与向量、解析几何相结合的三角形问题
与向量、解析几何相结合的三角形问题
知识拓展
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A +B )=sin C ;(2)cos(A +B )=-cos C ;(3)sin A +B
2=cos C 2;(4)cos A +B 2
=sin C
2
.
2.若G 是△ABC 的重心,则GA →+GB →+GC →
=0.
3.在△ABC 中,若AB →·BC →
<0,则△ABC 为钝角三角形.
4. 在△ABC 中,若,,a b c 成等差数列,则60B ≤o
;若,,a b c 成等比数列,则60B ≤o
;若
,,A B C 成等差数列,则60B =o .
5.在锐角△ABC 中,090A < o ,90A B +>o ,sin cos ,sin cos A B B A >>. 题型分析 (一) 三角与向量的交汇 现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见. 【例1】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】在ABC ?中,角,,A B C 的对边分 别为,,,a b c 已知2 c b = . (1)若2C B =,求cos B 的值; (2)若AB AC CA CB ?=?u u u v u u u v u u u v u u u v ,求cos 4B π??+ ?? ?的值. 【答案】(1)cos B = (2) 【分析】(1)由正弦定理得sin C B = .利用二倍角公式化简得cos B =.(2)化 简向量得a c =.再根据余弦定理得3 cos 5 B =,最后根据同角三角函数关系以及两角和余弦公式得cos 4B π?? + ?? ? 的值. (2)因为AB AC CA CB ?=?u u u v u u u v u u u v u u u v , 所以cos cos cb A ba C =,则由余弦定理, 得222222b c a b a c +-=+-,得a c =. 从而2 22235cos 25 c c c a c b B ac +- ?+-??== =, 又0B π<<,所以24 sin 1cos 5 B B =-= . 从而32422 cos cos cos sin sin 44455B B B πππ?? + =-=-= ? ? ? 【点评】平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 【小试牛刀】设向量,,a b c r r r 满足2a b ==r r , 2a b ?=-r r , ,c 60a c b --=?r r r r ,则c r 的 最大值等于 【答案】4 (二) 三角与数列的交汇 数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类:一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角A ,B ,C 成等差数列;三边a ,b ,c 成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和. 【例2】已知ABC ?的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ?u u u v u u u v 的取值范围是 ______. 【来源】【全国百强校】江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题 【答案】27952, ?? -????? 【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件,所以,解题的重点是如何 把BA BC ?u u u v u u u v 与这个条件联系起来. 【小试牛刀】△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (1)若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ; (2)若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值. 【解析】(1)∵a ,b ,c 成等差数列 ∴a +c =2b 由正弦定理得sinA +sinC =2sinB ∵sinB =sin [π-(A +C )]=sin (A +C ) ∴sinA +sinC =2sin (A +C ) (2)∵a ,b ,c 成等比数列 ∴b 2 =ac 由余弦定理得22222221 cos 2222 a c b a c ac a c B ac ac ac +-+-+= ==- ∵a 2 +c 2 ≥2ac (当且仅当a =c 时等号成立) 22 12a c ac +∴≥(当且仅当a =c 时等号成立) 2211112222 a c ac +∴-≥-=(当且仅当a =c 时等号成立) 即1 cos 2 B ≥ 所以cosB 的最小值为 12 . 【点评】边的等差关系,通常利用正弦定理转化,而边的等比关系,则利用余弦定理找边角关系. (三)三角与三角函数的交汇 【例3】设函数()2sin cos 32 f x x x π?? =+- ? ? ? (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间; (Ⅱ) 已知ABC ?的内角分别为,,A B C ,若2A f ?? = ? ?? ,且ABC ?能够盖住的最大圆面积为π,求AB AC ?u u u v u u u v 的最小值. 【分析】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π?? =+ ?? ? ,令222,2 3 2 k x k k Z π π π ππ- +≤+ ≤ +∈,求解增区间即可; (Ⅱ)由2A f ?? = ???,得3A π=,由题意可知: ABC ?的内切圆半径为1,根据切线长 相等结合图象得b c a +-=()4b c =+,利用均值不等式求最值即可. 【 解 析 】 (Ⅰ) ()112sin cos 2sin2322f x x x sinx cosx x x π?? ?=+=+-=+? ?????? sin 23x π? ? =+ ?? ? . 5222,2 3 2 1212 k x k k x k k Z π π π ππ ππππ- +≤+ ≤ +?- +≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ?? - ++∈???? . (Ⅱ) sin 23A f A π??? ?=+= ? ? ??? ? ()0,A π∈,所以3 A π = . 由余弦定理可知: 222a b c bc =+-. 由题意可知: ABC ?的内切圆半径为1. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 如图所示可得: b c a +-=(2 22b c b c bc +-=+-. ()433 4812bc b c bc bc ?+=+≥?≥或4 3 bc ≤ (舍) [)1 6,2 AB AC bc ?=∈+∞u u u v u u u v , 当且仅当b c =时, AB AC ?u u u v u u u v 的最小值为6. 令也可以这样转化: 31r a b c =?++= 代入2 22 32b c b c bc ??+-=+- ? ??? ; ()4334812bc b c bc bc ?=+≥?≥或4 3 bc ≤ (舍); [)1 6,2 AB AC bc ?