【教学设计】利用导数解决不等式问题 _数学_高中_路广燕_ 3703050030

利用导数解决不等式问题教学设计

临淄中学 路广燕

【学习目标】

知识技能 1、会利用导数作为工具证明不等式;

2、能够构造函数,结合放缩和函数的单调性、最值达到证明目的

过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；

(2)强化数形结合思想.

情感态度：(1)培养学生的探究精神；

(2)体验动手操作带来的成功感. 【教学重点难点】

1. 灵活准确的构造函数

2. 利用可导函数解决不等式证明； 【学情分析】

导数之难,难在对函数单调性的认识.并且导数工具的运用,充分体现了“数形结合思想”.问题研究的核心就是“函数的单调性”.结合本节试题的结构和内容分析，结合着高三年级学生他们的认知结构及其心理特征，归纳总结做题规律，使学生明确做题的方向。我们都知道数学是一门培养人的逻辑思维能力的重要学科。因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。

考虑到我校高三年级学生的现状，我主要采取引导加点拨的教学方法，让学生真正的参与教学中去，而且在课堂活动中得到新的认识和体验，产生践行的愿望。

当然教师自身也是非常重要的教学资源。教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决难题问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。同时也体现了课改的精神。 【教学过程】 一、课前思考：（引入课题） 1、 利用导数能解决哪些问题？

2、 复习上节课证明含对数和指数的不等式的两种常用方法： 作差法构造函数证明 如：（1）x x <+)1ln( )0(>x （2）1+>x e x

)0(>x

由（2）思考证明含幂函数和指数函数的不等式常用的策略是什么？ 换元法构造函数证明

如：（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式321

1)11ln(

n

n n ->+ 都成立

设计意图：利用提出问题吸引学生，由抽签法进行幸运抽奖活动，激发学习兴趣，达到调动学生积极性的目的.若学生能说出导数除了能解决单调性和最值问题，还能解决不等式问题，则追问利用导数证明不等式常用的方法是啥；若学生不清楚，则用简单的例子引导他们，对于复杂一点的不等式问题又如何下手呢？从而引入授课内容.

二、观察分析，初步探究

例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，

求证：．a )(a f >b )(b f

【解】由已知 x )(x f '+)(x f >0 ∴构造函数 )()(x xf x F =，

则=)('x F x )(x f '+)(x f >0， 从而)(x F 在R 上为增函数。

b a > ∴)()(b F a F > 即 a )(a f >b )(b f

变式: 1、定义在R 上的奇函数)(x f 满足：0

x f x xf -<，令)()(x xf x F =，则

)12()3(->x F F 的解集为 ；

如果满足)()('x f x xf <呢？

2、已知定义域为R 的函数()y f x =满足：)()('x f x f <，1)4(),2()2(=-=+f x f x f 则x e x f <)(的解集为

3、定义在)2

,0(π

上的函数()y f x =满足：x x f x f tan )()('<恒成立，则（ ） A.)3(2)4

(3ππf f >

B.1sin )6(2)1(πf f <

C.)4

()6(2π

πf f > D.

)3

()6(3π

πf f <

【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数

)()(x xf x F =，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

反思总结：从条件特征入手构造函数证明不等式，思路为：见和构积，见差构商

设计意图：二轮复习重在总结中提炼解题方法，让学生反复观察一类题目的式子结

构特征，来感受如何恰当的构造函数，一方面让学生自己慢慢体会导数及法则的正用、逆用、变形用，从而培养学生的逆向思维能力，使学生能从抽象函数问题中解放出来。另一方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用.

三、启迪思维，深入探究 例2、（只探究第三问） 设函数1

)

1(ln )(+--

=x x a x x f （1）0=a 时，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）0≥a 时，

讨论函数()f x 的单调性；（3）0>>n m 时，求证：

2

ln ln n

m n m n m +<--

变式练习1、设函数R a a ax x x x F ∈+-+=,2

2ln )(2

2

，若0)()(==n F m F （其中)0n m <<且2

0n

m x +=

，问：函数)(x F 在))(,(00x f x 处的切线能否平行于x 轴，若能，求出切线方程；若不能请说明理由。

变式练习2、设函数x x f ln )(=，若存在两个实数2121,x x x x ≠且满足11)(ax x f =，

22)(ax x f =，求证：221e x x >

反思总结：观察式子的结构特征，换元法由两个元变成一个元，从而构造新函数，达到证明不

等式的目的。

设计意图：通过归类总结，让学生明白看似负责的问题，化简后其实是同一个题目，设计了不

同的问法而已，走出做题阴影，打开做题思路，不要先被题目吓住。 例3、函数 21()ln(12)222

m

f x x x mx m =

-++-，其中 0m <．（Ⅰ）试讨论函数 ()f x 的单调性；（Ⅱ）已知当 2e m ≤-

（其中 e 是自然对数的底数）时，在 11,22e x -??

∈- ???

上至少存在一点 0x ，使 0()1f x e >+ 成立，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证：当 1m =- 时，对任意 ()12,0,1x x ∈，12x x ≠，有

2121()()1

3

f x f x x x -<-．

备注：当2)21l n (2

1

2)(12+-++=

-=x x x x f m 时，

变式练习：设函数2

1()ln ().2

a f x x ax x a R -=

+-∈(Ⅰ)当3a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；(Ⅲ)对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有

2121

()()

2f x f x a x x -<+-恒成立，求a 的取值范围．

反思总结：对于以上类型的题目，绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调

性，或借助单调性求出函数的最值，以期达到证明不等式的目的。

设计意图:学生对含一个元的函数构造已经比较清晰，但是对于含有两个元的函数的构造感觉比较陌生，无从下手，通过例2以及变式的设计是学生明确含有两个元的函数如何构造新函数，从而转化成函数的单调性和最值问题。起到使学生明确做题方向的作用。

例3、设函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f ，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：n

n 131211)1ln(++++<+

先思考：若已知数列)

12)(12(1

+-=

n n a n ，数列{}n a 的前项和为21

若不知道数列的通项公式，如何求证2

1

141.....151312<-++n

变式1：设函数1ln )(+-=x x x f ，时且2*

≥∈n N n ， 证明：

4)

1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n 变式2：

n

n n 1

ln 33ln 22ln

)2

1

1()211)(211(2 四、归纳结论，揭示本质

思考：依据上述分析，可得出什么结论？

设计意图：通过例3的设计，使学生认清此类问题的本质是找通项，适当整理后构造式子做差

或做商，明确证明思路，充分利用前两问证得的不等式，等价转化到理想形式自己构造函数单独证明，让学生轻松找到解决此类问题的主要依据，（1）重要不等式ln(x+1)

五、课堂小结，内化知识

提出问题

探究问题 解决问题 未解决的问题

设计意图：引领学生按这一模式进行小结，提高学生概括归纳总结的能力，升华对知识的理解.

)

1(1

1)1(12-<

<+n n n n n

六、作业布置

1、必做题：二轮复习资料 导数综合应用A 组 第11，15题

2、选做题： （1）、湖北、

（2）浙江、已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n

n n e e e

e e n n

++

++???+>+*()n N ∈.

设计意图：以巩固知识、培养能力、反馈信息为目的，将作业设计为必做题与选做

题，可使不同基础的学生得到相应的训练和提高.

七、板书设计

利用导数解决不等式问题

结论： 例1 例2 解： 解：

变式： 变式： 例3 ： 变式： 解： 解：