综合测试卷1(含答案)

综合测试卷1

一、选择题(本大题20小题，每小题3分，共60分)

1．在△ABC中，sin A=

2

2

是∠A=45°的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设a>b>1，c<0, 给出下列三个结论：

①c

a

>

c

b

；②a clog a(b－c)．

其中正确结论的序号为( )

A．① B．①② C．②③ D．①②③

3．已知函数f(x)是R上的奇函数，且函数g(x)=f(x)+2在（0，+∞）上有最大值6，则g(x)在（－∞，0）上有（）

A.最大值－6

B. 最小值－6

C. 最大值－4

D.最小值－2

4．已知函数f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x＋x2，则下列各点一定在f(x)图象上的是( )

A．(2，－6) B．(－2，2) C．(－2，－2) D．(－2，－6) 5．已知二次函数y=－x2＋x＋6，当y＞0时，x的取值范围是( )

A．(－3，2) B．(－∞，－3)∪(2，﹢∞) C. (－2，3) D. (－∞，－2)∪(3，﹢∞)

6．已知等差数列{a n}，且a3＝5，a7＝13，则该数列前10项的和

为( )

A ．90

B ．100

C ．110

D ．120

7．设m ，n 是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，那么m ，n 的等比中项是( )

A ．－4

B ．4

C ．5

D ．4或－4

8．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )

A ．－12

B ．－6

C ．6

D ．12

9．已知sin θ>0，且tan θ<0，则化简1－sin 2θ的结果为( )

A ．－cos θ

B ．cos θ

C ．sin θ

D ．±cos θ

10．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝6，且2cos A －1＝0，则BC 的长度是( )

A ．8

B ．27

C ．210

D ．219

11．已知过点A (－2，－8)和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )

A ．－8

B ．－10

C ．12

D ．22

12．已知点M (－1，6)，N (3，2)，则线段MN 的垂直平分线的方程为( )

A ．x －y －4＝0

B ．x －y ＋3＝0

C ．x ＋y －5＝0

D ．x ＋4y －17＝0

13．已知直线过点P (－5，－4)，倾斜角的正弦值为45

，则直线的方程为( )

A ．3x ＋4y ＋8＝0

B ．4x ＋3y ＋16＝0

C ．4x ＋3y ＋32＝0

D ．4x －3y ＋8＝0或4x ＋3y ＋32＝0

14．函数y= f (x ) 的图像与直线x ＝k (k 是常数) 的交点的个数是( )

A ．有且只有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D ．有一个或两个

15．若直线y ＝x ＋m 与圆x 2+y 2=4有交点，则m 的取值范围是( )

A ．(－2，2)

B ．[－2，2]

C ．(－22，22)

D ．[－22，22]

16．不等式2x ＋3y －6≥0表示的区域(阴影部分)是( )

17．圆的方程为x 2＋y 2－2x －8 y ＋13＝0，圆心到直线ax ＋y －1

＝0

的距离为1，则实数a 的值是

( )

A ．－43

B ．－34

C ． 3

D ． 2

18．椭圆x 225＋y 236

＝1上一点P 到一个焦点的距离等于4，则它到另一个焦点的距离为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

19．已知双曲线的实轴长为12，焦距为20，则双曲线的标准方程是( )

A.x 236－y 264＝1

B.x 264－y 236

＝1 C.x 236－y 264＝1或x 264－y 236＝1 D.x 236－y 264＝1或y 236－x 264

＝1 20．顶点在原点，焦点为F ? ????0，14的抛物线的方程是( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝－x

C ．x 2＝y

D ．x 2＝－y

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

21．设集合M ＝{ x |－1≤ x ＜2}，N ＝{ x | x ≤a }，若M ∩N ≠?，则a 的取值范围是 .

22．使sin x ＝4－2a 有意义的a 的取值范围是 ．

23．一艘游船以航速8 km/h 向北航行，此时河水从西向东流，流

速也是8 km/h ，则轮船的实际速度为 ．(提示：注明大

小和方向)

24．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距

离为其短轴长的14

，则该椭圆的离心率为 ． 25．已知抛物线y 2＝2x 的焦点F ，点P 是抛物线上一动点，点A (3，

2)，则|PA |＋|PF |的最小值为 ．

三、解答题(本大题共5小题，共40分)

26．(本小题满分6分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －20.

(1)证明数列{a n }为等差数列；

(2)求数列的前n 项和S n 的最小值．

27.(本小题满分8分)如图所示，有一块边长为6 m 的等边三角形钢板，要从中截取一块矩形材料，求所截得的矩形的最大面积．

第27题图

28.(本小题满分8分)已知函数f (x )＝－4sin2x ＋43sin x ·cos x

＋m －2，当x ∈?

