柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析

柱坐标及球坐标下导热微分方程的

推导及分析

哈尔滨工业大学市政学院

摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题

关键词：柱坐标 球坐标 导热微分方程

1.柱坐标系下导热微分方程

假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c 和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在d τ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即

导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能 的增加（Ⅲ）

下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项：

在 dτ时间内，沿 r 轴方向：

τ?λτ?λdzd rd r

t d dzd rd q r r

t r ??-=Φ∴-=?? τ?dzd rd q r r =Φ

τ?λdzd drd r

t r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○1 在 dτ时间内，沿 ?轴方向：

τ?

λ?

λτ

????drdzd t r t r q drdzd q ??-=Φ∴??-==Φ11 τ??λ??

????????dzd drd t r d d d )1(????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ++ ○

2 在 dτ时间内，沿 z 轴方向：

τ?λλτ

?drd rd z

t z

t q drd rd q z z z z ??-=Φ∴??-==Φ τ?λdzd drd z

t r z z dz dz z z z z dz z )(????=ΦΦ∴?Φ?=Φ-Φ+-+ ○3 将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :

I=○1+○2+○3

在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为

Ⅱ=dzdr rdrd q v ?

在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

Ⅲ=τ?τ

ρdzd rdrd t c ?? 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：

)()(1)(12z

t z t r r t r r r r q t c

v ????+????+????+=??λ?λ?λτρ

2.球坐标系下导热微分方程

在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。

在 dτ时间内，沿 r 方向导入和导出微元体的净热量 ：

τθ?θλλτ

θ?θd d drd r

t r r r

dr r t q d d d r q dr r r r r dr r r r r )sin (sin 22????=ΦΦ∴?Φ?=Φ-Φ??-==Φ+-+且 ○1 在 dτ时间内，沿 ?方向导入和导出微元体的净热量 ：

τθ??θλ????

θλ

θ??????????d d drd t d t

r q dz

rdrd q d d )sin 1(sin 1????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ??-==Φ++且 ○2 在 dτ时间内，沿 θ方向导入和导出微元体的净热量 ：

τθ?θθλθθ

θθ

λ

τ

?θθθθθθθθθθθd d drd t d t

r q d drd r q d d )sin (1sin ????=Φ-Φ∴?Φ?=Φ-Φ??-==Φ++且 ○3 将 r 、?、θ三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :

I=○1+○2+○3

在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为

Ⅱ=τθ?θd d drd r q v sin 2

在 dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

Ⅲ=τθ?θτ

ρd d drd r t c sin 2?? 联立I ，II ，III 可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：

)sin (sin 1)(sin 1)(122222θ

θλθθ?λ?θτλτρ????+????+????+=??t r t r t r r r q t c v 3.总结

得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。

参考文献

1.传热学（第六版） 章熙民 朱彤 中国建筑工业出版社

2.工科数学分析 哈尔滨工业大学数学系分析教研室 高等教育出版社