古算光辉
古算光辉
古算光辉
——拜读《中国古算解趣》（学习笔记）
01 苏武牧羊十九年七闰祖冲之的贡献
02 粒米求程积黍起度
03 排鱼求数我国古代计量制度
04 三藏取经数的传说
05 洛书释数杨辉和他的纵横图
06 竿索求长九九表自荐筹算和珠算
07 撞十补除撞十数流传百年
08 方田求积《九章算术》
09 凫雁相逢齐同术中国第一代知名数学家刘徽
10 书生分卷程大位故居
11 以碗知僧珠算宗师程大位
12 五渠灌水更相减损术
13 三女归宁最小公倍数
14 环山相会五星同会
15 三兵巡营函数周期
16 船缸均载开平方
17 圆田求积刘徽割圆
18 系羊问索珠算宝典《算法统宗》
19 推车问里祖冲之“约率”“密率” 连分数
20 僧分馒头今有术“生金蛋的母鸡”
21 客去忘衣反比例和连比例
22 互易推本秦九韶《数书九章》
23 诵课倍增吴敬《九章算法比类大全》
24 三等赔偿衰分术
25 浮屠增级郭启庶《数学教学优因工程》
26 李白沽酒递推公式的应用
27 群羊逐草一次假设法
28 隔墙分银万能算法盈不足术
29 蒲莞同高二次假设法
30 双鼠穿垣盈不足术的应用与探究分段函数法弦位法求近似根
31 雉兔同笼我国古代方程理论
32 物不知数从“物不知数”谈起《孙子算经》
33 古算摘奇二谈“物不知数”
34 韩信点兵孙子定理
35 三偷盗米大衍求一术
36 太平莲灯俞润汝解《韩信点兵》
37 百鸡问题时曰醇《百鸡术衍》《张邱建算经》陈景润解“百鸡问题”
38 獐兔鼠歌更相减损法和二元一次不定方程
39 三翁垂钓五猴分桃马克思解不定方程
40 移子相间胡砺之储稼轩《坚瓠集》移棋相间
41 戏放风筝刘徽、赵爽证勾股定理
42 葭生中央欧几里得证勾股定理
43 竹折抵地《张丘建算经》
44 三斜求积秦九韶公式与海伦公式
45 窥望海岛刘徽的重差法
46 望敌远近用矩之道
47 临台测水丈量步车
48 遥度圆城王守义《数书九章新释》
01 苏武牧羊
苏武牧羊：当年苏武去北边不知去了几多年分明记得天边月二百三十五番圆
解：小学数学题235÷12=19…7 但不能简单答题，应考虑到闰年闰月
十九年七闰，去7个闰月，刚好19年。
苏武在北海流放十九年，直到匈奴与和好才回国。
〖古今往来〗为什么规定十九年七闰
这是一个必须解决的实际问题，千百年来汇集了几十代数学家、天文学家的智慧和心血。
通常认为一年三百六十天，一月三十天，一年有
360÷30=12个月，很不精确
秦始皇时365·1／4 ／29·499／940 =343335／
27759=12·10227／27759=12·7／19月。
实际上这个颛顼历周朝末年制定，秦朝统一施行。
〖智慧之光〗祖冲之的贡献
十九年七闰在我国使用了近两千年，在1500年前祖冲之33岁
实测地球绕太阳一周365·9589／39491天，月亮绕地球一周116321／3939天，
请算一算一年应有几个月？这个计算很繁难，包含了许多奥妙的问题，可以试一试。即
365·9589／39491÷116321／3939 =56815363956／4593632611
= 12·1691772624／4593632611 = ？
请检查一下，你得到了祖冲之的结果吗？
不仅显示数学天才，更体现了他的精神：深入实际，精确测量，认真钻研，改革算法，
既不虚推古人，也不迷信权威。这些都是值得学习的。
中国古算素以计算见长，通过直接的途径把理论和实际结合起来，
奠定了正确反映现实世界的理论基础。从这个简单例子就可看出我国传统数学的特有风格。
（用·表示假分数、用／表示分数线）
〖读读练练〗（练习题用“习”表示）
习：约简分数10227／27759 ，1691772624／4593632611 答：7／19，144／391
提示：参看“更相减损术”
习：计算月球绕地球一周所用的时间T。答：27.3天。
