高中数学第一章数列2等差数列第4课时等差数列的综合应用学案(含解析)北师大版必修5
第4课时 等差数列的综合应用
Q 情景引入
ing jing yin ru
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？
X 新知导学
in zhi dao xue
1．等差数列前n 项和的二次函数形式 等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋
n n －1
2
d 可以改写成：S n ＝d 2
n 2＋(a 1－d
2
)n .当 d ≠0时，
S n 是关于n 的 二次 函数，所以可借助 二次 函数的有关性质来处理等差数列前n 项和S n 的有关问题．
2．等差数列前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0.则S n 存在最 大 值；a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值． 3．等差数列奇数项与偶数项的性质 (1)若项数为2n ，则
S 偶－S 奇＝ nd ，S 奇S 偶＝ a n a n ＋1
.
(2)若项数为2n －1，则
S 奇－S 偶＝ a n ，S 奇S 偶＝ n
n －1
.
4．a n 与S n 的关系
若数列{a n }的前n 项和记为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则a n ＝?
??
??
S 1n ＝1
S n －S n －1 n ≥2
.
Y 预习自测
u xi zi ce
1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝( C ) A ．45 B ．75 C ．180
D ．300
[解析] 由a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，得
a 3＋a 7＋a 4＋a 6＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90.
∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.
2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( B ) A ．63 B ．45 C ．36
D ．27
[解析] 解法一：∵{a n }是等差数列，∴S 3、S 6－S 3、S 9－S 6为等差数列． ∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∴S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.
解法二：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，令b n ＝S n n
，则{b n }成等差数列． 由题设b 3＝S 33＝3，b 6＝S 6
6＝6，∴b 9＝2b 6－b 3＝9.
∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝9b 9－36＝45.
3．已知等差数列{a n }中，前15项之和为S 15＝90，则a 8等于( A ) A ．6 B ．15
4
C ．12
D ．452
[解析] ∵S 15＝a 1＋a 2＋…a 15＝15a 8＝90，∴a 8＝6.
4．在等差数列{a n }中，a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，则它的前10项和为 210 . [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 解法一：a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，
a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3，d ＝4，
∴S 10＝10×3＋10×9
2×4＝210.
解法二：a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58，
a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，
∴S 10＝
10
a 1＋a 10
2
＝210.
5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，当S n 取最大值时，n 的值为 4
或5 .
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，
由a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得a 1＝4，d ＝－1，
S n ＝4n －
n n －1
2＝－n 2
＋9n 2
＝－12? ????n －922＋818
，
又∵n ∈N ＋，∴当n ＝4或n ＝5时，S n 最大．
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1 ?已知S n 求a n
例题1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋205
2
n ，求数列{a n }的通项公式
a n .
[分析] 利用a n 与S n 的关系a n ＝?
??
??
S 1n ＝1
S n －S n －1n ≥2
，求解．
[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝? ????－32
n 2＋2052n －????
??－
3
2n －1
2
＋205
2n －1 ＝－3n ＋104.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝－32＋205
2＝101满足上式，
∴a n ＝－3n ＋104(n ∈N ＋)．
『规律总结』 如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列也随之确定：a 1
＝S 1，a 2＝S 2－S 1，a 3＝S 3－S 2，…，其通项公式如下：
a n ＝?????
S 1 n ＝1S n －S n －1
n ≥2
，利用这一公式应当注意：
检验n ＝1时，a 1＝S 1是否符合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)的形式．如果符合，则可将a 1＝S 1合并
到a n ＝S n －S n －1(n ≥2)中；如果不符合，则必须采用分段函数的形式来表示，不能直接用a n ＝
S n －S n －1.
〔跟踪练习1〕
S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n .
(1)S n ＝2n 2
＋3n ＋2； (2)S n ＝3n
－1.
[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2
＋3n ＋2)－[2(n －1)2
＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，
∴a n ＝???
??