????0，π2时，f (x )的最小值为－5，求m 的值．

29.如图所示，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的

限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，

∠BAD＝60°，

∠BCD＝135°，

29题图求两景点B与C的直线距离（精确到0.1km）

30.(本小题满分8分)已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆x2＋2y2＝8的左焦点．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若过点M(－1，1)作直线l交抛物线于A，B两点，若点M是线

段AB的中点，求直线l的方程．

第一～八章 综合测试卷

一、选择题

1—5 BDDDC 6—10 BDDAB 11—15 ABDCD 16—20 DACDC

二、填空题

21．{ a|a≥－1}. 【提示】 借助于数轴，利用集合之间的关系即可求出a 的范围.

22.????32，52 【提示】 由sin x ∈[－1，1]知－1≤4－2a ≤1，解得32≤a ≤52

. 23．8 2 km /h ，北偏东45°

24．14

. 【提示】 先求出直线l 的方程（四种形式中的一种），再由点到直线的距离公式，结合题意可求出b 2=15c 2,∴a 2=b 2+c 2=16c 2,∴c a =14

. 25．72

【提示】不难看出点A 是抛物线内的点.利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，当A 、P 的连线平行于x 轴时，|P A|＋|PF|的值最小（利用三角形的两边之

和大于第三边），最小值为3+p 2=3+12=72

. 三、解答题

26．解：(1)由a n ＝3n －20知a n －1＝3(n －1)－20＝3n －23，则a n －a n －1＝3n －20－(3n －

23)＝3为常数，

∴数列{a n }为等差数列．

(2)令a n ＝3n －20≤0可得n ≤203

， ∴数列{a n }的前6项为负数，即前6项和最小，

∵a 1＝3－20＝－17，d ＝3，

∴S 6＝6×(－17)＋6×52

×3＝－57. 27．解：设DC ＝x ，则PD ＝x ，DQ ＝6－x ，

∵∠PQR ＝60°，∴DA ＝DQ ·sin ∠PQR ＝

32(6－x )， ∴矩形ABCD 的面积为S ＝x ·32(6－x )＝－32

x 2＋33x (0

?－32＝932， ∴所截得的矩形的最大面积为932

m 2. 28．解：函数f(x)＝－4sin 2x ＋43sinxcosx ＋m －2

＝－4×1－cos 2x 2

＋23sin 2x ＋m －2 ＝2cos 2x ＋23sin 2x ＋m －4

＝4sin ?

???2x ＋π6＋m －4， 当x ∈?

???0，π2时，2x ＋π6∈????π6，7π6， ∴4sin ?

???2x ＋π6∈????－12，1， ∴函数f (x )的最小值为4×???

?－12＋m －4＝－5， 解得m ＝1.

29．解：设BD =x km,在△ABD 中，由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD

=142+102－2×14×10·cos60°=156，∴BD=239，由正弦定理知BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB

, 即239sin60°=14sin ∠ADB

，∴sin ∠ADB =71326，∴cos ∠ADB=3926 , ∵∠ADB +∠CDB=90°，∴sin ∠CDB=cos ∠ADB=

3926 ,在△BCD 中，由正玄定理得 BC sin ∠CDB =BD sin ∠BCD

.∴BC=239×3926×1sin135°=32≈4.2（km ） 所以两景点B 与C 的直线距离约为4.2km.

30．解：(1)椭圆x 2＋2y 2＝8可化为x 28＋y 2

4

＝1， ∴a 2＝8，b 2＝4，c 2＝a 2－b 2＝8－4＝4，c ＝2，

即椭圆的左焦点为(－2，0)，

即抛物线的焦点为(－2，0)，p 2

＝2，p ＝4， ∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x .

(2)由题意可知直线l 的斜率存在，

设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

∵A ，B 两点都位于抛物线上，

因此满足???y 2

1＝－8x 1，y 22＝－8x 2

， 两式相减得y 22－y 21＝－8x 2－(－8x 1)，

即(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝－8(x 2－x 1)，

由此可得y 2－y 1x 2－x 1＝－8y 2＋y 1

， 由点M (－1，1)是线段AB 的中点可知y 2＋y 12

＝1， ∴y 2＋y 1＝2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－8y 2＋y 1＝－82

＝－4， 由点斜式方程可得y －1＝－4(x ＋1)，

整理得4x＋y＋3＝0，

∴直线l的方程为4x＋y＋3＝0.