解方程综合练习题

解方程综合练习

一．一元一次方程

1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)； 2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)；

3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22； 4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5；

5.(1)3(y+4)12； (2)2-(1-z)=-2；

(3)2(3y-4)+7(4-y)=4y ； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)；

(5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)．

二．二元一次方程组

1．（1）??

?=+=-13y x y x （2）??

?=+=-8

3120

34y x y x

（3）??

?=+=-1464534y x y x （4）??

?=-=+1

235

4y x y x

（5）??

?=+=+132645y x y x （6）??

?=+=-17

327

23y x y x

2.（1）23

321y x x y =-??

+=? （2）??

?-=-=+4

57y x y x

（3） 23

3418x y

x y ?=?

??+=? （4）56

3640

x y x y +=??

--=?

3.（1）??

?-=-+=-85)1(21

)2(3y x x y （2）?????=+=

433

2y x y x

（3）??

?=--=--0232560

17154y x y x （4）????

?=-=+2

3432

32y x y x

（5）?????=-+=+1

323

241y x x y （6）??

?=+=+241

2123243

2321y x y x

（7）????

?=+-+=-+-0

4235

132423512y x y x （8）????

?=+--=++-5

7326

231

732623y x y x y

x y x

三．分式方程

423-x -2-x x

1。 2. 31144x x x -=---

3.3212x x =--

4. ()523111

x x x x +-=++

233x x =+ 6. 144222=-++-x x x

7.2

641313-=--

x x 8. x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2

x ─ 1 = 0

四．一元二次方程

. 1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+

4、31022

=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=0

7、7x 2

－4x －3 =0 8、 -x 2

-x+12 =0 9、x 2

－6x+9 =0

10、22

(

32)(23)x x -=- 11、x 2

-2x-4=0 12、x 2

-3=4x

13、2631350x x -+= 14、()2

231210x --= 15、2

223650x x -+=

16、()()2

116x x ---= 17、()()323212x x -+= 18、2

2510x x +-=

行列式解二元一次方程组

行列式解二元一次方程组在研究用消元法解二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 中，可得解的公式 ??? ??? ?--=--=．，122112211 2211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，显然，那个公式本身还看不出它的明显规律，也不易经历，因此那个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利经历呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就能够达到以上目的，由此，能够看出行列式能关心解决刚才提出的问题、 1、符号 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式，a 1、a 2、b 1、b 2叫做那个二阶行列式的元素， a 1、a 2、 b 1、b 2这四个元素排成二行二列〔横排叫行，竖排叫列〕、例如，a 2是位于第二行第一列上的元素，b 1是位于第一行第二列上的元素、 2、二阶行列式的展开形式为 2 2 11b a b a ＝a 1b 2－a 2b 1，它的展开方法是，将a 1、 a 2、 b 1、b 2四个数排列成正方形，即 2 21 1b a b a 能够看出a 1b 2－a 2b 1是如此两项的和，一项为哪一项正方形中实线表示的对角线〔叫做主对角线〕上两数的积，再添上正号；一项为哪一项虚线表示的对角线〔叫做副对角线〕上两数的积，再添上负号、这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法那么、 3、二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 的解的行列式表示法， 2 2 11 2 2 11b a b a b c b c x = ， 2 2 112 2 11b a b a c a c a y = ，〔a 1b 2－a 2b 1≠0〕为简便起见，设2 2 11b a b a D = ，2 2 11b c b c D x = ，2 2 11c a c a D y = ，那么当D ≠0

二元一次方程解方程组

二元一次方程解方程组 1.若方程23x y -=写成用含x 的式子表示y 的形式:_________________;写成用含y 的式子表示x 的形式:___________________________; 2. 已知???==12y x 是方程2x +ay=5的解，则 a= . 3.二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解11x y =??=-? ,则m=______,n=_____; 4.已知2|2|(3)0a b b -++-=,那么______ab = 5.用加减法解二元一次方程解方程组：（1）???=-=+12354y x y x （2）???=+=+132645y x y x （3）???=+=-1732723y x y x 代入消元法解方程组：（4） 23 3418 x y x y ?=???+=? （5）563640x y x y +=??--=? 6、若3122x m y m =+??=-?，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值。 7、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B )=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。

