【附20套高考模拟试题】2020届吉林省长春市普通高中高考数学模拟试卷含答案

2020届吉林省长春市普通高中高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知2sin()3

-=-

p a ,且(,0)2απ

∈-，则tan(2)πα-= （ ）

A

． B

．

C

． D

．

2．已知函数f （x ）＝ln （x 2+1）﹣e ﹣|x|（e 为自然对数的底数），则不等式f （2x+1）＞f （x ）的解集是（ ） A ．（﹣1，1）

B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C ．11,3?

?-- ?

?? D ．

1(,1),3??

-∞-?-+∞ ?

?? 3．函数()()02f x sin x πω?ω???

=+ ??

?

＞，

＜的最小正周期为π，若其图象向左平移

6

π

个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ） A ．关于点,012π??

???

对称 B ．关于点5,012π??

???

对称 C ．关于直线

512x π=

对称 D ．关于直线12x π

=

对称 4．将函数sin 6y x π??

=+

??

?

的图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A ．,33ππ??

-

???

B ．,22ππ??- ???

C ．,36ππ??- ???

D ．2,63

ππ??- ???

5．ABC ?三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ）A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

6．设l 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α且αβ⊥，则l β⊥

B ．若//γα且//γβ，则//αβ

C ．若//l α且//l β，则//αβ

D ．若γα⊥且γβ⊥，则//αβ

7．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）

A ．第一季度

B ．第二季度

C ．第三季度

D ．第四季度

8．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()x f x a =（0a >且1a ≠），且12

(log 4)3

f =-，则a 的值为

（ ） A ．

3

2

B 3

C ． 3

D ．9 9．设变量,x y 满足约束条件20

{510080

x y x y x y -+≥-+≤+-≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为

A ．3,11-

B ．3,11--

C ．11,3-

D ．11,3

10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln x

x x

π≈

的结论。若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，lg 0.43429e ≈，计算结果取整数) A ．768 B ．144 C ．767 D ．145

11．设双曲线C ：22

1(0)8x y m m

-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N

两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =（ ）

A ．82

B ．8

C ．42

D ．4

12．已知直线l ：34150x y --=与圆C ：2222450(0)x y x y r r +--+-=>相交于A ，B 两点，若

6AB =，则圆C 的标准方程为（ ）

A ．22(1)(2)25x y -+-=

B ．22(1)(2)36x y -+-=

C ．

22

(1)(2)16x y -+-= D ．2

2

(1)(2)49x y -+-= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a r ，b r 满足()(2)4a b a b +?-=-v v v v ，且2a =r ，4b =r ，则a r 与b r 的夹角为__________．

14．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，且3PA AB =，E 为棱BC 上

的动点，若PE DE +的最小值为210，则PB =__________．

15．若变量,x y 满足约束条件210220x x y x y ≤?

?

-+≤??+-≥?,则22

z x y =+的最小值为_________；

16．函数

2

()|22|f x x x =-+的增区间是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32,

42x t y t ?=+??

=+??（t 为参数）

，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为

4sin ρθ=．求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，且M 点

的坐标为(3,4)，求||||MA MB ?的值．

18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n S n n =- 求证：数列{}n a 为等差数列；设n

T 是

数列12n n a a

+??

????的前n 项和，求n T .

19．（12分）某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划.为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分，成绩茎叶图如图所示：

请计算该篮球运动员执行训练

后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差；如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？

20．（12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=?==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ?沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.

求证：PD MCE ∥平面；若

PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.

21．（12分）设函数2

()ln ()f x ax x a R =-∈.讨论函数()f x 的单调性；若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．

22．（10分）已知在ABC ?中，3AC =，120C =?，cos 3A B =.求边BC 的长；设D 为AB 边上

一点，且BCD ?的面积为153

，求sin BDC ∠.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．D 11．A 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3π

14．4 15．1

16．[1,)+∞（或(1,)+∞）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）10x y -+=，22

(2)4x y +-=（2）9

【解析】

试题分析：（1）对直线l 的参数方程消参即可得直线l 的普通方程，根据222

{sin x y y

ρρθ=+=即可得曲线C 的直

角坐标方程；（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求出MA MB ?的值．

试题解析：（1）l ：10x y -+=，C ：2

4sin ρρθ=， 即2

2

4x y y +=，所以C 的普通方程是()2

224x y +-=．

（2）将直线方程转化为标准形式的参数方程l

：3',4'2

x y ?

=??

?

?=+??

（t 为参数）， 代入()2

224x y +-=

中得：2''90t ++=，5036140?=-=>. 设A ，B 对应的参数分别为

1'

t ，

2'

t ，则

12''9

t t =，则

12''9

MA MB t t ?==．

18．（1）65n a n =-； （2）261

n

n +. 【解析】 【分析】

⑴ 1n =,111a S ==，2n ≥,由1n n n a S S -=-计算出结果，然后进行验证 ⑵运用裂项相消法求出前n 项和 【详解】

（1）由已知得1n =,111a S ==,

若2n ≥,则()

()()2

2

1323121n n n a S S n n n n -??=-=-----??

65n =-

1n =时满足上式,所以65n a n =-,()1,n n Z ≥∈ ()1656156n n a a n n -∴-=--?-+=为常数

∴数列{}n a 为等差数列

（2）由(Ⅰ)可知

()()122111656136561n n a a n n n n +??

==- ?-+-+??

1111111113771313196561n T n n ??∴=-+-+-++- ?-+??L 111361n ??=- ?

