高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿

说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时）

（选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节）

一、教材分析

1．内容的前后联系、地位和作用

本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的

学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不

完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特

殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全

归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安

排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学

命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题.

2. 教学目标

学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对

已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于

置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。

根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订

以下教学目标。

【知识目标】

（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

【能力目标】

（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密

的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新

能力。

【情感目标】

（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困

难，勇于探索的精神。

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜

欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

3．教学重点、难点

【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。

（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

二、教法、学法分析

【教法的选择】

本节课我主要采用?‘发现’的过程教学?和?启发探究式?的教学方法，根据

教材特点和学生实际在教学中体现两点：

⑴由学生的特点确定启发探究和感性体验的学习方法.

由于我所教的是理科基础比较好的班级，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位.

⑵由教材特点确定以引导发现为教学主线.

根据本节课的特点，教学重点应该是方法的应用．但是我认为虽然数学归纳法的操作步骤简单、明确，教师却不能把教学过程简单的当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必将半信半疑，兴趣不大．为此，我在教学中通过实例给学生创造条件，让学生直观感受到数学归纳法的实质，再在教师的引导下发现理解数学归纳法，揭示数学归纳法的实质.

【学法的指导】

本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用?探究式学习法?进行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行：

观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径）论证应用。

三、教学设计分析

在本阶段，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分

析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意到它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能

力的良机．为此，本节课我设想以思维过程为主线，发现为目标，把教学过程设计分为五个阶段.

第一阶段【设置悬念，引入新课】（引起学生回顾、联想和认知冲突）

在本阶段的教学中，我想应从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．具体教学安排如下：

式吗？我们能求出它的通项公已知数列,,1,1

11n n n n a a a a a 分别计算1a 、2a 、3a 、4a 的值，猜想n a 的值，

（学生回答，教师板书）在同学回答的基础上进行归纳：像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法.用归纳法可以帮助我们从具体的事例发现一般规律，但是仅根据特殊事例所得出的结论有时是不正确的.我们看一个例子：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出?四就是四横、五就是五横……?的结论，用的就是?归纳法?，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

通项公式的推导过程：

（学生问）等差数列}{n a d a a d a a d a a a a 3214131

211………………..d n a a n )1(1那么等差数列的通项公式是否正确呢？要不要证明？

（老师适当引导）这个与正整数有关的数学命题，怎么证明？如果能一个一个地算下

去，都把它算出来，那也是一种证明方法，但是算得完吗？显然，是不行的，那怎么办？

第二阶段【从生活实例引入，描述数学归纳法】（设计趣例，激发学生学习兴趣）

数学归纳法的引入是学习数学归纳法的过程中重要的一环.根据以往的经验，不论老师如何解释，学生对数学归纳法的原理往往迷惑不解，将信将疑，为了突破这一难点，我在教学中设计了一实例，使学生在比较熟悉的实际问题中领悟数学归纳法，同时也激发了学生的学习兴趣.具体教学安排如下：

【引入实例】我们看一个生活中的的例子：（多媒体演示多米诺骨牌游戏）

师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：

教师引导，学生归纳：

1第一块骨牌倒下

2假设第一快骨牌倒掉后，第二快骨牌一定也要倒下，第二快骨牌倒下后，第三快一定也要倒下……也就是说，假设前面一块倒下后，后面一块一定也要倒下；即假设当第n 快倒下后，第n+1快也一定要倒下，这样才能保证所有骨牌都能倒下.

强调很显然，这两个条件缺一不可.

【理解实例】这一阶段从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义.理解数学归纳法中的递推思想，要特别注意其中第二步，即证明命题成立时必须用到时命题成立这个假设条件．中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.

【提升实例】师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。

其中假设n=k 时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。

1.置疑

对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。

2.论证（说理）

师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为

理性认识。

本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时 n=1时命题成立

因为有（2）正确（这时k=1）

1,2n k 即n=时命题成立

因为有（2）正确(这时k=2)2, 3 n k n 即时命题成立因为有（2）正确（这时

k=3）14n k 时命题成立5n 时命题成立……即对一切*n N ，命题均成立。

让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。

思考：根据以上逻辑推理。

①条件（1），条件（2）分别起什么作用？

②条件（1），条件（2）为什么缺一不可？

第三阶段【提升理念，形成数学归纳法】（引导学生总结归纳，培养学生的归纳推理能力）此阶段的目的是引导学生得出数学归纳法原理，理解数学归纳法的实质.具体教学安排如下：

请问：如何证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立？

从上面的例子可以看出，要证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立，只须满足：

（1）n 取第一个值0n (例如0

1n )时命题成立; （2）假设 n=k(k *0,N k n )命题成立，利用它证明

n=k+1 时命题也成立。

满足这两个条件后，命题对一切n *

N 均成立。这种证法的本质步骤可以归结为?证明两个条件，得出一个结论？.这种证明方法就叫做数学归纳法(板书课题).

第四阶段【目标训练—数学归纳法的初步应用】（通过应用理解数学归纳法，弄清数学归纳法的两个步骤及其应用），

在本阶段教学中我选用了一道典型的题目，目的是初步明确数学归纳法的实质和用途.

纳法证明。

的表达式，并用数学归根据计算结果，猜想计算（，，，：已知数列例n n n

S ,S ,S ,S ,S ......,),

13)(231107174141114321本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。

教师主要引导学生参与讨论的内容是：

1当1n k 时，证明的目标是什么？

2 当1n k 时，能否这样证明：

. 数学归纳法的这两个步骤，第一个步骤是命题递推的基础.，第二个步骤是命题递推的根据，二者缺一不可，其中第二步是数学归纳法的核心，在从到的递推过程中，必须要用到归纳假设，这是数学归纳法证题的本质特征.否则，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.

【强化练习】用数学归纳法证明：

)

2)(1(31

)1(.......433221n n n n n 2.首项是1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是11

1n a a q 第五阶段【总结反思，深化认识】（师生共同完成）

1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数

n 的命题。

2数学归纳法证明命题的两个步骤。

3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。

4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。

5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。板书设计

1

)1(31]1)1(311[31)]1)1(312)1(31

(.......)101

71()7141()4111[(31]

1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411K k K K K k k k k 那么，

2.1 数学归纳法及其应用举例

问题1 例题(猜想,证明过程的板书)问题2

问题3 练习1 练习2数学归纳法定义(练习请两位同学上黑板板演)证明步骤:(1)

(2)