=∈+∞u u u v u u u v , 当且仅当b c =时, AB AC ?u u u v u u u v 的最小值为6. 【牛刀小试】已知ABC ?中,角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若 5cos 45cos b A c B a += ,则2 22tan cos 22cos sin tan 22A A A A B =??- ?? ?__________. 【答案】 9 2 【解析】由5cos 45cos b A c B a += 可得, 5cos 5cos 4a B b A c =+,故 5cos 5cos 4a B b A c -=,由余弦定理可得222222 55422a c b b c a a b c ac bc +-+-? -?=,可化得 22245a b c -=,故 2222tan cos tan tan cos 2222tan 2cos cos sin tan 1tan tan 222A A A A sinA B A A A B sinB A B B ===????-- ? ???? ? ()222 22222222222992522225 2a c b a c a c b a c b c a b c a c b bc +-? +-=== =+-+-? ,故答案为92. (四)解三角形与解析几何的交汇 【例4】【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知ABC ?中, AB AC == ABC ?所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==,则ABC ?面积的最大值为__________. 【答案】 16 【解析】设2BC a =,以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系(如图所示),则()( )(,0,,0,B a C a A -,设(),P x y ,由 22233PB PC PA +==, 得22 2((3 { (1 x x y y y x +++=+=, 即22222232 { 31 x y a x y a += -+-+-=, 则27 22 11 a y -=≤≤, 则( )( ) 2 22323a a --≤≤-+ 即( ) ( ) 2227 232232 a a a --≤ -≤-+, 解得a ≤ ,即122ABC S a ?=?=≤ 即ABC ? 面积的最大值为 16 . 【牛刀小试】已知椭圆C :22 1169 x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是 椭圆上任一点,求PAB ?面积的最大值. 【分析】先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示出点P 的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值 【点评】与椭圆上点有关的范围或者最值问题,用参数方程进行三角代换后,可以利用正余弦的有界性求范围或者最值. 五、迁移运用 1.已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心, cos cos 60, 2,sin sin B C A AB AC mAO C B ?∠=+=u u u v u u u v u u u v 则实数m 的值为_____. 【答案】 3 【解析】设AB 的中点为D ,则有AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r , 代入cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B ?+?=u u u r u u u r u u u r ,可得() cos cos 2sin sin B C AB AC m AD DO C B +=+u u u r u u u r u u u r u u u r (*) , 由AB DO ⊥u u u r u u u r 得· 0AB DO =u u u r u u u r , 将(*)式两边同乘以AB u u u r ,化简得() cos cos ··2?sin sin B C AB AB AC AB m AD DO AB C B +=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 即22cos cos cos sin sin B C c bc A mc C B ?+?=, 由正弦定理及上式得22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B C C B C A m C C B ?+?=, 因为sin 0C ≠, 所以cos cos cos sin B A C m C +=, 所以m = cos cos cos sin B A C C +=()cos cos cos sin A C A C C -++= sin A =32. 答案: 3 . 2.【2018届高三南京市联合体学校调研】如图, ,,A B C 是直线l 上的三点, P 是直线l 外 一点,已知112AB BC ==, 90CPB ∠=o , 4tan 3 APB ∠=.则PA PC ?u u u v u u u v =_____ 【答案】3217 - 【解析】设PBC θ∠= , 434 tan ,cos ,sin 355 APB APB APB ∠= ∴∠=∠=Q ,则由112AB BC ==可得()15 22sin 4PC sin PB cos PA sin sin APB θθπθθ===-∠u u u r u u u r u u u r ,,=, 且()222222 214418PA AB PB PB AB cos cos cos cos πθθθθ+--=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =, 2225sin 1816cos θθ∴ =+, 解得216 sin 17 θ= 则() 5 cos sin 2sin cos 904 PA PC PA PC APC APB θθ?=??∠=?+∠o u u u r u u u r u u u r u u u r ()2532sin sin 217 APB θ=-∠=- 即答案为32 17 - 3.【江苏省南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】已知ABC ?的三边长成公比为2的等比数列,则ABC ?最大的余弦值为__________. 【答案】2 4 - 【解析】由题设三边长分别为:a, 2a ,2a,且2a 为最大边,所对的角为α, 由余弦定理得: 2222 2 cos 422a α==- 4.【2018江苏省南通如皋市高三年级第一次联考】在△ABC 中,若1tan A , 2tan C , 1 tan B 成等差数列,则cos C 的最小值为________. 【答案】 1 3 【解析】∵ 1tan A , 2tan C , 1tan B 成等差数列,∴114tan tan tan A B C +=,即cos cos 4cos sin sin sin A B C A B C +=,可得sin cos sin cos sin 4cos sin sin sin sin sin B A A B C C A B A B C +== , 2sin cos 4sin sin C C A B =,由正弦定理和余弦定理可得: 222224a b c c ab ab +-=,化简得 ( ) 22 2 23a b c +=, 2222221cos 2663a b c a b ab C ab ab ab +-+= =≥=,故答案为1 3 . 