+?? 261

n n =+ 【点睛】

本题主要考查了等差数列的判断以及通项的求法，由1

n n n a S S -=-推导出通项并证明，在求和时运用裂

项相消法求出前n 项和，较为基础，掌握解题方法．

19．（1）中位数：分，平均分： 15分，方差：20.6；（2）见解析

【解析】 【分析】

由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数，根据平均数公式可得平均分，由方差公式可得方差；

尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差

说明训练后得分稳定性提高了，由此能求出结果． 【详解】

训练后得分的中位数为：（分）；

平均得分为：

（分）；

方差为：

尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差

小于训练前方差

，说明训练后

得分稳定性提高了．．．．．．．．，这是投篮水平提高的表现．故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助．．． 【点睛】

本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，是基础题．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，?般先比 较均值, 若均值相同再用方差来决定. 20．（1）见解析；（2）2

6

【解析】 【分析】

（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.

（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥

M BCE -的体积.

【详解】

（1）在平面图中，

因为1

2

BE AB CD =

=且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形； 在立体图中，

连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点， 所以//OM PD ，因为PD ?平面MCE ，OM ?平面MCE ， 所以//PD 平面MCE ； （2）在平面图中，

因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=?，所以AD DE ⊥； 在立体图中，PD DE ⊥，

又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ?平面EBCD DE =，PD ?平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，

由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ，

在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==

所以112

22OM PD AD =

==

1BCE ADE S S ??==， 所以12

3M BCE BCE V S OM -?=??=

. 【点睛】

本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题. 21．（1）见解析；（2）1

[,)2e

+∞ 【解析】 【分析】

（1）求出导函数2'

21

()(0)ax f x x x

-=>．可得当0a ≤时，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；

当0a >时，令()0f x '=求得x 值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调

性；

（2）()0f x ≥恒成立，由（1）知()f x 在

上单调递减，在)+∞上单调递增，求其最小值，由最小值大于等于0求解a 的取值范围． 【详解】

（1）由题意，2'

21

()(0)ax f x x x

-=>.

当0a ≤时，'

()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；

当0a >时，令()0f x '=，解得

x =

∴当

x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时，'()0f x >． ∴()f x 在

上单调递减，在)+∞上单调递增； （2）∵()0f x ≥恒成立，∴(e)0f ≥，可得21

a e

≥． 由（1）可得，()f x 在

上单调递减，在)+∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为1

2f =-.∴1ln 02-≥，解得12a e

≥.

因此，实数a 的取值范围为1

[,)2e

+∞. 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中档题．

22．（1）3；（2. 【解析】 【分析】

（1）利用三角形内角和定理，将A 转化为B ，化简已知条件求得B ，然后求得A ，利用等腰三角形求得

BC 的长.（2）利用三角形面积列方程，求得BD 的值，利用余弦定理求得CD 的值，利用正弦定理求得sin BDC ∠的值.

【详解】

解：（1）由cos A B =

及120C =?，

得()cos 60B B ?-=，展开得

1cos 022

B B B +=， 即()cos 600B +?=，所以30B =?. 所以6030A B =?-=?，即30A B ==?， 所以3B

C AC ==.

（2）由13sin302BCD S BD ?=

????=

BD =

在BCD ?中，2222cos CD BC BD BC BD B =+-?，所以CD =

.

由

sin sin BC CD BDC B =∠∠，得32sin BDC =∠，

所以sin 7

BDC ∠=. 【点睛】

本小题主要考查三角形内角和定理，考查三角恒等变换，考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，综合性

较强，属于中档题. 高考模拟数学试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

注意：1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效。

2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。

3．选择题，请用2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用 0. 5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合 {}{

}(2)

|ln(2),|2

1,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤=I

A ． {}|1x x ≥

B ． {}|12x x ≤<

C ． {}1

D ． {}0,1

2．已知复数z 满足方程 z i zi +=(i 为虚数单位)，则复数 z 对应点在第几象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D ．第四象限

3．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ?=，那么 318a a + 的最小值为 A.20 B ．25 C. 50 D ．不存在 4．已知向量 2

(1,2),(,4)a b m =--=，那么“ //a b ”是“ 2m =”的

A.充分不必要条件 B ．必要不充贫条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必兽名仳

5.如右图，当输入的实数 []2,30x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于111的概率是 A.

813 B.1728 C.23 D.1829

6．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为 A.

223 B ． 3 C. 6 D ．2

2

7．在△ABC 中,A=60o ，若a,b,c 成等比数列，则

sin b B

c

= A.

1

2

B ． 3 C. 22 D ．

62

+ 8．已知函数 2

2

,(0),

()2,(0

x x f x x x ?≤?=?->??．则 21()f x dx -=?

A. 123π- B ． 123π+ C. 143π+ D ． 143

π-

9．设函数 1()cos()2f x x ω?=+对任意的 x R ∈，都有 ()()66

f x f x ππ

-=+，若函数

()3sin()2g x x ω?=+-，则 ()6

g π

的值是

A. 1 B ． -5或3 C. -2 D ．

12

10.点 (,)M x y 在直线x+y-10=0上，且x ，y 满足 55x y -≤-≤，则

22x y +的取值范围是

A. 5100,2?????? B ． 0,52???? C. 51052,2?????? D ． 5105,2??????

11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 222

4a x y +=的切线，切点

为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-u u u r u u u r u u u r

，则双曲线的离心率为