非质点间万有引力的计算

非质点间万有引力的计算

[摘要]：本文从基本的质点间的万有引力定律出发，用数学方法推导了质量分布均匀的环与质点间、球壳与质点间、球与质点间、球与球间的万有引力公式。

[关键词]：万有引力、万有引力定律、环与质点、球壳与质点、球与质点 [正文]

万有引力定律：

2

21r

m m G

F = 0

只适用于质点间，而实际存在的物体很多时候并不能看成质点。从而有必要进行讨论。下面我们按照从简单到复杂的过程讨论一些常见物体间的万有引力。

一、环与质点间

质点与环的位置关系如图所示，其中O 为圆环的圆心。0m 是质点的质量，环的质量为m 。则从环上取一小段产生的引力在轴线方向的分量为（因为圆环具有对称结构，我们只需要这个分量）：

dl r

R Gm dF θηcos 2

2

0+=

(1)

其中η为圆环的线密度，由于环的总质量为m ，环的周长为R π2，从而有： R

m πη2=

(2)

2

2

cos r

R r +=θ (3)

由（1）（2）（3）可知： ?

++=

R

dl R

m r

R r r

R Gm F ππ20

2

2

2

2

02

即： ()

2

32

2

0r

R

r

Gmm F +=

(4)

二、均匀球壳与质点间

如图，设球壳的质量为m ，半径为R 。球心与球壳外一点0m 的距离为r 。

为了应用第一部分得到的结果，我们把球壳分成环，如图所示。每个环的质量为dm 。设球壳的面密度为σ，则：

2

4R

m πσ=

每个小环周长为θπsin 2R 小环的宽度为θRd

小环的面积θθπd R dS sin 22

= 因此

θθθθππσd m d R R

m dS dm sin 2

sin 242

2

=

?=

=

对比图1和图2，公式（4）应用在我们所取的小环上，需要做如下的代换：

θsin R 代换（4）中的R ； θcos R r -代换（4）中的r ； θθd m sin 2

代换（4）中的m 。

结果有：

图2

()

()

()

[]

θθθθθ

d m R r R R r Gm dF sin 2

cos sin cos 2

32

2

0?

-+-=

整理可得：

()

[]

θθ

θcos cos 2cos 2

2

32

2

0d rR R r

R r m Gm dF -+-?

-

=

两边积分可得：

()

[]

?

-+--

=π

θθ

θ0

2

32

2

0cos cos 2cos 2

d rR R r

R r m Gm F (5)

令θcos =x 有：

()

[]

()

[]

?

?

--+-=

-+-1

1

2

32

2

2

32

2

2cos cos 2cos dx rRx

R r

Rx r d rR R r

R r π

θθ

θ (6)

将rRx R r 22

2

-+对x 求导有： (

)

(

)

()rRx

R r rR

rR rRx

R r dx

rRx

R r d rRx R r d rRx

R r d dx

rRx

R r d 22212

122222

2

2

2

2

22

22

22

2

-+-

=-?-+?

=

-+?

-+-+=

-+

即：rRx

R r rR dx

rRx

R r d 222

2

2

2-+-

=-+

有：

rRx R r d rR

rRx

R r dx 2122

22

2

-+?-

=-+ (7)

将（7）代入（6）有：

()

[]

?

?

---+??

? ??--+-=

-+-1

1

2

22

21

1

2

32

2

2122rRx R r d rR rRx R r Rx

r dx rRx

R r

Rx r (8)

令rRx R r t 22

2

-+=

(9)

则2

2

2

2t rRx R r =-+ (10)

可得：r

t

R r x 22

2

2

-+=

r

t

R r Rx r 22

22+-=

- (11)

将（9）（10）（11）代入（8）有：

2

22

2222222

2

222

22

2

2

1

1

2

22

22

42121121

2121212r R R r t t R r R r dt t R r R r dt t

t

R r R

r

dt

t

r t

R r rR

rRx R r d rR rRx R r Rx

r R

r R

r R

r R r R

r R

r R

r R

r -=?-=??????+---=???

?

??+--=+--

=+--

=-+???

??--+-+-+-+-+--???

?

从（5）式到现在，我们得到的结论是：

()

[]

2

2

32

2

2cos cos 2cos r

d rR R r

R r -

=-+-?

π

θθ

θ (12)

将此结果代入（5）式有：

2

0r

m Gm F =

(13)

可见，球壳与质点间的万有引力的计算有着简单的形式，它和质点间的万有引力公式进行比较我们可以知道。球壳与质点间的万有引力与球壳的半径大小是无关的，它的半径逐渐减小至零时，它和质点间的万有引力不变。此时就演变成了质点间的万有引力问题了，如图3所示。

图3

三、均匀球与质点间的万有引力

设均匀球的半径为0R ，它的球心与质点间的距离为r 。

我们可以将球分割为一个个的球壳，每个球壳的体积为：dR R dV 24π= 均匀球的密度：3

3

4R m πρ=

所以每个分割出来的球壳的质量为：dR R R

m dV dm 2

3

3==ρ (14)

用（14）式的dm 代换（13）式中的m ，有：

dR R R m r Gm dF 2

30

2

03?=

积分可得：

2

00

2

30

200

3r

m Gm dR R R m

r Gm F R =

?=

?

即：2

0r

m Gm F =

(15)

事实上，根据图3。我们可以把每个分割出来的球壳收缩到球心上去而不改变原来对质点0m 引力的大小，这样一来，整个球将收缩为一个质点。均匀球与质点间的万有引力可以看成集中于球心处的质点对另外一个质点的引力。这也是均匀球与质点间的万有引力的计算公式与质点间的万有引力计算公式相同的原因。

另外，从上面的分析中可以看出。对于每个分割出来的球壳来说，收缩为一个质点的要求是球壳的质量分布是均匀的。但是，我们也要清楚，对于不同的球壳来说，它们收缩时是完全独立的，即，一个球壳的收缩不会影响到另外一个。这就是说，不同球壳的密度不同，并不会影响到上面得到的结果。

说得再具体一点，就是，对于一个球来说，即便它的质量分布不是均匀的。只要其密度只随着半径的变化而变化，那么，它对质点引力就可以用（15）式来计算。其中r 表示的球心到质点0m 的距离，m 表示的非均匀球的质量，G 为引力常量。

例如，在图4中，我们用颜色的深浅来表示球密度的大小，对于密度是球对称（密度只是半径的函数）的球体来说，仍然可以用（15）式来求引力。

图4

四、均匀球与均匀球间的万有引力

用第三部分所说到的方法，我们可以先将一个球收缩为质点而不改变这个球对另外一个球上所有微元的引力。进而收缩另外一个球为质点不改变它与已收缩为质点的球间的引力。这样一来，两个球间的引力转化为两个质点间的引力问题。

容易分析得出，万有引力的公式（0）可以在下面情况中使用。

二零一一年三月下旬