设月球绕地球公转轨道在同一平面内，月球地球太阳均为正圆，两种转动同向。
月相变化周期29.5天。相继两次满月时月地日相对位置示意图。以下提示
月球用29.5天转过360+θ度，转1度用29.5／（360+θ）天所以
T=29.5×360／（360+θ）其中θ=（29.5／365 ）×360 02 粒米求程
粒米求程：庐山山高八十里山峰顶上一粒米粟米一转只三分几转转到山脚底
答曰：480万转
解：明代题目1里=360步1步=5尺500分
80×360×500=4800000（转）
〖中算典故〗积黍起度
我国古代的计量制度
度量衡：度乃分别长短之法也量乃分别多寡之法也衡乃分别轻重之法也
度长短量多寡衡轻重
积黍起度：以一定数量的中等秬黍积累起来，作为度量的基本单位。
《说苑·辨物》度量权衡，以黍生之。积黍起度山西上挡中等秬黍
《汉书·律历志》以子谷秬黍中度者度之，九十分为黄钟之长，十黍为分…
10黍=1分10分=1寸10寸=1尺10尺=1丈
量的单位：中等秬黍1200粒=1勺
10勺=1合10合=1升10升=1斗10斗=1斛
衡的单位：1勺=12铢24铢=1两16两=1斤30斤=1鈞4鈞=1石
《孙子算经》以农立国度量权衡秦制度量制度
度之所起于忽，欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝…
称之所起于黍，十黍为一垒…（称之所起，起于黍，）
量之所起于粟，六粟为一圭…（度忽称黍量粟）
度：10忽=1丝10丝=1毫10毫=1厘10厘=1分
10分=1寸
称：10黍=1垒10垒=1铢24铢=1两
量：6栗=1圭10圭=1撮10撮=1抄10抄=1勺《汉书律·历志》五度五量五权
长度：五度“引丈尺寸分”厘毫秒忽均十进制
土地：土地丈量1古步=2今步
法定：秦汉1步=6尺1里=300步唐后1步=5尺1里=360步
布匹：1匹=4丈
地积：1亩=60方丈=240方步1顷=100亩
容积：五量“斛斗升合龠”1合=2龠其余十进
重量：五权“石钧斤两铢”
1石=4钧1钧=30斤1斤=16两1两=24铢
时间：夏历－夏朝历法农历
1年=12月=354天大月30天小月29天闰年加一月1日=12时辰子正－午夜零时子初－夜11时整子终－凌晨1时整
白天黑夜各6个时辰，白天从卯初起算、申终完了。
国际单位制SI
1m=通过法国巴黎的地球子午线总长的四千万分之一。根据这个规定
测得光速为299792458米秒（即人们常说的每秒30万公里）
1m=光在真空中1／299792458秒的时间所走的距离
公市制换算：1米=3尺1公里=2市里1市里=500米1公顷=10000平方米=100公亩=15市亩1市亩=60平方丈
古今制换算：1尺≈23.1厘米1斤≈250克1升≈200立方厘米
已知周长求边长
习：今有屋基，南北3丈，东,6丈，欲以砖砌之。凡积二尺，用砖五枚。
问计几何？答曰：4500枚. 注意：砖块实际上是有宽度的，转角缩短长宽度。
习：今有索长5794步，欲使作方问几何？答曰：1448步三尺。
注：换算单位在运算中写入。约等于的单位换算，计算过程用=、计算结果用≈。
03 排鱼求数《算法统宗》
排鱼求数：三寸鱼儿九里沟口尾相衔直到头试问鱼儿多少数请君对面说因由
答曰：5万4千个。
解：儿童游戏题（50×360×9）÷3=54000（条）明朝：1里=360步1步=5尺=50寸
〖古往今来〗我国古代计量制度（见02）
例：阿房宫前殿东西500步，南北50丈，可坐1万人，能竖5丈高的旗杆。
试按今制计算一下阿房宫的建筑面积和旗杆高度。
解：东西长：500步=500×6尺=3000尺=3000×0.231米
≈693米
南北长：50丈=500尺≈115.5米
总面积：693×115.5=80041.5平方米≈120亩
旗杆高：5×10×23.1÷100 ≈11.6米
习：老人问甲歌