5.【江苏省南京市2018届高三数学上学期期初学情调研考】在△ABC 中,AB =3,AC =2,∠BAC =120, BM BC λ=u u u u v u u u v .若17 ·3 AM BC =- u u u u v u u u v ,则实数λ的值为______. 【答案】 13 6.如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°,点C 在AB 上,且030COB ∠=,若 OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v ,则λμ+=____________. 【答案】3 【解析】如图所示, 建立直角坐标系.∵ο30=∠BOC ,1=OC .∴( ) ο ο30sin ,30cos C , 即???? ??21,23,C .∵ο120=∠AOB ,∴()οο120sin ,120cos A ,即??? ? ??-2321,A .又()0,1B ,OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v .∴ ???????=+??? ??-=λμλ232 12123,解得???????==3 323 3 μλ.∴3=+μλ,故答案为3. 7.如图所示,在平面四边形ABCD 中, 1AB =, 2BC =,为ACD ?正三角形,则BCD ?面积的最大值为__________. 31 【解析】在△ABC 中,设∠ACB =α,∠ACB =β,由余弦定理得: AC 2=12+22?2×1×2cos α=5?4cos α, ∵△ACD 为正三角形, ∴CD 2 =5?4cos α, 由正弦定理得: 1AC sin βsin α =, ∴AC ?sin β=sin α, ∴CD ?sin β=sin α, ∵(CD ?cos β)2 =CD 2 (1?sin 2 β)=CD 2 ?sin 2 α=5?4cos α?sin 2 α=(2?cos α)2 ∵β<∠BAC ,∴β为锐角,CD ?cos β=2?cos α, ∴13122332BCD S CD sin CD sin cos CD sin ππββββ????= ???+=?+=?+? ? ?????V ()313223cos sin sin πααα??= -+=- ?? ?, 当56 π α= 时, ()31BCD max S =V . 8.如图,现有一个AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB . 现欲在弧AB 上取不同于,A B 的点C ,用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中//CD OA ),在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I 和养殖区域II. 若1OA cm =, 3 AOB π ∠= , AOC θ∠=. 求所需渔网长度(即图中弧AC 、 半径OC 和线段CD 长度之和)的最大值为______. 623 π++【解析 】 由 3 CD OA AOB AOC π θ ∠= ∠=P ,, ,得 233 OCD ODC COD ππ θθ∠=∠= ∠=-,,. 在OCD V 中,由正弦定理,得0333 CD sin ππ θθ= -∈(),(,) 设渔网的长度为f θ() ,则10333 f ππθθθθ=+-∈()(),(,) 所以'133 f πθθ=-( )(), ,因为03πθ∈(,),所以, 033ππ θ-∈(,) 令'0f θ=() ,得33 cos π θ-= () ,所以36ππθ-= ,所以6 π θ=. θ 06π (,) 6 π 63ππ (,) 'f θ() + - f θ() 极大值 所以f θ() 623 π++623 π++9.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若4a b +=, 23c =,且 2 3 CA CB ?=u u u v u u u v ,则ABC V 的面积是__________. 3 10.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且4cos 5 B = ,则 11 tan tan A C + 的值是___________. 【答案】5 3 【解析】因为,,a b c 成等比数列,所以2b ac =,由正弦定理,得2sin sin sin B A C =, 因为4cos 5B = 且0πB <<,所以3sin 5B =,则11cos cos tan tan sin sin A C A C A C +=+ 2 cos sin sin cos sin 15sin sin sin sin 3A C A C B A C B B +====;故填5 3 . 11.【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c ,若ABC ?为锐角三角形,且满足22b a ac -=,则 11 sin tan tan B A B -+的取值范围是__________. 【答案】32,6? ?? 【解析】由正弦定理得: 22sin sin sin sin B A A C -=,由降幂公式得 cos2cos2sin sin 2 A B A C -=,再结合和差化积得: ()sin sin B A A -= 在三角形中得2B A =,所以3C A π=-,由三角形为锐角三角形得: , 6 432 A B π ππ π << << ,而 111sin sin tan tan sin B B A B B -+=+, ∵ 3 2 B π π << ,∴3sin B ?∈????,令3sin t B ? =∈???? , 函数1 y t t =+在(]0,1递减,所以732y <<,故填73? ?? . 12.【】江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】在ABC ?中, CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v . (1) 求角C 的大小; (2)若CD AB ⊥,垂足为D ,且4CD =,求ABC ?面积的最小值. 【解析】(1)由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ,两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v , 即( )( ) 2 2CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ,得到20CA CB ?=u u u v u u u v ,即CA CB ⊥u u u v u u u v 。 所以2 C π ∠= . (2)在直角ADC ?中, 4 sin sin CD AC A A == , 在直角BDC ?中, 4 sin sin CD BC B B == , 又0, 2A π?? ∈ ?? ? ,所以sin sin cos 2B A A π?? =-= ??? , 所以1144816 22sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A ?=?=??== , 由+2 A B π = 得, ()20,A π∈,故(] sin20,1A ∈, 当且仅当4 A π = 时, ()max sin21A =,从而()min 16ABC S ?= . 13.【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】已知函数 ()2cos cos ,36f x x x x R ππ??? ?