高一函数的概念教案

教学内容

第一部分 知识梳理

知识点一，函数的概念 1．函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：，

x A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示．

课题名称 函数及其表示

学科 数学

年级

高一

学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟

知识点 函数的概念

教学目标

会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用.

能理解函数与映射的关系与区别。

教学重点 函数概念的理解

教学难点

对于求值域问题能灵活运用各种方法解题

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]；

；；

.

知识点二、映射与函数

1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

注意：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).

2.函数：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x).

注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.

三、规律方法指导

1.函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

3.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和

"最低点"，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

第二部分例题精讲

类型一、函数概念

1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1) (不同)

(2) (不同)

(3) (相同)

(4) (相同)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.

总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.

(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；(2)；(3).

思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.

解：(1)；

(2)；

(3).

总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.

3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).

思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.

解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；

；

；

.

4. 求值域(用区间表示)：.

(1)y=x2-2x-1且函数图像只分布在x轴的正半轴。

(2) 2

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.

解：(1)y=x2-2x-1=-2 +(x-1)2 ≥-2，∴值域为[0，+∞)；

(2)；

(3)；

(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).

5, 求函数y = 2

2

11x x x +++的值域。

解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )2

x -x+（y - 1 ）= 0

（1）当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2

-4(y-1)(y-1) ≥0

解得：21≤y ≤23

（2）当y=1，时 ，x = 0,而1∈[ 21, 23] 故函数的值域为[21，23

]

6、求函数

x x y 21--=的值域。

解：由021≥-x ，得

21

≤

x 。令()021≥=-t t x

得212t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以

21≤

y 。故所求函数值域为[-∞，1

2 ]。

换元法是 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

类型二、映射与函数

7. 下列对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为

映射?

(1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；

(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的外接圆； (3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的内接三角形． 思路点拨：根据定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，不满足“A 中任意”；若把A 改为

A={x|x ≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；

(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与

之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；

(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无

数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正

三角形便可成为映射．

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．

8. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.

解：

∴A中元素的象为

故.

第三部分课堂精炼

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与是同一函数；

(2)与y=|x|是同一函数；

(3)是同一函数；

(4)与g(x)=x 2-|x|是同一函数.

【变式2】求下列函数的定义域：

(1)； (2)； (3).

思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．

【变式3】已知函数.

(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，)3

2(f 的值； (3)当a ＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.

【变式4】1)已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

2)已知函数

定义域是

，则

的定义域是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【变式5】1．求函数

的值域．

2．函数f(x)=3x-5在区间

上的值域是_________． 3．求函数221x x x y +-=的值域。

4．求下列函数的值域

(1)； (2)

【变式6】判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？ ①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x →x 除以2得的余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x →x 被3除所得的余数；

④设X={0，1，2，3，4}，

思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A 中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射. .

基础梳理自测

选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是()

A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1} 3．函数的值域是( )

A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列从集合A到集合B的对应中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二解答题．

1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．

6．求函数的定义域．

7．求函数的值域．

8．函数的值域是