2019届广东省揭阳市高三学业水平考试数学(文)试题(解析版)

2019届广东省揭阳市高三学业水平考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则( )

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据补集的概念，求得集合在集合范围内的补集.

【详解】

在集合中，集合没有的元素是，故.故选C.

【点睛】

本小题主要考查集合补集的概念及运算，考查全集的概念，属于基础题.

2．复数的虚部是( )

A．3 B．2 C．D．

【答案】B

【解析】用复数除法运算和加法运算，求得的标准形式，由此求得虚部.

【详解】

依题意，故虚部为，所以选B.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数的加法以及复数虚部的概念，属于基础题. 3．“”是“与的夹角为锐角”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况，确定正确的选项.

【详解】

当时，的夹角为直角，故“”不能推出“与的夹角为锐角”.当“与的夹角为锐角”时，，即能推出“”.综上所述，

“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.解题的方法是将两个条件相互推导，再根据充要条件的概念得出正确选项.

4．已知函数，，则( )

A．1 B．C．D．

【答案】D

【解析】利用求得的值，即求得函数的解析式，由此来求的值.

【详解】

依题意，故，解得.故，所以.故选D.

【点睛】

本小题主要考查函数解析式的求法——待定系数法，考查函数求值，属于基础题. 5．记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( ) A．-2 B．2 C．-8 D．-2或-8

【答案】C

【解析】利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.

【详解】

依题意，解得，故，故选C.

【点睛】

本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它

的一些量的值. 6．若点

在抛物线

上，记抛物线的焦点为，则直线

的斜率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，由此求得抛物线焦点的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线的斜率.

【详解】

将坐标代入抛物线方程得

，故焦点坐标

，直线

的斜率为

，故选C.

【点睛】

本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.

7．已知，且，则=( )

A ．

B ．

C ．

D ．2

【答案】B

【解析】先求得的范围，用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件，

由此求得的值.

【详解】

由于，所以，故.所以

，即，即，

故.故选B.

【点睛】

本小题主要考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式，属于基础题.

8．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )

A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型

，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.

【答案】D

【解析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为

亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额

为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

9．函数的图象大致为( )

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】

由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，

，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.

【点睛】

本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.

10．若满足约束条件，则的最小值为( )

A．-1 B．-2 C．1 D．2

【答案】A

【解析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最

大值为.故选A .

【点睛】

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

11．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.

【详解】

由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，

又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

12．已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】首先对函数求导，然后利用基本不等式证得，利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简，得到关于的一元二次不等式，由此求得的取值范围.

【详解】

由，知在R上单调递增，

且，即函数为奇函数，

故，

解得.故选D.

【点睛】

本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用基本不等式求最小值，考查函数的奇偶性，属于中档题.

二、填空题

13．已知向量、，若，则_____；

【答案】

【解析】由于两个向量垂直，数量积为零，由此列方程，解方程求得的值，进而求得.【详解】

由于，故，故.

【点睛】

本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量模的运算，属于基础题.

14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____；

【答案】2

【解析】根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.

【详解】

由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

15．如图，圆柱O1 O2 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O1 O2 的概率为_________；

【答案】

【解析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.

【详解】

设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为

，而球的体积为，故所求概率为.

【点睛】

本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算

长度.

16．已知数列满足，，则数列中最大项的值为______.【答案】

【解析】先将转化为，证得是等差数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.计算的值，利用数列的单调性求得的最大项.【详解】

由得，

即数列是公差为8的等差数列，故，所以，

当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.

【点睛】

本小题主要考查已知递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式，考查数列的单调性以及最值，属于中档题.解题的突破口在于将题目所给的递推公式，转化为等差数列的形式，根据等差数列的通项公式间接求得的通项公式.数列的最大值一般是利用数列的单调性来求.

三、解答题

17．在中，内角、、所对的边分别是、、，且，

（1）求；

（2）当函数取得最大值时，试判断的形状．

【答案】（1）（2）直角三角形

【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件得到，由此求得.（2）化简

，故时取得最大值，此时三角形为直角三角形.

