2014竞赛第二讲 一般物体的平衡答案解析

2014第二讲 一般物体的平衡

一、相关概念

（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件

作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：计算重心位置的方法：

1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。

2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。

3、公式法：

++++=

g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

二、常用方法

①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；

②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。

三、巩固练习

1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。求它的重心。 【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方

法找出重心C 。C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ；

第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。不难看出两种方法的结果都是

m

M l R M BC +?

?

? ??

+=2。

2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面

倾角为370

.求： (1)绳子的张力.

(2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N] 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N;

（2）取球心为转轴得，f =T =10N;

取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N.

（M+m ）g

（2M+m ）g

3.—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一个竖直向下的力F ，如图所示．问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动? [解]当球开始转动时,12f f ，达到最大静摩擦

12

21

F G N f N f +=+??

=? 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.12Fs f r f r =+ 因12f f ，为最大静摩擦:11

22

f N f N μμ=??=?

将以上方程联立可得:2

()(1)

(1)

F G s r F μμμ++=

+

4.如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N ） 解:木块静止时弹力为10N ，可得杆重G =20N

向左拉时:N 1L cos α+μN 1L sin α=G 2L cos α,或N 1μsin α=21

G cos α-N 1cos α

向右拉时:N 2L cos α=μN 2L sin α+G 2L cos α,或N 2μsin α=N 2cos α-21

G cos α

两式相比得

10

9

10922--=N N ,得N 2=11.25N

5.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的张力. [答案：

)cos sin 21cos 11(3θ

θθ++-=L Gr T ]

解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.

解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的张力.比较麻烦.

解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的张力.但弹力的力臂比较难求.

解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.

再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).

对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++=

式中θθ

cos ,2

tan /L AC r AD ==

有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θ

θ

θ++-=L Gr T .

6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C 柱体放上去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得

111

2(

)22

N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得

1121

02N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得

2111

022

f N N +

-= ③ 由∑E A ＝0得

12f R f R = ④ 由以上四式可得

1222f f ==

=

112N G =，232

N G =

而202f N μ≤，11f N μ≤

023

μ≥

，2μ≥7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其

两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6

的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。答案：mg/42

解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.

以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有

2

,211++=?

=?i i i i N N L

N L N 得所以65321)21(212121N N N N ==?== ①

12 3 B

再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图乙所示，A 6B 6受到薄片A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有

L N L mg L N ?=?+?

614

3

2 由①、②联立，解得 N 1=mg /42所以，A 1B 1薄片对A 6B 6的压力为mg /42.

8.（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4

L

h =

的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。 [解]设1号右端面到2号右端面的距离为x 1，12

L x =

, 2号右端面到3号右端面到的距离为x 2……，以第2号木

块的左端为转轴力矩平衡:22()2

L

GL G G L x +=-,可以得

出24L

x =,

同理:第3号右与第4号右端的距离为x 3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡

323()2L GL G G L x +?

=- 求得36

L x = 第k 号的右端面的距离为x k ……，则第k 号由力矩平衡知： (1)()2

k L

k GL G kG L x -+=- 求得： 解得2k L

x k

=

则桥拱长的一半为1

112112

2n n k K k s

L L

x x x k k --===++

+==∑∑

由图1可知1

(1)(1)4

H n h n L =-=

- 所以11411n K s H n k -==-∑。将n=10代入可得． 1.258s

H

=

9.有一质量为m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0=μ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角

30=θ，如图所示。 （1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离L L h (5/21=为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？

（2）若将作用点移到5/42L h =处时，情况又如何？

解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。 杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得

)(0cos 0sin =--=--=--fL h L F mg T N f T F θθ

另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：N f μ=

解得：h

h L mgL F mas --=

μθθ

/tan )(tan

由上式又可知，当L h h h L 66.0,/tan )(0=∞→--即当μθ时对F 就没有限制了。

（1）当0152

h L h <=，将有关数据代入max F 的表达式得 N F 385max =

（2）当,5

4

02h L h >=无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。

10.用两个爬犁 (雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m 长为l 的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示．每个爬犁的上端A 与被运送的横梁端头固连，下端B 与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力Ｆ作用于前爬犁．作用点到雪地的距离用h 表示．已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 1．后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 2．问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动．h 应满足什么条件?水平牵引力F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计．

[分析]正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件0

F M ?=??=??∑∑ 是求解平衡问题的基本出发点,准

确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.

