初中数学_确定二次函数的解析式教学设计学情分析教材分析课后反思

3.5确定二次函数的解析式

一、教材内容分析

本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（鲁教版）九年级下册第三章第5节《确定二次函数的表达式》. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.

二、教学目标

本节课的教学目标

知识与技能：

能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.

过程与方法：

经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表

达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.

情感、态度与价值观：

能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.

三．教学重难点：

根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.

四、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：

五、教学过程

教师：欢迎大家走进今天的数学课堂。这节课我们来学习确定二次函数的解析式，首先来看我们的学习目标。（出示学习目标）

第一环节复习引入

一．我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要个独立的条件；确定反比例函数x

y (k ≠0)的关系式时，通常只需要个条件. 如果要确定二次

函数的关系式y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)

二．待定系数法求二次函数表达式常见的三种形式

1.二次函数表达式的一般形式是什么?

y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)

2.二次函数表达式的顶点式是什么?

k h x a y +-=2)( (a ≠0).

3.若二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?

)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).

第二环节初步探究（出示课件）

1、已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)

若经过点（1,0），则_____

若经过点（-1,0），则___________

若经过点（0,-3），则___________

2、已知抛物线y=a(x-h)2+k (a ≠0)(h,k )

若顶点坐标是（-3,4）, 则h=_____,k=______，

若对称轴为直线x =1，则___________

代入得y=______________

3、求出下表中抛物线与x 轴的交点坐标，看看你有什么发现？分析：通过引入1、2、3让学生进一步理解二次函数常见的三种表

达式形式，为下一步抽象实际问题打好基础.

总结：用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。一、设二、代三、解四、还原（最后写成一般形式）

第三环节深入探究

例1 .已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？

目的：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式.另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax2+bx+c确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y轴交点的纵坐标为-3，所以c=-3，因此可设y=ax2+bx-3把已知的二点代入关系式求出a,b的值即可.

教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax 2+bx+c，把点（0,-3）（4,5）（－1, 0）三点代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.

解法1 解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为-3，所以设抛物线关系式为y=ax2+bx-3

∵图象经过点(4,5)和(-1,0)

∴16a+4b-3=5

a-b-3=0

解得：a=1,b=-2.

∴这个二次函数关系式为y=x 2-2x-3

解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax 2+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，-3），(4,5)和(-1,0)，

∴c=-3

16a+4b+c=5

a-b+c=0

解方程组得：a=1,b=-2，c=-3.

∴这个二次函数关系式为y=x 2-2x-3

例 2. 已知抛物线的顶点为（－1，－6），并且图象经过点（2，3）求抛物线的表达式.

例3. 已知一个二次函数的图象过点（0, -3）（-1,0）（3,0）三点，求这个函数的解析式？

例2例3教师引导学生自主完成

想一想

在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？

小结：1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.

2. 用一般式y=ax 2+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.

第四环节：反馈练习与知识拓展

目的：每个例题后的跟踪练习及知识拓展旨在对学生确定二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．

四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方法．对于练习3，设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.对于知识扩展部分，教师可引导学生分析，并引导学生建立适当的直角坐标系，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性.学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范,训练学生规范答题的习惯．

知识拓展：有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m ，跨度为40m ．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的表达式.（数学来源于生活又应用于生活）

分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．此题设二次函数的顶点坐标式进行求解

较为简便，学生较易接受；如学生用交点式)x -x (x -x 21）

（a y (a ≠0)求解或用其他方法求解均可.

解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（20，16），因此设它的关系式为y=a(x-20)2＋16

根据题意可知

∵ 点(0，0)在抛物线上

∴所求抛物线表达式为

想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？

小结：确定二次函数的关系式y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)，通常需要三个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和知道图象上的另一点坐标需要两个条件，用顶点式k

=2)

(可以确定二次函数的关系

式.通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 .

第五环节课时小结

1．本节课主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）

方程思想

数形结合

2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．第六环节作业布置

四、教学设计反思

1.设计理念

本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．

2．突出重点、突破难点策略

探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，开展小组合作交流，充分调动学生自主学习的积极性和创造性，使每个学生都学有

所获．

3.分层教学

根据本班学生及教学情况可在教学过程中还可选用拓展资源中《确定二次函数关系式的常见题型及解法》或补充练习题进行相应的补充或拓展．

附：板书设计

学情分析

学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式及交点式的函数表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识,之前也已学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习用待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难.