7 n ＝14n ＋1
n ≥2.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n
－1)－(3n －1
－1)
＝2×3
n －1
，显然a 1适合上式，
∴a n ＝2×3n －1
(n ∈N ＋)．
命题方向2 ?等差数列前n 项和的性质 例题 2 含(2n ＋1)项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
( B )
A ．2n ＋1n
B ．n ＋1
n C ．
n －1
n
D ．
n ＋1
2n
[分析] 要清楚等差数列中奇数项与偶数项也分别构成等差数列，可求和，然后作比，进行解答. 由于本题的比值是要对任意的等差数列都成立，因此也可采用取特殊数列进行验证与排除的方法．
[解析] 解法1：设原数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ＋1，公差为d ，则a 1，a 3，a 5，…，a 2n ＋1
和a 2，a 4，a 6，…，a 2n 分别也为等差数列，公差都为2d .
故S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)a 1＋
n ＋1[n ＋1－1]
2
·2d
＝(n ＋1)(a 1＋nd )．
S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n
＝na 2＋n n －1
2
·2d ＝n (a 1＋d )＋n (n －1)d ＝n (a 1＋nd )．
故
S 奇S 偶＝n ＋1a 1＋nd n a 1＋nd ＝n ＋1n
. ∴应选B ．
解法2：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1 ＝
n ＋1a 1＋a 2n ＋1
2
，
S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n 2
，
又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1
n
. ∴应选B ．
方法3：取满足条件的等差数列：1,2,3，公差d ＝1，且S 奇＝1＋3＝4，S 偶＝2.
S 奇S 偶＝42＝2＝1＋1
1
. ∴应选B ．
『规律总结』 关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质． (1)若项数为2n ，则
S 偶－S 奇＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－…－a 2n －1
＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2n －a 2n －1) ＝d ＋d ＋…＋d ＝nd .
S 奇S 偶＝n 2a 1＋a 2n －1n
2
a 2＋a 2n
＝2a n 2a n ＋1＝a n a n ＋1
＝中间相邻项之比． (2)若项数为2n －1，则由等差数列的性质：
a 1＋a 2n －1＝a 2＋a 2n －2＝…＝2a n ，
∴S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2 ＝n －1
2(a 2＋a 2n －2) ＝
n －1
2
×2a n ＝(n －1)a n ，
S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1
＝n 2(a 1＋a 2n －1)＝n
2
×2a n ＝na n . ∴S 奇－S 偶＝na n －(n －1)a n ＝a n ，这里a n ＝a 中，S 奇S 偶＝na n n －1a n ＝n
n －1
＝奇数项与偶数项的项数之比．
熟悉并掌握性质，对我们解题大有裨益． 〔跟踪练习2〕
(1)在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所以偶数项的和为150，则n 等于( B )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
(2)设S n 为等差数列的前n 项和，若S m ＝40，S 3m ＝345，则S 2m ＝ 155 .
[解析] (1)由
S 奇
S 偶
＝n ＋1·a 1＋a 2n ＋1
2n ·
a 2＋a 2n 2
＝
n ＋1n ＝165
150
. 解得：n ＝10.
(2)∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ， ∴2(S 2m －40)＝40＋345－S 2m . ∴S 2m ＝155.
命题方向3 ?等差数列前n 项和的最值问题
例题3 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9.试求前n 项和S n 的最大值．
[分析] 可先由已知条件求出公差，进而得前n 项和公式，从而二次函数求最值的方法求解；也可以先求得通项公式，再利用等差数列的性质求解．
[解析] 解法一：由S 17＝S 9，得
25×17＋17×17－12d ＝25×9＋9×9－12d ，
解得d ＝－2，
所以S n ＝25n ＋
n n －
1
2
×(－2)＝－(n －13)2
＋169.
由二次函数性质，得当n ＝13时，S n 取得最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(同解法一)． ∵a 1＝25>0，d ＝－2，
∴???
?
?
a n ＝25－2n －1≥0
a n ＋1＝25－2n ≤0
，得?????
n ≤131
2n ≥121
2
.
即1212≤n ≤131
2
.
∴当n ＝13时，S n 取得最大值
S 13＝13×25＋
13
13－1
2
×(－2)＝169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0. 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.
∵d ＝－2<0，a 1>0，∴a 13>0，a 14<0. 故n ＝13时，S n 取得最大值169. 解法四：先求出d ＝－2(同解法一)．
由d ＝－2，得S n 的图像如图所示的曲线上均匀分布的点，由S 17＝S 9，知图像的对称轴n ＝
9＋17
2
＝13.
