a >，0b >= 的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12 D ．3158 8．30x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 9．下面计算正确的是（ ） A ． B C D 2- 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++=，那么三角形的面积为S =ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ）
A ．66 B ．63 C ．18 D ．192 二、填空题 11．已知412x =-，则() 21142221x x x x -??+?= ?-+-??_________ 12．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 13．若()()2222 3310x y x y +++-+=，则22 2516x y +=______. 14．把1m m -根号外的因式移到根号内，得_____________. 15．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得112()a b +的值也是整数，则称（a ，b ）是112()a b +的一个“理想数对”，如（1，4）使得112()a b +=3，所以（1，4）是112()a b +的一个“理想数对”．请写出112()a b +其他所有的“理想数对”： __________． 16．化简：-32=_________, 1x =________. 17．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 18．如果332y x x =-+--，那么y x =_______________________． 19．若实数23 a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．实数a 、 b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____． 三、解答题 21．先化简，再求值：212a a -+a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．
初中数学二次根式知识点总结附解析
一、选择题 1． 5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2． ,a ==b a 、 b 可以表示为 （ ） A ． 10 a b + B ．10 -b a C ． 10 ab D ． b a 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列计算结果正确的是（ ） A B ．3= C =D =5．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．= -= ．2=D 2=- 6．m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7． 已知 4 4 2 2 0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．当4x = - 的值为（ ） A ． 1 B C ．2 D ．3 9 ．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 10 ．若a ，b ＝ ，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 二、填空题 11．已知实数, x y 满足(2008x y =，则
2232332007x y x y -+--的值为______. 12．能力拓展： 1:2121A -= +；2:3232A -=+；3:4343 A -=+； 4:54A -=________． …n A ：________． ()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A ∵32+ ________21+ ∴32+________21 + ∴32-________21- ()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小： 43-________32-； 76-________54-；1n n +-________1n n -- 13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 () 2 22144a a ab b +--+=_____________； （2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ， 的个数是_______________； （3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．计算（π-3）02-2 11(223)-4-22 --（） 的结果为_____． 15．() 2 117932x x x y ---=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 16．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x =则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