8．已知（a －2）x －by |a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． 9．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 10.．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______． 11．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 12．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________． 13．若满足方程组???=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 14：若方程组? ??=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为。若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-5 243y x by x a 有相同的解，则a= ，b= 。 15．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． 16．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______． 17．若???-==20y x ，?? ???==311y x 都是关于x 、y 的方程ax ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为 18．甲、乙两人解方程组???=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得???==3 2y x ，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得? ??-=-=21y x ，求a 、b 的值．

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全 1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n>0)的方程，其解为x=土根号F n+m. 例 1.解方程(1) (3x+1)2=7 (2) 9x2-24x+16=11 分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2, 右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。 ⑴解:(3x+1)2=7X ? *. (3x+1 )2=5 ???3x+仁土 (注意不要丢解) /. x= .??原方程的解为x1=,x2= (2) 解:9x2-24x+16=11 .?.(3x-4)2=11 A3x-4=± /. x= 原方程的解为x1=,x2= 2. 配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(aH0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1： x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b"2-4ac20 时，x+=± .??x=(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程3x"2-4x-2=0(注：X"2是X的平方) 解：将常数项移到方程右边3x A2-4x=2 将二次项系数化为1： x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± /.x= ???原方程的解为x1=,x2=. 3. 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac 20 时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=[-b±(b A2-4ac)A(1 /2)]/(2a),(b24ac20) 就可得到方程的根。例3.用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 .°.a=2,b=-8,c=5 b A2-4ac=(-8)2-4X2X5=64-40=24>0 /.x=[(-b±(b A2-4ac)A(1/2)]/(2a) 二原方程的解为x1=,x2=. 4. 因式分解法：把方程变形为一边是零，耙另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4.用因式分解法解下列方程:

(完整版)二元一次方程组应用题经典题

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率； (4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题： (1)基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

解二元一次方程“十字交叉法”

解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积常数项拆成两个数的积拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。解释说明：

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。十字相乘法解题实例常规题例1：把m2+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）

例2：把5x2+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5

初二解二元一次方程公式知识点

解二元一次方程公式知识点设ax+by=c，dx+ey=f，x=(ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:{5x+6y=72x+3y=4,变为{5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。加减消元法。顺序消元法。(这种方法不常用)消元法的例子(1)x-y=3(2)3x-8y=4(3)x=y+3代入得(2)3(y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。(3)另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4

第1讲二元一次方程的解法

二元一次方程的解法及其应用题㈠二元一次方程：含有两个未知数，且未知项最高次数为1的整式方程叫二元一次方程方程。注意：①在方程中的“元”是指未知数，“二元”就是方程中有且只有两个未知数。 ②“未知项的最高次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，切不可理解为两个未知数的次数都是1，如3xy-2=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但未知项“3xy ”的次数是2，所以它不是二元一次方程。 ③二元一次方程的左边和右边都是整式,例如：11x y -=不是二元一次方程,因为它的左边不是整式. ㈡二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的解。㈢二元一次方程的解法：通常求二元一次方程的解的方法是先用含有其中一个未知数的代数式表示另外一个未知数，例如，欲求二元一次方程y-2x=1的解，可先将其变形为y=2x+1，然后给出x 的一个值，就能相应地求出y 的一个值，这样得到的每一对对应值，就是二元一次方程y-2x=1的解。注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值 ②一般情况下，一个二元一次方程有无数多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么可能只有有限个解。㈣二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组的解法：注意：方程组的解满足方程组中的每一个方程。由于方程组需要用大括号“｛”表示，所以方程组的解也要用大括号“{”表示怎样检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，：通常是将这对数值分别代入方程组中的每一个方程，只有当这对数值同时满足所有的方程时，才能说这对数值时此方程的解消元法：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用含x 的代数式表示出来，也就是写成y=ax+b 的形式；（2）将y=ax+b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程（3）解这个一元一次方程，求出x 的值；（4）把求得的x 的值代入y=ax+b 中，求出y 的值，从而得到方程组的解。例1 2237x y x y -=??+=?2326 x y x y +=??+=? 加减法：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数间既不互为相反数又不相等，就可用适当（通常用两个系数的最小公倍数）的数乘以方程的两边，使一个未知数的系