=+-∈ ? ???? ?. (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若锐角A 满足()12f A =- , 6 C π =且2c =,求ABC ?的面积. 【解析】 (1) ()2cos cos 2sin cos 36236f x x x x x πππππ??? ? ? ?????=+ -=-+- ? ? ? ???? ???????? ? 2sin cos 2sin 2663x x x πππ????? ?=--=-- ? ? ?????? ? 所以,函数的最小正周期2T π πω = =. (2) ()11,2sin 2.232f A A π? ?=- ∴--=- ?? ?Q 1sin 2,32A π? ?∴-= ?? ?因为A 为锐角,所以20,22333A A ππππ<<∴-<-<. 所以, 23 6 A π π - = ,得,4 A π = 由正弦定理, ,sin sin a c a A C ==得出 所以, ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+= 所以11sin 2122S ac B = =?=+ 14.【江苏省丹阳高级中学2018届高三上学期期中】设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为 a , b , c .向量() m a =, ()sin cos n B A =-,, 且m n ⊥. (1)求A 的大小; (2)若4 n = ,求cos C 的值. 【解析】(1)因为m n ⊥,所以0m n ?=,即sin cos 0a B A -=. 由正弦定理得, sin sin a b A B = , 所以sin sin cos 0A B B A =. 在△ABC 中, ()0πB ∈,, sin 0B >,所以sin A A =. 若cos 0A =,则sin 0A =,矛盾. 若cos 0A ≠,则sin tan cos A A A ==. 在△ABC 中, ()0πA ∈,,所以π 3 A =. (2)由(1)知, π3A = ,所以1sin 2n B ? ?=- ?? ? ,. 因为4n ==sin 4B =(负值已舍). 因为21sin 42B = <,所以π06B <<或5ππ6 B <<. 在△AB C 中,又π3A = ,故π 06 B <<,所以cos 0B >. 因为22sin cos 1B B +=,所以14 cos B = . 从而()cos cos C A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+ 114322=- ?+?614 8 -=. 16.如图,银川市拟在长为8km 的道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数()[] sin 0,00,4y A x A x ωω=>>∈的图象,且图象的最高点为() 3,23S ;赛道的后一部分为折线段MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 120MNP ∠=?. (1)求A ω、的值和M P 、两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道最长? 【解析】(1)依题意,有23,34T A ==,又2T πω= ,∴6πω=,∴23sin 6 y x π = 当4x =时,∴223sin 33 y π == ∴()4,3M ,又()8,3p ∴2 2 435MP += 16.【江苏省横林高级中学2018届高三数学文卷】在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c 已知()cos 1cos B C A -=-,且,,b a c 成等比数列.求: (1) sin ?sin B C 的值; (2) A 的值; (3) tan tan B C +的值. 【解析】(1) 因为A +B +C =π,所以A =π-(B +C). 由cos(B -C)=1-cosA ,得cos(B -C)=1+cos(B +C), 展开,整理得sinB·sinC= 1 2 . (2) 因为b ,a ,c 成等比数列,所以a 2 =bc. 由正弦定理,得sin 2 A =sinBsinC ,从而sin 2 A = 12 . 因为A∈(0,π),所以sinA = 22 . 因为a 边不是最大边,所以A = 4 π . 空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员: 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙 空间解析几何与向量代数 摘要:深入了解空间解析几何与向量代数的概念,一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律,还有空间直线与平面的关系。 关键词:向量;向量代数;空间几何 第一部分:向量代数 第一节:向量 一.向量的概念: 向量:既有大小,又有方向的量成为向量(又称矢量)。 表示法:有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小,记作|a |。 向径(矢径):起点为原点的向量。 自由向量:与起点无关的向量。 单位向量:模为1的向量。 零向量:模为0的向量,记作.0或0 若向量a 与b 大小相等,方向相同,则称a 与b 相等,记作a =b ; 若向量a 与b 方向相同或相反,则称a 与b 平行,记作a //b 规定:零向量与任何向量平行;与a 的模相同,但方向相反的向量称为a 的负向量, 记作-a ;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上,则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则: b a +b a 三角形法则: a + b b a 运算规律:交换律a + b =b +a a 与b 结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +(a ) a b -a b b -a a 特别当b =a 时,有a -a =a (a )=0 ; 三角不等式:|b +a |; |a -b |; 3.向量与数的乘法是一个数,与a 的乘积是一个新向量,记作a 。 规定: a 与a 同向时,|a |=|a |; 总之:|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r (x,y,z ),作om r ,则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得: |r | |OM| B A 对两点A ()与B ()因AB OB OA () 得两点间的距离公式: |AB| |AB | 第二节:数量积 向量积 第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模,方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=,求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影,及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23,求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及;及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -,求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ,问μλ与满足_________时,轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程为 __ _____________,曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程 _____________,曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周,生成的曲面方 程为_____________,曲面名称为_____________________. 