所以，当n ＝13时，S n 取得最大值169.
『规律总结』 求等差数列的前n 项和S n 的最值通常有两种思路： (1)将S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝d 2
n 2＋(a 1－d
2
)n 配方．转化为求二次函数的最值问题，借助
函数单调性来解决．
(2)邻项变号法：
当a 1>0，d <0时，满足?
??
??
a n ≥0，
a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足?
??
??
a n ≤0，
a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值．
〔跟踪练习3〕
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( B )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
[解析] 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－17
3
.
又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.
因为函数y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝37
6
，取最接近的整数6，
故S n 取得最小值时n 的值为6.
命题方向4 ?求数列{|a n |}的前n 项和
例题4 等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和．
[分析] 由已知条件可求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出前n 项和．
[解析] 等差数列{a n }的公差为：
d ＝a 17－a 117－1
＝－12－－60
16
＝3，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 又因为a n <0时，3n －63<0，n <21，
所以等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数． 设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和． 当0 S ′n ＝－S n ＝－[－60n ＋ 3n n －1 2]＝－32n 2＋123 2 n ； 当n >20时， S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20 ＝－60n ＋ 3n n －1 2 －2×(－60×20＋ 20×19 2 ×3) ＝32n 2－123 2 n ＋1260. 所以数列{|a n |}的前n 项和为： S ′n ＝????? －32n 2 ＋123 2 n ，n ≤20，且n ∈N ＋ 32n 2 －123 2n ＋1260，n >20，且n ∈N ＋ 『规律总结』 数列{|a n |}的前n 项和仅受{a n }中负数项的影响，因此要首先找出这些负数项．而由等差数列的单调性知，它们要么在数列的前半部分，要么在数列的后半部分．一般地，先令a n ＝0找到正、负数项的分界处，再由公差确定项的正负．数列{|a n |}并不一定是等差数列，求和时需要分类讨论． 〔跟踪练习4〕 (1)(2019·南京高二检测)等差数列{a n }中，a 1＝－10，d ＝2，则数列{|a n |}的前3项的和 S 3＝ 24 ，前8项的和S 8＝ 36 . (2)(2019·天津高二检测)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝2. ①求数列{a n }的通项公式； ②设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T n . [解析] (1)a 1＝－10，d ＝2， 所以a n ＝－10＋2(n －1)＝2n －12. a 6＝0， 故S 3＝|－10|＋|－8|＋|－6|＝24， S 8＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋a 8＝36. (2)①因为在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝2， 所以??? ? ? 2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝2， 解得a 1＝8，d ＝－2， 所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝10－2n . ②由a n ＝10－2n ≥0，得n ≤5， a 5＝0，a 6＝－2<0， 因为T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，所以当n ≤5时， T n ＝8n ＋n n －12 ×(－2)＝9n －n 2 . 当n >5时， T n ＝－[8n ＋n n －12 ×(－2)]＋2(9×5－52)＝n 2－9n ＋40. 所以T n ＝? ???? 9n －n 2 ，n ≤5，n 2 －9n ＋40，n >5. 命题方向5 ?等差数列的实际应用 例题5 从5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，5月1日该款服 装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件． (1)记该款服装五月份日销售量与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求五月份的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 300件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由． [分析] 由题意可知：从5月1日到5月13日，服装日销售量成递增的等差数列；从5月14日到5月31日，服装日销售量成递减的等差数列．解答本题可先确定a n 与n 的关系，然后用等差数列的前n 项和公式解决问题． [解析] (1)依题意，数列a 1，a 2，…，a 13是首项为10，公差为15的等差数列． ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤13)， a 14，a 15，a 16，…，a 31是首项为a 14＝a 13－10＝180，公差为－10的等差数列． ∴a n ＝180＋(n －14)(－10)＝－10n ＋320(14≤n ≤31)， ∴a n ＝? ?? ?? 15n －51≤n ≤13，n ∈N ＋ －10n ＋32014≤n ≤31，n ∈N ＋. (2)五月份的总销售量为 13×10＋1902＋17×180＋17×16×－10 2 ＝3 000(件)． (3)5月1日至5月13日销售总数为 12 a 1＋a 13 2 ＝ 12×10＋190 2 ＝1 200<1 300. ∴5月13日前还没有流行，由－10n ＋320<100得 n >22， ∴第22天流行结束，故该服装在社会流行没有超过10天． 『规律总结』 数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列模型)，然后确定公差、首项、项数是什么，分清a n 与S n ，然后选用适当的方法求解，最后回归实际． 〔跟踪练习5〕 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [解析] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }． 则a 1＝50＋1 000×1%＝60， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， ∴a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1% ＝60－1 2 (n －1) (1≤n ≤20，n ∈N )． ∴{a n }是以60为首项，－1 2为公差的等差数列， ∴a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×1 2＝50.5. ∴S 20＝1 2×(a 1＋a 20)×20 ＝10×(60＋50.5)＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255万元． Y 易混易错警示 i hun yi cuo jing shi 例题 6 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n ＋1)＝n ＋1(n ＝ 1,2，…)，试求数列{a n }的通项公式． [误解] 由lg(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＝10 n ＋1 －1. ∴a n ＝S n －S n －1＝(10 n ＋1 －1)－(10n －1)＝9·10n . ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝9·10n . [辨析] 上面解法在运用公式a n ＝??? ?? S 1，n ＝1 S n －S n －1，n ≥2 时漏掉了n ＝1时的情况，实际上当 n ＝1时，a 1＝S 1＝102－1＝99，不适合通项公式a n ＝9·10n ，故应分情况讨论． [正解] 由lg(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＝10n ＋1 －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10 n ＋1 －1)－(10n －1)＝9·10n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝102 －1 ＝99不满足上式， ∴a n ＝? ???? 99n ＝1 9·10n n ≥2. B 本节思维导图 ei jie si wei dao tu 等差数列前n 项和????? 等差数列前n 项和与二次函数的关系 等差数列的前n 项和最值 等差数列奇数项和偶数项和的性质 a n 与S n 的关系 课题: §2.3 等差数列的前n 项和 （第2课时） ●教学目标 知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值； 过程与方法：经历公式应用的过程； 情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点 灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+ = Ⅱ.讲授新课 探究：——课本P51的探究活动 结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++ 当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+ 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p 对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+ =可化成式子： n )2 d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 [范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 例4 解略 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a : 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 （2） 利用n S ： 由n )2 d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 Ⅲ.课堂练习 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。 Ⅳ.课时小结 1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的 首项是1a p q r =++ 公差是d=2p 通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=?=?-=-+≥?当时当时 2．差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 课题：等差数列的前n 项和 教材：人教版数学必修5 一、 教学目标 知识目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 能力目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、创新的学习品质。 二、教学重点、难点 重点：等差数列的前n 项和公式 难点：获得等差数列的前n 项和公式推导的思路 三、教学方法与手段 启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合 四、教学过程 1、问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2、探索发现 1+2+3 +…+99+100 =(1+100) +(2+99)+ …+(50+51) =101 ×50 = 5050 问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 问题2：求1到n 的正整数之和。123(1)n s n n =+++ +-+即 问题3：{}?n n a n 如何求等差数列的前项和S 3、公式应用 例1、选用公式 例2、变用公式 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？ 变式练习： {}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求 例3、知三求二 {}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及 4、课堂小结 1()12 n n n a a S +=公式 1(1)22 n n n S na d -=+公式 5、作业布置 必做题：课本52页，练习１、２、３； 选做题：在等差数列中， 512156136,; 220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s §2.1 等差数列（二） 教学目标 1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概 念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：等差数列与一次函数之间的联系 教学过程： 一、等差数列的通项公式 特征： 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+= 它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。 3? 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4? 公式中若 0>d 则数列递增，0 例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 解:(1)略. (2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点. (3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列. 二、等差中项的概念 如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 若A 是a 与b 的等差中项，则2 b a A += 或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行 木条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。 依题意有cm a 331= cm a 757= 现要求65432,,,a a a a a ,即中间5层的宽度。 )(76 33751717cm a a d =-=--=cm a 407332=+=， cm a 477403=+=,cm a 544=， cm a 615=，cm a 686= 答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm. 例3：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列。 