如何列二元一次方程组解应用题

如何列二元一次方程组解应用题众所周知，列方程解应用题既是学习方程的一个重点，又是学习方程的一个难点，而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现，又中考中的常见题型，那么如何才能正确地列出方程组呢？具体地说，列方程组与列一元一次方程基本相似，即基本步骤是：审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数；②行程类问题，即路程=速度×时间；③工程问题，即工作量=工作效率×工作时间；④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；⑦数字问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等；⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价商品的利润 ×100％.等等. 下面以列二元一次方程组解中考应用题为例说明如下：一、古代数学问题例1（河北省）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 3219423. x y x y +=?? +=?，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A A.2114327x y x y +=??+=? ， B.2114322x y x y +=?? +=?， C.3219423x y x y +=??+=? ， D.264327x y x y +=?? +=? ，分析抓住由图1所列出来的方程是3219423.x y x y +=?? +=? ，仔细分析系数3、2、19对应的图1 中的第一行和系数1、4、23对应的图2中的第二行的意义即可解答问题. 解由图1所列出方程的意义，可知在图2中第一行表示的数分别为2、1、11，第二行表示的数分别为4、3、27.于是可以列出方程组2114327. x y x y +=?? +=?，故应选A . 说明求解本题一定要在图1的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数，才能准确地解答问题. 二、学校学生就餐问题例2（济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生图1 图2

二元一次方程万能公式总结

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。接下来分享二元一次方程的万能公式，供参考。二元一次方程万能公式 b^2-4ac>=0,方程有实数根，否则是虚数根。实数解是: [-b+sqrt(b^2-4ac)]/2a [-b-sqrt(b^2-4ac)]/2a 二元一次方程的解法代入消元法 (1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b 的形式; (2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程; (3)解这个一元一次方程，求出x的值; (4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解; (5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。换元法解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。加减消元法 (1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。

(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。 (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。

列方程组解应用题的常见题型

、列方程组解应用题的常见题型．（1）和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量．例；第一个容器有49L水，第二个容器有56L水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器容量的二分之一；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的三分之一，求这两个容器的容量．（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系式是：加工总量成比例．例：某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，一个螺丝装配两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的产品正好配套？（3）速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程＝速度×时间．路程差＝速度差×时间。路程和＝速度和一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题例：某人从甲地骑车出发，先以12km/h的速度下山坡，后以9km／h的速度过公路到达乙地，共用55min；返回时，按原路先以8km ／h的速度过公路，后以4km／h的速度上山坡回到甲地，共用1h30min，问甲地到乙地共多少千米？例：一列快车长70m，一列慢车长80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要1min；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车，只需要12s，问快车和慢车的速度各是多少？例：甲、乙两人在200m的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔30s种相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，求甲、乙两人的竞走速度．（4）航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例：甲轮从A码头顺流而下，乙轮从B码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍，已知水流速度是4km／h，求两轮在静水中的速度．（5）工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．例：一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？例：.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务．问甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？（6）增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×（1＋增长率）＝增长后的量，原量×（1－减少率）＝减少后的量．例：某中学校办工厂今年总收入比总支出多30000元，计划明年总收入比总支出多69600元，已知计划明年总收入比今年增加20％，总支出比今年减少8％，求今年的总收入和总支出．（7）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．例：为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，在生产过程中，如果每天生产50套，这将还差100套不能如期完成任务；如果每天生产56套，就可以超额完成80套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？（8）数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示．如当n为整数时，奇数可表示为2n＋1（或2n－1），偶数可表示为2n等．有关两位数的基本等量关系式为：两位数＝十位数字×10＋个位数字．例：一个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位数与原两位数相加的和为143，求这个两位数．（9）几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．例：有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积．

列方程组解应用题一(含答案)