4)在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5)画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、 第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空 间解析几何的意义和目的。 教学重点: 1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点:空间思想的建立 教学内容: 一、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系 (三维)如图7- 1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指 从正向x 轴以角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。 2 间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:轴、y 轴、轴,坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7-2 所示。图7-1 右手规则演示图 7-2 空间直角坐标系图图 7-3空间两点M1M 2的距离图3.空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组 一一对应起来。 注意:特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点; b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点,则 M 1M 2的距离(见图7- 3),利用直角三角形勾股定理为: d 2 222 M1M 2M1NNM 2 222 M 1 p pNNM 2 而 M 1 P x 2 x 1 PN y 2 y 1 NM 2 z 2 z 1 所以 d M 1M 2 (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2 特殊地:若两点分别为 M ( x, y, z) , o(0,0,0) d oM x 2 y 2 z 2 例 1:求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。 2 ( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14 证明 : M 1M 2 M 2M 3 2 7) 2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5 2 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 3M 1(5 由于 M 2M 3 M 3 M 1 ,原结论成立。 例 2:设 P 在 x 轴上,它到 P (0, 2 ,3) 的距离为到点 P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍, 1 求点 P 的坐标。 解:因为 P 在 x 轴上,设 P 点坐标为 ( x,0,0) PP 1 x 2 2 PP 2 x 2 1 2 x 2 11 32 2 x 2 2 12 PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2 2 x 1 向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题。 一:将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例1.】已知△ABC 中,A 、B 两点的坐标分别为(-4,2)、(3,1),O 为坐标原点。已知||=λ·||,||=λ·||,∥ = (1,2)求顶点C 的坐标。 【解】如图:∵||=λ·||,∴λ=0 | |>CB ∵||=λ·||,∴A 、D 、B 三点共线,D 且λ=0 | |>DB ∴||CB =||DB ∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。 ∴A 、D 、B 三点共线∥∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。 ~ 又∵直线CD 的方向向量为=(1,2),∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为:y =2x (注意:至此,以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件,下面用解析几何的方法解决该题) 易得:点A (-4,2)关于直线y =2x 的对称点是A ’ (4,-2), (怎样求对称点) ∵A ’ (4,-2)在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为:3x +y -10=0 由?? ?=-+=01032y x x y 得C (2,4) 【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||=λ·||和∥转化 为三点共线,实现了向量条件向平面位置关系的转化;而由λ=||CB =||DB ,实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化,从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 \ 【例2】.已知1OF =(-3,0),2OF =(3,0),(O 为坐标原点),动点M 满足:||1MF +||2MF =10。 (1)求动点M 的轨迹C ; (2)若点P 、O 是曲线C 上任意两点,且OP ·=0,求2 2 2 OQ OP ?的值 【解】(1)由||1MF +||2MF =10知: 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义:动点M 的轨迹为椭圆:116252 2=+y x \ (2)∵点P 、O 是1 16252 2=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5),Q(ββsin 4,cos 5) (注意 ∵OP ·=0 得:βαβαsin sin 16cos cos 25+=0 ① 而2 、2 2 ?都可以用α、β的三角函数表示,利用①可以解得: 2 2 2 PQ ?=40041 【例3.】