本节课的授课对象是九年级学生，在以上的学习中他们已初步具备运用数学的观点分析问题和解决问题的能力，并初步具备了敢于探究与实践，乐于合作交流，善于总结提升的良好习惯,此外九年级学生具有极强的求知欲和好奇心 ,自主学习的愿望强烈，主动发展的意识浓厚，迫切希望通过自己的努力获取新的知识,展现自己。因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，引例

例1 学生演算板书（设-列-解-答）

用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤

充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.

我校是一所乡镇初级中学，位于城乡结合部，学生流失严重，整体学生基础较差，这就要求教师在教学中，充分尊重学生的识知发展规律,因材施教.通过图片、动画制造意境，激发学生的学习兴趣，挖掘教学潜力.

效果分析

本节课提倡自主学习、合作学习、探究学习，充分发挥学生学习的主动性和积极性，让不同水平的学生学习同一教学内容时都有不同层次的收获。选择合适他们的教学方法，并注意多种方法的有机结合。学生能在教师的组织下获得有效的学习。教学思路清晰、目的性强，教学策略正确，教学内容充实，衔接自然。讲解条理清晰，明白易懂。

评测练习共 10题，题量适中，难度适中，包括2个选择题，2个填空题，6个计算题，共100分。优秀学生占到30%，良好40%，

学生掌握较好.但对于第10题用二次函数解决实际问题，部分学生实际问题抽象为数学问题的能力较差，对此题掌握不好，应加强训练增强学生解决实际问题的能力，深刻理解数学来源于生活又应用于生活。

教材分析

（一）本课的地位和作用

本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（鲁教版）九年级上册第三章第5节《确定二次函数的表达式》。本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点。本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，同时还要启迪学生的思维，引导和规范学生学习。

（二）教学目标

1、知识与技能：

能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求出函数表达式。

2、过程与方法：

经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法。

3、情感、态度与价值观：

能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，加强学生的理想教育，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，真正实现“和谐高效、思维对话”，培养数学的应用意识。

（三）教学重难点

1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）

2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较

简便的求出二次函数表达式。（难点）

评测练习题

一、选择题

1．函数y ＝2

x 2＋2x ＋1写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（） A ．y ＝2

（x －1）2＋2 B ．y ＝21（x －1）2＋21 C ．y ＝21（x －1）2－3 D ．y ＝2

1（x ＋2）2－1 2．已知二次函数y ＝x 2＋（2k ＋1）x ＋k 2－1的最小值是0，则k 的值是（）

A ．43

B ．－43

C ．4

D ．－45

二、填空题

3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为（－2，3），且过（－1，

5），则抛物线的表达式为______．

4．在求顶点是（2，－4），与y 轴的一个交点的纵坐标为4的抛物线时，可设函数的关系式为

三、解答题

5．根据已知条件确定二次函数的表达式

（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；

（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；

（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x ＝2

6．请写出一个二次函数，此二次函数具备顶点在x 轴上，且过点（0，

1）两个条件，并说明你的理由．

7．如图6是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他

的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．

图6

8．有这样一道题：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过P（1，－4），且有c＝－3a，……求证这个二次函数的图象必过定点A（－1，0）．”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．

（1）你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．

（2）请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整．

9．已知二次函数的图象是以直线x＝－2为对称轴，函数有最小值－3，又经过点（0，1）。求该二次函数函数的表达式。

10．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

教学反思

本节课基于学生思维的起点，突出教师为主导、学生为主体的教学原则，在组织教学中，顺利采用了多媒体教学、自主探究法和直观教学法。

1. 设计理念

2．突出重点、突破难点策略

所获．

3.分层教学

根据本班学生及教学情况可在教学过程中还可选用拓展资源中《确定二次函数关系式的常见题型及解法》或补充练习题进行相应的补充或拓展．

本节课存在的问题是：知识复习部分学生遗忘较多，所以在回顾部分时间稍长，预想的课堂情景与学生的实际表现还是有差距，以后要继续学习，加强自身素质。

【课程标准】

本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型.新课标对本节课提出了两个方面的要求：1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的表达式的形式，较简便的求出二次函数表达式。