列方程组解应用题（一）列一元一次方程解应用题，同学们已经在课本上学习了。今天我们主要和同学们共同研究如何列方程组解应用题。较好地掌握这一解题思路是提高解答较难应用题的重要方法，这个内容共安排两讲，这一讲研究学习如何解方程组。（一）思路指导：例1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？分析与解答：依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。两个等量关系是：A 做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数 B 制出的盒身数×2=制出的盒底数解：设用x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底。 x y x y +=?=??? 1501162432…………()() 像上面这组方程，我们叫它二元一次方程组。你知道什么是方程组了吗？又怎样求出这两个未知数呢？这里我们主要介绍两种方法：［第一种方法：代入法］由（1）式得 x y =-1503……() 把（3）代入（2）得 ()16150243?-?=y y 48003243-=y y 43324800y y += 754800y =

y =64 把y =64代入方程（3）得x =-=1506486 x y ==???8664 答：用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。你知道怎样用代入法解方程组了吗？请有条理地说一说。试一试，看谁学会了。（1）x y x y -=+=???683125 （2）323413674x y x y +=-=??? （1）题是刘莉和王颖合作完成的。（2）题是吴可非完成的，请你认真阅读她们的解题过程，判断是否正确？（1）x y x y -=+=???683125……① ……② 解：由①得x y =+6……③ 把③代入方程②得： ()863125++=y y 4883125++=y y 1112548y =- 1177y = y =7 把y =7代入③得 x =+=6713 所以x y ==??? 137是方程组的解。（2）323413674x y x y +=-=???……①……② 解：由①得x y =-3423 ……③ 把③代入方程②得

二元一次方程组解行程问题

二元一次方程组解行程问题师大五华实验中学邓玉丽一、教学目标 1、通过积极思考，互相讨论，经历探索行程问题中的数量关系，形成方程模型，并进一步发展从题目获取信息和分析信息的能力。 2、通过运用方程组解决行程类问题，进一步体会方程组是刻划现实世界的有效数学模型，进一步提高把实际问题抽象为数学模型的能力，提高利用数学知识解决实际问题的实践能力。二、教学重点 1、理解并掌握列方程组解行程问题的基本方法和一般步骤。 2、通过运用方程组解决行程问题，认识方程模型，进一步提高把实际问题抽象为数学模型的能力。三、教学难点通过运用方程组解决实际问题，认识方程模型，进一步提高把实际问题抽象为数学模型的能力。四、教学方法讨论五、教学材料自制多媒体课件（PPT）六、课时安排 1课时七、教学过程

顾知识

例1:某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发 1h 后乙车出发，则乙车出发5h 后追上甲车；若甲车先开出20km 后乙车出发，则乙车出发4h 后追上甲车，求甲乙两车的速度。示意图：第一个情境：由题意可得6： 20 4y ，解得；25 - 答：甲车的速度为25km/h,乙车的速度为30km/h. 【方法总结】根据题意画示意图，根据路程、时间和速度的关系找出等量关系基础练 (3)逆水(风)速度= 速度一速度. 梳理了已知A 、B 两码头之间的距离为240km ，一艘船航行于A 、 B 两码头之间，顺流航行需4小时，逆流航行需6小时，求船在静水中的速度及水流速度。解：设船在静水中的速度为 xkm/h,水流速度为ykm/h. x y 由题意得 x-y 240 4 240 6 ，解得 x 50 y 10 答：船在静水中的速度为50km/h,水流速度为10km/h. 快速自主练习 ——儿次方程组解应用题的基本方法和一般步骤后，做一个简单行程问题练习，复习行程问题中的顺逆问题。例题精乙: 第二个情境: 4y 20km 解：设甲车的速度为xkm/h,乙车的速度为ykm/h. 讲解例1 思在例1基础上培养学生动手考、画示意图讨来理解题论、意的意练习识，由学生自主讨论完成思考 1，2。

中考数学重难点专题讲解：列方程组解应用题

第六讲列方程（组）解应用题【前言】在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。第一部分真题精讲【例1】2010，西城，一模 “家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户，小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？【思路分析】首先仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000，那么一方面可以设一个未知数彩电为x ，那么洗衣机自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接设两个未知数彩电x 和洗衣机y ，利用高1000的条件制造等量关系。其次说补贴是售价的13%，而又明确给出小明的爷爷领到了390元，所以这390元就是售价的补贴。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组? ??=+=-.390)%(13,1000y x y x 。这一题要把握的就是两个等量关系，一个是售价差等于1000，另一个是售价的13%等于补贴。于是可以得出答案。【解析】（列方程组解）解：设一台彩电的售价为x 元，一台洗衣机的售价为y 元. 根据题意得：???=+=-. 390)%(13,1000y x y x 解得???==. 1000,2000y x 答：一台彩电售价2000元，一台洗衣机售价1000元．【例2】2010，石景山，一模某采摘农场计划种植A B 、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题： (1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A B 、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路分析】本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是A 的亩产乘以价格加上B 的亩产乘以价格，列出方程即可。至于第二问则是先根据“种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半”列出不等式，求出A 种草莓的范围，然后列出函数式来看在范围内总收入最大值是多少。项目品种 A B 年亩产（单位：千克） 1200 2000 采摘价格（单位：元/千克） 60 40