在△ABC 中,A(2,3),B(4,6),C(3,-1),点D 满足:CA ·CD =CD ·CB (1)求点D 的轨迹方程; ~ 第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求用标准基i , j , k 表示向量c ; A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下,从点A (1,2,0)移动到点B (3, 2,-1),求力F 所作的功是:( ) A )5焦耳 B )10焦耳 C )3焦耳 D )9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 21 3+=-=z y x 的距离是:( ) A )138 B 118 C )158 D )1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是:( ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( ) A ) 3 62 B ) 3 64 C )3 2 D )3 10. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:( ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点:1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容: 一、向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。 2. 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3. 向量相等b a =:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。 4. 量的模:向量的大小,记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5. 量平行b a //:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6. 负向量:大小相等但方向相反的向量,记为a - 二、向量的线性运算 1.加减法c b a =+: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-4 2.c b a =- 即c b a =-+)( 3.向量与数的乘法a λ:设λ是一个数,向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时,a λ与a 同向,||||a a λλ= 0)2(=λ时,0a =λ 0)3(<λ时,a λ与a 反向,||||||a a λλ= 其满足的运算规律有:结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,那么 a a a 0= 定理1:设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数λ, 使b =a λ 例1:在平行四边形ABCD 中,设a =AB ,b =AD ,试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ,这里M 是平行 四边形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4 解:→→==+AM AC 2b a ,于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC , 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ,于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB , 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。 空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //,则 B (A )、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){04404=--=--y x z x (D )?? ???==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ()向量的模——有向线段的长度,2||a → ()单位向量,3100|||| a a a a →→ → → == ()零向量,4000→ → =|| ()相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数,使()0λλ (7)向量的加、减法如图: OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e e a → → → 12,是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一 实数对、,使得,、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i j x y →→ ,是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数,,使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=,称,为向量的坐标,记作:,,即为向量的坐标() 表示。 ()()设,,,a x y b x y → → ==1122 ()()()则,,,a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111,, ()()若,,,A x y B x y 1122 ()则,AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212,、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 ()··叫做向量与的数量积(或内积)。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角,,a b → → ∈0 第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示:→ -AB 或a (几何表示)向量的大小称为向量的模,记作||AB 、|a |、||a 1. 方向余弦:??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r =(x ,y ,z ),| r |=2 22z y x ++ 2. 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3. 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4. 向量加法(减法) ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5. a ·b =| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b =0(a ·b =b ·a ) 6. 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b =0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 12 12 1z z y y x x == 7. 数乘:),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ,→ a 与→ b 夹角为 3 π ,求||→ →+b a 。 