[解]整个装置的受力如解图1-24所示,其中N 1与N 2分别为雪地对爬犁的支持力,f 1和f 2分别为摩擦力,根据平衡条件有

12F f f =+ ①

12mg N N =+ ②

21

2

Fh N l mgl += ③

根据摩擦力与正压力的关系有:111f k N = 222f k N =

h 越大以爬犁与地的前接触点为轴,F 的力矩越大.故N 2越小.h 最大时对应N 2=0的情况.将N 2=0

代入以上各式,可以解得:

1

2l

h k =

1212()12()l k k F mg l k k h +=--

故:h 应满足的条件是:12l

h k ≤

11.半径为r ,质量为m 的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m 、半径为R 的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为μ=15/3(约等于0.775).问R 取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? [答案：.)133

3

32()1332(

r R r -≤<-

]

解：当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示. 对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N 2sin θ-3f 2soc θ=mg ----① （或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，

力矩平衡N 2r sin θ+mgr =f 2r (1+cos θ)）

再对四个小球为整体,在竖直方向3f 1=4mg -----------②

下面的小球,对球心为为转轴，有力矩平衡条件f 1r =f 2r ，得f 1=f 2----③

对下面的小球,取f 1和f 2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N 1>N 2,故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R 最大时：f 2=μN 2--------------④

有上述四式得：128soc 2

θ+24cos θ-77=0,解得：cos θ=16

11,

因1611

)/(332cos =+=R r r θ，所以r R )133332(-=。 但上面的小球不能太小,否则上球要从下面三个小球之间掉下去,必须使r R )13

3

2(->. 故得.)133

3

32()1332(

r R r -≤<-

四、自主招生试题

1.（2009清华大学）质量为m 、长为L 的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O 重合，底端A 、B 、C 的间距均为L ，如图所示。 (1)求OA 棒顶端所受的作用力F 的大小。

（2）若有一质量也为m 的人（视为质点）坐在OA 棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA 棒顶端所受的作用力F 的大小又为多大？

（3）在（2）的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数μ至少为多大？ 析:(1) 2a Fh mg =?

(/223

l a =?=

h ==

1/)2F mg =?=

(2) 在OC 中点坐一人

12F F mg =+

2122mg F F =+

23F mg =

211,63

F mg F mg ==

3

F mg =合

2.（2010北大） 如图，一个质量M 、棱边长为L 的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F 大小和方向会改变，以维持F 始终为最小值。

3.（2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直

杆与地面夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦 力足够大。求：

(1)地给圆环的摩擦力。

(2)求A 、B 两点静摩擦系数的取值范围。

五、备用

1.（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB 长为L ，重为G ，其A 端放在水平面上，而点C 则靠在高2

L

h =

的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦

因数的最小值。

2.（第十届全国预赛）半径为R 质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳AD 和AC E 悬挂于同一点A ,并处于平衡,如图所示.已知悬点A 到球心的距为L ,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角θ. [答案：θ=arcsin

)

(212M M L R

M +]

解:球受重力M 1g ,AD 绳受拉力为T ,ACE 压力为N ,因重力M 1g 通过圆心,N 也通过圆心（但不是水平方向）,所以T 也通过圆(三力共点)，OA =L .取整体为研究对象对A 点的力矩平衡,M 1gOB =M 2gBC ,或M 1gL sin θ=M 2g (R -L sin θ),得θ=arcsin

)

(212M M L R

M +

.

3.如图所示，一根细长棒上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C 端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90?，且C 端正好在A 端的正下方。

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。 （2）如果AB 棒的质量为m 1，BC 棒的质量为m 2，求此外力的大小和方向。

[答案：（1）F 的方向与AC 夹角范围18?.24'-45?间；（2）212

2218102

4

1m m m m g F ++=]

解（1）设F 的方向与AC 夹角为θ，如果当m 1质量很小时，AB 对BC 的作用力沿AB 方向，

则F 的方向必交于AB 的中点，θ=45?-tan -1

21=18?.24'；

如果当m 2质量很小时，则F 的方向沿BC 方向，θ=45?。 所以F 方向的范围是θ=18?.24'-45?间。

（2）以A 为转轴，对两棒有：θsin 245sin 2

)(021L F L

g m m ?=?+----①

以B 为转轴，对BC 有：)45sin(45sin 2

002θ-?=?L F L

g m ----②

sin(45?-θ)=sin45?cos θ-cso45?sin θ----③

有①②③式得F 的大小：212

22181024

1m m m m g F ++=；

F 的方向与竖直线的夹角θ=1

22

11

3tan m m m m ++-.

可见，m 1=0时，θ==-3

1

tan 1

18?.24'；m 2=0时，θ==-1tan 145?. 4． 如图两把相同的均匀梯子AC 和BC ，由C 端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A 和B 相距6m ，C 端离水平地面4m ，总重200 N ，一人重600 N ，由B 端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？

解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状

态：

AB=6m ，CD=4m ，∴AC=BC=5m 设人到铰链C 的距离为l

满足

0F =∑， 0M =∑

所以12AC BC N N G G G F F ++=+

12f f F F =

111

cos 2

BC N N G l G BD F CD F BD θμ??+?+??=?