列方程组解应用题(一)

列方程组解应用题（一）列一元一次方程解应用题，同学们已经在课本上学习了。今天我们主要和同学们共同研究如何列方程组解应用题。较好地掌握这一解题思路是提高解答较难应用题的重要方法，这个内容共安排两讲，这一讲研究学习如何解方程组。（一）思路指导：例1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？分析与解答：依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。两个等量关系是：A 做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数 B 制出的盒身数×2=制出的盒底数解：设用x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底。 x y x y +=?=???1501162432…………() () 像上面这组方程，我们叫它二元一次方程组。你知道什么是方程组了吗？又怎样求出这两个未知数呢？这里我们主要介绍两种方法：［第一种方法：代入法］由（1）式得 x y =-1503……() 把（3）代入（2）得 ()16150243?-?=y y 48003243-=y y 43324800y y += 754800y = y =64 把y =64代入方程（3）得x =-=1506486 x y ==???8664 答：用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。你知道怎样用代入法解方程组了吗？请有条理地说一说。试一试，看谁学会了。

（1）x y x y -=+=??? 683125 （2）323413674x y x y +=-=??? （1）题是刘莉和王颖合作完成的。（2）题是吴可非完成的，请你认真阅读她们的解题过程，判断是否正确？（1）x y x y -=+=???683125……① ……② 解：由①得x y =+6……③ 把③代入方程②得： ()863125++=y y 4883125++=y y 1112548y =- 1177y = y =7 把y =7代入③得 x =+=6713 所以x y ==???137 是方程组的解。（2）323413674x y x y +=-=???……①……② 解：由①得x y =-3423 ……③ 把③代入方程②得 133423674?-?? ?? ?-=y y 13341323 674?-?-=y y 4422618222--=y y 44220y = y =5 把y =5代入③得 x = -?=342538 所以x y ==???85 是该方程的解。经检查他们做得完全正确，你判断对了吗？［第二种方法：消去法］例2. 323413674x y x y +=-=???……① ……② 解：根据题意可先做如下变化：用①?3得 96343x y +=?……③ 用②③+得 +-=13674x y ……②

列二元一次方程组解应用题的主要题型复习

法国数学家笛卡儿：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。列二元一次方程组解应用题的主要题型复习一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1、审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。弄清题意和题目中的数量关系， 2、找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 3、设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。设未知数及作答时若有单位的一定要带单位，方程中数量单位一定要统一。设元（未知数）。①直接设元法②间接设元法（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 1）直接设元法：求什么设什么，方程的解就是问题的答案； 2）间接设元法：不是求什么设什么，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。 4、解方程：解所列的方程，求出未知数的值． 5、检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。如：甲、乙两人的收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各储存了500元，求两人的年收入各是多少？解：设甲的年收入为x元，乙的年收入为y元，根据题意，得解得：答：甲的年收入为1500元，乙的年收入为1125元．二、设未知数的几种常见方法 1、设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个．例：李红用甲、乙两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元．已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（公民应交利息所得税＝利息金额×20％）．（答案：2.25％和0.99％）解：设甲、乙这两种形式储蓄的年利率分别为x％、y％，

二元一次方程公式法

育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。读懂材料第页: 1.知识点1：一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2：当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。（3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0

(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分）

二元一次方程及其解法

一、问题引入问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。如果我们设长为x ，则可列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！解：x ＋y ＝12 问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为： x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝94 1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程（与分式区分开来）想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？ ①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。例2 若方程是二元一次方程，求m 、n 的值．分析：变式：方程是二元一次方程，试求a 的值．注意： ①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=??+=?，5(2)6x y xy +=??=?，7(3)6a b b -=??=?，2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122y x x y =-???+=??，25(6)312 x y -=??+=?，213257m n x y --+=211321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=