有一公公不记年手持竹杖在门前借问公公年几岁家中数目记分明
一两八铢泥弹子每岁盘中放一丸时长日久被淋湿浑然化作一泥团
称重八斤零八两细算才知得几年答曰：一百零二岁
习：刘备身高7.5尺，关羽身高9.3尺，张飞身高8尺，关羽的青龙偃月刀重8斤。
答：刘1.73米，关2.15米，张1.85米。刀重20.5公斤。儿童游戏题巩固运算方法
04 三藏取经
三藏取经：三藏西天去取经一去十万八千程每日常行七十五问君几日得回程
答曰：1千4百40日
解：108000÷75=1440（天）1440÷360=4（年）
三藏：佛教经典（经、律、论三类）的总称。三藏法师：通晓三藏的僧人的尊称。
〖古今往来〗数的传说
河图：伏羲称王，龙马从黄河背负河图献给伏羲，据“河图”画“八卦”编《周易》
洛书：大禹治水，神龟从洛水背负洛书献给大禹，据此编成《洪范九畴》治理天下
图书：河图洛书。一词源于此。
隶首：黄帝命史官隶首作数，“隶首”中国数学事业的代名词。
传说：仓颉造字隶首作数
（伏羲女娲相婚产生人类…《周易》经孔子研究修改为《易经》）
莱布尼兹受八卦启发创立二进制
现代：洛书列成数表就是一张纵横图、现代组合数学最古老的例子。
是训练思维的数学幻方。在程序设计、图论等方面广泛的应用。
习：笔套取齐：八万三千短竹竿将来要把笔头安管三套五为期定问君多少能完成
答曰：笔套155625个，管竹51875竿，套竹31125竿解：两数和积解一对一配套
3×5=15 五竿十五管三竿十五套
3＋5=8 八竿恰配套八倍都刚好
83000÷8=10375（八的倍数）10375×15=155625（配套的管、套数）
155625÷3=51875（管竹数）155625÷5=31125（套竹数）验：51785＋31125=83000（竹竿数）。再举例如下：
扩：2倍16竿15×2=30（套）30÷3=10（管竹）30÷5=6（套竹）
扩：3倍24竿15×3=45（套）45÷3=15（管竹）45÷5=9（套竹）
注：8竿15套，最低要求，称之绝配，只能加倍，不能缩小。
注：已知总数、之一分几，如“一竿可做笔管三／一竿可做笔套五”一对一配套。
注：已知总数、之几合一，如“三人共食一碗饭／四人共尝一碗羮”几配几共用。
习：数珠一串：今有数珠一串数来仔细分明三枚无剩五无零七个约之恰尽
欲问共该多少推穷妙法门庭知公能算惯纵横此法不难易懂
答曰：105
解：三枚无剩五无零七个约之恰尽3×5×7=105
最小公倍数：
公倍数：两个数的公倍数与面积三个数的公倍数与体积
05 洛书释数
洛书释数：洛书盖取龟象，故其数戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
杨辉解法：九子斜排上下对易左右相更四维挺出
杨辉纵横图《数术记遗》《详解九章算法》《详解算法》〖数学家〗
北周甄鸾：《数术记遗》始称九宫有算具《九宫算》作为算筹计算的工具。
〖数学家〗杨辉和他的纵横图
杨辉：以廉饬己，以儒饰吏，吐胸中之灵机，续前贤之奥旨，从奇而偶，由晦而彰。
现存《详解九章算法》《详解算法》《乘除算法通宝》《续古算法摘奇》《田亩比类捷法》等。
数字方块数字方阵九宫图杨辉命名纵横图连环图现今称为幻方九宫图=三阶幻方
n阶幻方：1～n2的自然数n行n列方阵每行每列每条对角线上数的和都相等
三阶幻方九子斜排上下对易左右相更四维挺出
四阶幻方方阵斜排上下对易左右相更转正放平方
阵
排
上下对易
左右相
转正放平1 2 3 4
16 2 3 4
16 2 3 13
4
9 5 16 5 6 7 8
5 11
8
5 11 10 8
14 7 11
9
10
11
12
9 10 6 12
9 7 6 12
15 6 10 3 13
15
16
13
14
15 1
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