解：∵成等差数列7,,,,1c b a - ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-= b a 又是-1与3的等差中项 ∴12 31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴52 73=+=c 7533 一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和 课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他 决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不 再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项 是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 高中数学等差数列求和公式分析 在数学的学习中等差求和公式是学习的重点的内容，而且哟U币极爱哦多的公式需要学生记忆，下面本人的本人将为大家带来等差求和公式的介绍，希望能够帮助到大家。 高中数学等差数列求和公式 公式Sn=(a1+an)n/2 Sn=na1+n(n-1)d/2;(d为公差) Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2) 和为Sn 首项a1 末项an 公差d 项数n 通项 首项=2×和÷项数-末项 末项=2×和÷项数-首项 末项=首项+(项数-1)×公差 项数=(末项-首项)(除以)/公差+1 公差=如：1+3+5+7+……99公差就是3-1 d=an-a 性质： 若m、n、p、q∈N ①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 高中数学一次函数知识点 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x,y)，都满足等式：y=kx+b.(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊 到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重 引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明： 这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ? 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列 d ＜ 0d ＞0 ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1 能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？ 课后作业《习案》作业十九. 数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ） 《等差数列》说课稿 各位领导、各位专家，你们好！ 我说课的课题是《等差数列》。我将从以下五个方面来分析本课题： 一、教材分析 1.教材的地位和作用： 《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。 2.教学目标： a.在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。 b.在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。 c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 3.教学重、难点： 重点：①等差数列的概念。 ②等差数列通项公式的推导过程及应用。 难点：①等差数列的通项公式的推导。 ②用数学思想解决实际问题。 二、学情分析 对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。 三、教法、学法分析 教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。 学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。 四、教学过程 我把本节课的教学过程分为六个环节： （一）创设情境，提出问题 问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列） 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0， 5 ， 10 ， 15 ， 20 ，……① 2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）： 48 ，53 ，58 ， 63 ② 3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5，最低降至5.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 4.按照我国现行储蓄制度（单利），某人按活期存入10000元钱，5年内各年末的本利和（单位：元）组成了数列： 10072，10144，10216，10288，10360 ④[教师活动]引导学生观察以上数列，提出问题： 问题1.请说出这四个数列的后面一项是多少？ 问题2.说出这四个数列有什么共同特点？ （二）新课探究 [学生活动]对于问题1，学生容易给出答案。而问题2对学生来说较为抽象，不易回答准确。 [教师活动]为引导学生得出等差数列的概念，我对学生的表述进行归类，引导学生得出关键词“从第2项起”、“每一项与前一项的差”、“同一个常数”告诉他们把满足这些条件的数列叫做等差数列，之后由他们集体给出等差数列的概念以及其数学表达式。 同时为了配合概念的理解，用多媒体给出三个数列，由学生进行判断： 判断下面的数列是否为等差数列，是等差数列的找出公差 1. 1 ，2，3，4，5，6，……；（√，d = 1 ） 2. 0.9，0.7，0.5，0.3，0.1……；（√，d = -0.2) 第四节数列求和 [备考方向要明了] 考什么怎么考 熟练掌握等差、等比数 列的前n项和公式. 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 求和问题，如2012年新课标全国T16等． 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法 等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等. [归纳·知识整合] 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： S n＝ n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d； (2)等比数列的前n项和公式： S n＝ ?? ? ??na1，q＝1， a1－a n q 1－q ＝ a1(1－q n) 1－q ，q≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消． 2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？ 提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项． 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自测·牛刀小试] 1. 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) 等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1 C ．1－1 n ＋1 D ．3－1 3n ＋1 解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1， ∴ 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) ＝13?? ? ???1－14＋????14－17＋???? 17－110＋…＋ ??????13n －2－13n ＋1＝13????1－13n ＋1＝n 3n ＋1 . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1 2n ， ∴S n ＝????1－12＋????1－122＋…＋????1－1 2n ＝n －????12＋12 2＋ (12) 课 题：2.2 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ② 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：2018年必修五《等差数列的前n项和》第二课时参考教案
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