整理后：12400N N F F N ==， 2.5l m =

所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动

5.架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦

因数分别为μ1、μ2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案：12

1121tan μμμα-=-）

解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为α，则有f 1=μ1N 1, f 2=μ2N 2（同时达到最大，与上题有区别）

水平方向：μ1N 1=N 2，

竖直方向：μ2N 2+N 1=G ， 得：G =μ2N 2+N 2/μ1------①

取A 点为转轴：

0cos sin cos 2222=--αμααN L LN G L

----- 解得12121tan μμμα-=，即1

2

1121tan μμμα-=-。

解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D 点）

则有：tan ?1=μ1,tan ?2=μ2，

有几何关系：21tan 21

cot 21222tan ??α-=-=-==EB DE AH DH AH DE DH AC BC ，

可解得：1

2

1121tan μμμα-=-。

6.如图所示．梯子长为2l ,重量为G ，梯子上的人的重量为G '，人离梯子下端距离为h ，梯子与地面夹角为,梯子下端与地面间的摩擦因数为,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h 值．

[解]杆的受力情况如图所示： 由于杆静止，

0,0F M ==∑∑

cos cos 2sin N f

N G G GL G h N L f N θθθμ=??''=+?

?

'+=??'

=? 解方程可以得出：2()tan l G G Gl

h G μθ'+-='

（原答案有误）

所以，只要2()tan l G G Gl

h G μθ'+-≤'

，梯子就不会滑动。

7.如图所示，方桌重G=100 N ，前后腿与地面的动摩擦因数20.0=μ，桌的宽与高相等。求：

(1)拉力F 、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。 (2)设前、后腿与地面间的静摩擦因数60.00=μ。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？

8.如图所示，一根细棒AB ，A 端用绞链与天花板相连,B 端用绞链与另一细棒BC 相连，二棒长度相等．限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C 端加一个适当的外力(与AB ，

BC 在一个平面内)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直．且C 在A 端的正下方

(1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?试说明理由 (2)如果AB 棒的质量为m 1，BC 棒质量为m 2求此外力的大小和力向． (3)此时B C 棒对AB 棒的作用力的大小是多少 [解](1)外力的范围应在竖直线右且在BC 棒以上. 将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力F 的力矩须产生逆时针力矩。即力F 应指在AC 线的右侧。

以BC 为研究对象，B 点为轴,BC 的重力有逆时针力矩,外力F 的力矩须产生顺时针力矩.即

F 应在BC 以上。

(2)以BC 为研究对象,合力为0,合力矩为0,角

045γθ=-如解图所示

21

22cos cos 45sin sin 45

F G N F N G γγ?=+??+=??

由方程可得:14

F =求F 的方向可以将AB 和BC 看作一个整体.以A 点为轴力矩平衡 (如解图1-17-2所示

):

012sin ()

sin 452

L

F G G θ=+ 可以求出

sin θ=

即θ=(3)BC 杆对AB 杆的力可以分解为12,N N ''其反作用力为12,N N 如解图1-17-3所示：以A 点为轴，AB 力矩平衡。011sin 452

L

G N L '= ① 以C 点为轴，BC 力矩平衡：

022sin 452

L

G N L = ②

由①②可得：1N '= ③ 2N =

由于2N '与N 2为相互作用力，所以22m N '=④

BC 对AB 的作用力为12,N N ''

图1-35 解图1-17-3

12 2

解图1-17-1

解图1-17-2

9.在竖直墙面L ．有两根相距为2a 的水平木桩A 和B ，有一·细木棒置于A 之上,B 之下时与竖直方向成角静止，棒与A ,B 的摩擦因数为0,现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠.如图所示，求此时棒的重心的位置离A 桩的距离．

[解]对棒受力分析.由棒静止,合力为0,

12

12

sin cos N G N f f G θθ+=??

+=? 设重心到A 的距离为x ,分别以B 点和A 点为轴,合力矩为0可得:

21

2(2)sin 2sin N a G a x N a G x θ

θ?=?+??

?=??? 又有101

202

f N f N μμ=??=?

以上三组方程联立可得:0

cot (

1)x a θ

μ=-

[解法2] “恰好”不下坠时，A 、B 两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力R A 、R B 和重力G 必共点，受力分析如右图（其中C 为重心，φm 为最大摩擦角） 对△AOC ，有 cos()sin m AC AO

θφθ=

+ 对△AOB ，有

2sin 2cos m m

a AO

φφ=

针对两式消AO 解AC 即可（注意：φm = arctan μ） 答案：0

cot (1)x a θ

μ=-。