解 2 2 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ → →→ →→ →→ → → → → → ++= ?+?+?= +?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222 = +???+= π 例2 设2)(=??c b a ,求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+ 解析几何与向量的结合问题专题 1.教学目标 1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用 2.2通过对解析几何中,与向量的结合问题,渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力; 3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力,提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点 2.1重点:利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题,并培养学生分析问题以及解决问题的能力; 2.2难点:如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点,并探寻合理的解决方法,进而培养学生的逻辑思维能力。 3.教学过程 喜欢学习解析几何问题的学生很多,喜欢动脑,非常好的事。但遇到解析几何问题,得分率又不高,细化汇总来看,在一些问题上还有待提高,其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢?今天我们就一起来探讨一下。 试卷上刚做过得一题: 例1:已知双曲线C :),0,0(12 2 >>=-n m n y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点,直线l 与 双曲线C 交于A,B 两点,E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==,(1,0)A -,直线l 与坐 标轴不垂直,点M 为直线BE 与y 轴的交点,且满足3ME EB =u u u r u u u r ,求直线l 的斜率; 3.1学生分析题目 站在学生角度分析: (1)学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ,两个动M B 和, 无法下手。 (2)学生看到32 ME EB =u u u r u u u r ,第一步表示出E 标,由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E , B 第二步:再求出点坐标,如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+,(,)B B B x y 然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2 2 1x y -=联立,用韦达定理 空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的:理解向量的概念及其表示;掌握向量的运算,了解两个向量垂直、平行的条件;掌握空间直角坐标系的概念,能利用坐标作向量的线性运算; 重点与难点 重点:向量的概念及向量的运算。难点:运算法则的掌握 过程: 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定:→0方向可以看作是任意的. 相等向量:方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量(亦称共线向量):两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定:零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a; (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b. 第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//,则B (A )、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2.平面x-2z=0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1(B)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){ 4404=--=--y x z x (D )?????==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 (A )、L 1⊥L 2(B )、L 1//L 2(C )、L 1与L 2相交但不垂直。(D )、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1.点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l =-4,及m=3时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为 六、平面向量 考试要求:1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用,掌握平移公式。 1、已知向量与不共线,且0||||≠=,则下列结论中正确的是 A .向量-+与垂直 B .向量-与垂直 C .向量b a +与a 垂直 D .向量b a b a -+与共线 2.已知在△ABC 中,?=?=?,则O 为△ABC 的 A .内心 B .外心 C .重心 D .垂心 3.在△ABC 中设a AB =,b AC =,点D 在线段BC 上,且3BD DC = ,则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量,而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量,则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且 →→+=j i 24,→ →+=j i 43,则△OAB 的面积等于 : A .15 B .10 C .7.5 D .5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(,则向量OC 的坐标是 , 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量,则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ,则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A . 2 3 B .21- C .-5 D .31- 8、在锐角三角形ABC 中,已知ABC ?==,1||,4||的面积为3,则=∠BAC ,?的值为 . 