【详解】

解：（1）由正弦定理得，

又,

∴,即，

∵∴.

（2）∵∴,

∴

∵,∴当时，函数取得最大值，

∴是直角三角形.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数最值等知识.属于中档题

18．如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.

（1）证明：PC⊥平面BOH；

（2）若，求三棱锥A-BOH的体积．

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.

【详解】

解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，

∴BO⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABC，

且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

∴BO⊥平面PAC，

∴BO⊥PC，

又OH⊥PC，BO∩OH＝O，

∴PC⊥平面BOH；

（2）∵△HAO与△HOC面积相等，

∴,

∵BO⊥平面PAC,∴,

∵,∠HOC=30°∴,

∴,

∴,即.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.

19．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：

（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？

（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.

【答案】（1）方式一（2）

【解析】（1）用总的受训时间除以，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组人，乙组人.再利用列举法求得“从这人中随机抽取人，求这人中至少有人来自甲组的概率”.

【详解】

解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则

（小时）

（小时）

据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；

（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,

则这6人中来自甲组的人数为：，

来自乙组的人数为：，

记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取

2人的不同方法数有：，，，

，共15种，

其中至少有1人来自甲组的有：，

共9种，故所求的概率.

【点睛】

本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题. 20．设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）

三点的圆的圆心坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据直径所对圆周角为直角可知为直径，根据圆心坐标求得的值进而求得椭圆的方程.（2）由（1）求得点的坐标，设出直线的方程，同时得到直线

的方程.联立直线的方程和椭圆方程，解出点的坐标，由此求得的表达式.通过直

线的方程求得点的坐标，进而求得的表达式，利用得到

，由此列方程解得的值，从而求得点的坐标.

【详解】

解：（1）依题意知,,

∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，

∴，即，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，

设直线BN的方程为，

则直线BM的方程为：，

由消去y得，

解得：，,

∴

∴,

在中，令得，即

∴，

在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,

即，整理得，

解得，∵，∴，

∴点M的坐标为.

【点睛】

本题主要考查圆的几何性质，考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于较难的题目.圆的几何性质主要考查了直径所对的圆周角是直角.直线和椭圆的位置关系，主要是联立直线方程和椭圆方程，解出直线和椭圆交点的坐标.两条斜率存在的直线相互垂直时，斜率乘积为，这个必须熟记.

21．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求实数的值，使得是函数唯一的极值点．

【答案】（1）（2）-1

【解析】（1）对函数求导并因式分解后，令导数小于零求得函数的单调递减区间.（2）先求出的表达式并因式分解得到，注意到，令

通过的导数结合“是函数唯一的极值点”，对分成

两类进行讨论，

【详解】

解：（1），

令，得或，

由得，而不等式组的解集为

∴函数的单调递减区间为；

（2）依题意得，显然，

记，，则，

当时，；当时，；

由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在上恒成立；

只须，因，

①当时，，即函数在上单调递增，

而，与题意不符；

②当时，由，得，即在上单调递减，

由，得，即在上单调递增，

故，

若，则，符合题意；

若，则，不合题意；

综上所述，．

【或由，及，得，∴，解得．】

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的单调递减区间，考查利用导数求解有关函数极值点的

问题，综合性较强，属于难题.利用导数求函数的单调区间，要对函数求导然后因式分解，得到的式子往往是一次函数、二次函数，或者类似二次函数的因式，可以类比二次函数的图像得到函数的单调区间.

22．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.

（1）求曲线C和射线的极坐标方程；

（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．

【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；

（2）16，

【解析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.

【详解】

解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，

由，，得，

所以曲线C的极坐标方程为，[或]

的极坐标方程为；

（2）依题意设，则由（1）可得，

同理得，即，

∴

∵∴，∴，

△OAB的面积的最小值为16，此时，

得，∴．

【点睛】

本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解

集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得

的取值范围.

【详解】

解：（1）①当时，，

解得，

②当时，，

解得，

③当时，

解得，

综上知，不等式的解集为.

（2）当时，，

设，则，恒成立，

只需，

即，解得

【点睛】

本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.