正比例与反比例知识重难点教程文件

正比例与反比例知识

重难点

正比例与反比例知识重难点（1）正比例与反比例一般针对于带字母的等式、文字题、应用题、及有关周长、面积、体积的公式（绝对不存在具体的数字）；而本章前面学的比例只针对比例的意义所学到的如何判断两个比或四个数是否能组成比例，如果有未知的再解比例与正比例反比例撇清。

（2）正比例：

@相关量的两个量，一个量扩大或缩小几倍，另一个量也跟着扩大或缩小相同的倍数，它们两个（仅仅2个）的商（比值）不变。

两个变量，一个定量，两个变量有直接的除法关系，所产生的商不变。

@成正比例的两个量，它们所形成的图像是“/”（一撇）。

@给许多组数据，先看看已知的几组它们的商是否一样，如果一样，分清这两个数哪个是被除数，哪个是除数，再求出商，求被除数，商乘以除数；求除数，被除数除以商。

@用语言描述正比例：因为两个变量相除，也就是针对题目列出除法算式即a÷b=c(一定），所以这两个量a和b是成正比例关系的量，它们的关系是成正比例关系。

注意：a和b不为0，而且它们是两个有直接关系的变量，只能用除法，而且它们的商一样。

（3）反比例

@相关量的两个量，一个量扩大或缩小几倍，另一个量反而缩小或扩大相同的倍数，它们两个（仅仅2个）的积不变。

两个变量，一个定量，两个变量有直接的乘法关系，所产生的积不变。

@成反比例的两个量，它们所形成的图像是弯弯的一捺。

@给许多组数据，先看看已知的几组它们的积是否一样，如果一样，先求出积，再用积除以已知因数得出未知因数。

@用语言描述正比例：因为两个变量相乘，也就是针对题目列出乘法算式即a×b=c(一定），所以这两个量a和b是成反比例关系的量，它们的关系是成反比例关系。

注意：a和b不为0，而且它们是两个有直接关系的变量，只能用乘法，而且它们的积一样。

（4）正比例与反比例的相同点与不同点

判断两个量（2个量）是成正比例或反比例，首先看看两个量是否有关系，如果没有关系什么正反比例都不是，如果有关系，还要看看他们之间是存在加减乘除的哪一种，如果是加减什么正反比例都不是，如果是除法，还要看看他们的商是否不变，如果商不变，他们这两个变量成正比例。如果是乘法，还要看看他们的积是否不变，如果积不变，他们这两个变量成反比例。

谁和谁成什么比例，先看这两个有没有关系，有关系的话是乘法还是除法，其结果还要一定。如身高与影子，因为身高÷影子=商（一定），因此身高和影子成正比例。

注意：变量乘以或除以变量 = 结果（一定），如果是文字，其结果后面一定写上“（一定）”

相同点：

@他们都有关系。

@都有两个变量，一个定量。两个变量都会变，不过都跟乘除法有关，成正比例的两个变化一样，一个扩大或缩小几倍，另一个也跟着扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变；成反比例的两个变化相反，一个扩大或缩小几倍，另一个缩小或扩大相同的倍数，它们的积不变。

不同点：

@成正比例与反比例，它们的图像不一样，正比例图像是“/”；反比例图像是弯弯的一捺。

@根据正比例或反比例求表格的未知数方法不一样，先看已知几组数据的商一样还是积一样，如果商一样，先求出商，确定被除数和除数，求被除数用乘法，求除数用除法；如果积一样，先求出积，求因数用除法。

（5）正反比例的实例

@数量关系式。三个量转换，每一个数量关系式可以说出一个反比例，两个正比例。

每份×份数=总数，总数一定，每份和份数成反比例；份数一定，总数和每份成正比

例；每份一定，总数与份数成正比例。

速度×时间=路程，路程一定，速度和时间成反比例；时间一定，路程和速度成正比例；速度一定，路程与时间成正比例。

单价×数量=总价，总价一定，单价和数量成反比例；数量一定，总价和单价成正比例；单价一定，总价与数量成正比例。

工作时间×工作效率=工作总量，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例；工作时间一定，工作总量和工作效率成正比例；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。

@乘除法之间的正反比例

因数×因数=积，因数一定，积与另一因数成正比例；积一定，两个因数成反比例。

被除数÷除数=商，商一定，被除数和除数成正比例；除数一定，被除数和商成正比例；被除数一定，除数与商成反比例。

@字母关系式

a×b=8,a和b成反比例。

Ab=1,a和b成反比例，两个数互为倒数，这两个数成反比例关系。（这两个数不能是具体的数字）

A-b=0,a和b成反比例，因为他们相除商永远是1.

X/y=9,X和y成正比例；5a=6b,a和b成正比例。

a÷b=4.5,a和b成正比例；9/a=b,a和b成反比例。

8a=b,a和b成反比例；5a-6b=0，a和b成正比例。

@公式关系式

（长+宽）×2=周长，周长与长和宽的和（而不是长或宽，因为长与宽是加法）成正比例。

长×宽=面积，面积一定，长和宽成反比例；长一定，面积和宽成正比例；宽一定，面积与长成正比例。

边长×4=周长，周长一定，边长和4不成比例（因为4不是变量而是定量，本来是2个变量，一个定量，此题却有2个定量)；周长和边长成正比例。

边长×边长=面积，面积与边长不成比例，因为没有定量。

底×高=面积，面积一定，底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例；高一定，面积与底成正比例。

底×高÷2=面积，面积一定，底和高成反比例（因为底×高=2×面积）；底一定，面积和高成正比例（因为面积÷高=底÷2）；高一定，面积与底成正比例（因为面积÷底=高÷2）。

（上底+下底）×高÷2=面积，面积一定，上下底之和和高成反比例（因为上下底的和×高=2×面积）；上下底的和一定，面积和高成正比例（因为面积÷高=上下底的和÷2）；高一定，面积与上下底的和成正比例（因为面积÷上下底的和=高÷2）。

圆周率×直径（2个半径）=周长，周长一定，直径和圆周率不成比例（因为圆周率不是变量而是定量，本来是2个变量，一个定量，此题却有2个定量)；周长和直径（半径）成正比例。

圆周率×半径×半径=面积，面积与半径不成比例（因为面积÷半径=半径×圆周率，没有定量），面积与半径的平方成正比例。

底面积×高=体积，体积一定，底面积和高成反比例；高一定，体积和底面积成正比例；底面积一定，体积与高成正比例。

长×宽×高=体积，不能说什么正反比例，因为有3个变量，只能2个变量，一个定量。

附加：图上距离一定，实际距离与比例尺成反比例；实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例；比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例。

（6）用正反比例解决问题

从题目中发现3个数据和一个未知数。看看哪两个有直接关系，是乘还是除，如果是间接要转化为直接关系。如果是乘，那么相关联的两个量成反比例，设关键的或问题为x,列方程：与未知数有关的数与未知数相乘=已知的两个直接关系的量相乘，即几×未知数=几×几；如果是除，那么相关联的两个量成正比例，设关键的或问题为x,列方程：与未知数有关的数与未知数相除=已知的两个直接关系的量相除，即几÷未知数（未知数÷几）=几

÷几，注意不要除反了。如：总面积与地砖的面积（边长×边长）有直接关系，与边长是间接关系。

两个直接相乘或相除的必须要对应，有时要化单位，要巧设未知数。