9、已知四点A ( – 2,1)、B (1,2)、C ( – 1,0)、D (2,1),则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围 第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面和的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点到直线L :的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于轴,且过点和的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b 第七章:空间解析几何与向量微分 本章内容简介 在平面解析几何中,通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来,把平面上的图形和方程对应起来,从而可以用代数方法来研究几何问题,空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。(如下图所示) 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后,就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标。(如下图所示) 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 例:如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,则y=z=0;如果M是原点, 则x=y=z=0,等。 二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点,为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式: 例题:证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答:由两点间距离公式得: 由于,所以△ABC是一等腰三角形 7.2 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外,还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点,若以P1为始点,另一点P2为终点的线段称为有 向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中 第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //,则 B (A )、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){ 4404=--=--y x z x (D )?????==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1//L 2 (C )、L 1与L 2相交但不垂直。(D )、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0. 第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。教学重点: 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点: 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容: 一、向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向 量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。 2.量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3.向量相等a b :如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全 重合的向量)。 4.量的模:向量的大小,记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5.量平行a // b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6.负向量:大小相等但方向相反的向量,记为a 二、向量的线性运算 1.加减法a b c :加法运算规律:平行四边形法则(有 b c 时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a - 4 2.a b c即 a ( b) c 3.向量与数的乘法 a :设是一个数,向量 a 与的乘积a规定为 (1)0 时, a 与a同向,| a || a | (2)0 时,a0 (3)0 时, a 与a反向,| a | ||| a | 其满足的运算规律有:结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量,那么 a 0a a 定理 1:设向量 a0,那么,向量 b 平行于 a 的充分必要条件是:存在唯一的实数 λ , ≠ 使b=a 例 1:在平行四边形ABCD 中,设AB a , AD b ,试用a 和b表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ,这里M是平行 四边形对角线的交点。(见图 7- 5) 图 7- 4 解: a b AC 2 AM ,于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ,于是 MC 1 ( a b) 2 1 又由于a b BD 2 MD ,于是 MD(b a) 1 (b 2 由于MB MD ,于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图 7- 1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。 《高等数学A》课程教案 第七章空间解析几何 一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配: 第一节向量及其线性运算2学时 第二节数量积向量积和混合积2学时 第三节曲面及其方程2学时 第四节空间曲线及其方程2学时 第五节平面及其方程2学时 第六节空间直线及其方程2学时 三、教学内容的重点及难点: 重点: 向量概念与运算,旋转曲面方程,柱面方程,平面方程直线方程 难点:向量的数量积与向量积,旋转曲面方程,平面束方程,有关直线与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽: 1、空间直角坐标系的作用,向量的概念及其表示。 2、向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),两个向量垂直、平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 5、曲面方程的概念,常用二次曲面的方程及其图形, 五、教学方法与手段 启发探索式教学方法,结合多媒体课件教学。 空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模_________________, 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知:k i 3+=,k j 3+=,求OAB ?的面积。 参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S空间解析几何与向量代数论文
§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案
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