椭圆二级结论大全
高中数学史上最全椭圆二级结论大全
最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.
椭圆常见结论求解离心率
椭圆离心率a c e =的求法 1.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,过F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两 点，直线l 的倾斜角为60°，FB AF 2=,求椭圆的离心率？（焦半径公式11ex a PF +=， 22ex a PF -=的应用左加右减，弦长公式为直线的斜率k x x k d ,1212-+=） 2.椭圆方程()01:22 22>>=+b a b y a x C 的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A ,在椭圆上 存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆的离心率的范围？（焦准距c b 2 的应用） 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于c a ,的二元二次方程02 2 =++pc nac ma 解法）
4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ,且 FD BF 2=,则C 的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用） 5.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上，且x BF ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用） 6.过椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点， 若?=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(2 tan 212 PF F b S ∠==θθ ） 7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 8.椭圆142 2=+y x 的离心率为?（椭圆基本性质2 2 2 c b a +=的应用） 9.椭圆()01:22 22>>=+b a b y a x C 的焦点为21,F F ，两条准线与x 轴的交点为N M ,，若 212F F MN ≤，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222c b a +=的应用）
史上最全椭圆二级结论大全
专题 —史上最全椭圆二级结论大全 1.12 2PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2 时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直 线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 22 11A B a b +=+ ;(2) L =17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意
椭圆常结论及其结论(完全版)
、焦半径 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在x 轴（左焦半径） 匚=a ex 0,（右焦半径）r 2二a - ex 0,其中e 是离心率， 焦点在y 轴 MF i =a+ey °, MF 2 =a —ey 。其中F i ’F ?分别是椭圆的下上焦点- 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 .可以记为：左 加右减，上减下加? PF 1 _a-c, PF 2 _a-c 推导：以焦点在x 轴为例 如上图，设椭圆上一点 P x o , y o ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，?匸旦=e ， PM 、椭圆的第二定义+： 2椭圆常用结论 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 （0,1）内常数e ,那么这个点的 轨 迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 左对左，右对右） e 就是离心率.（点与线成对出现, 2 2 对于?爲=1，左准线h : x a b a 2 2 2 对于与二药，下准线h : y a b 2 —；上准线12 ： y - C C 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 2 焦点到准线的距离 p = ’ - C C 2 2 . 2 a - c b 宀厶" （焦参数） c B i 则 Ph =ePM |=e x 0 f 2、 f 2 > f 2 \ c 丄a c 丄a =e x ° +_ x° + ’ c z / < c 丿 a < c 丿 =a ex 。
2 2 四、若P 是椭圆： 冷■存=1上的点? F 1,F 2为焦点，若/F 1PF^ <1，则.■PF 1F 2的面积为 a b PF I PF)2 -2|PF i| PF 2 -4c 2 2PF d'i PF 2| 4a 2-2|PF 1 PF 2 -4c 2 2 PF 1I PF 2 4b 2 -2PF i PF 2 2|PFj ]PF 2「 推 导： 1 如图 S ZP F 1F ^-PF 1 PF 2 sinT 根据余弦定理，得 b tan 2 PF|2+|PF|2|F i F 2 2 同理可得 PF 2 =a - ex o 三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 弦AB x 轴为例, b 2 ，B bT c,- 一 c,—— I a 丿 I a J 弦AB 长度: AB 2b 2 a COS ：= 2PF i PF ? 得PF 1 PF 2 2b 2 1 COS- 1 , 1 S PF 1F 2 =?PF i PF 2 sinr =- 2 b 2 1 cos- sin r = b 2 -^^=b 2 tan- 1 cos^ 2 坐标: A
高中生物二级结论总结
1.细菌不谈等位基因（有该选项的首先排除）。 2.目的基因导入受体细胞发生的是基因重组。 3.抗体的产生需要淋巴因子的参与。 4.血钙浓度过低，肌肉抽搐；过高，肌无力。 5.植物细胞在一定条件下，并不都能表现出全能性，如筛管细胞（无核）。 6.基因工程是定向改变基因频率。 7.提取色素用丙酮，分离用层析液。 8.Ｔ细胞，效应Ｔ细胞都能产生淋巴因子。 9.呼吸作用为零，细胞死亡。 10.棉蚜吸食棉花汁液，种间关系为寄生，非捕食。 11.所用脊椎动物的胚胎发育过程都离不开水。 12.成熟红细胞无核，无细胞器，无法进行有氧呼吸。 13.Ｃ4植物光反应在叶肉细胞中进行，暗反应在维管束鞘细胞中进行（这里会有分歧，以当地教材为准）
14.兴奋在反射弧中的传递形式是电信号和化学信号。 15.大气中的Ｎ2必须经过生物或非生物的固氮过程才能被生物体利用。 16.代谢速率相干因素：线粒体数目，膜面积，温度。 17.植物组织培养中的蔗糖作用，提供营养，调节渗透压（后者极易忽视）18.体细胞离体培养用到ＣＯ2培养箱，维持ＰＨ。 19.根尖分生区不出现质壁分离的原因是无中央大液泡。 20.顶芽生长不需要其它部位提供生长素。 21.对生长素的敏感程度：幼嫩细胞大于成熟细胞。 22.盛不同浓度生长素溶液的小培养皿要加盖：避免水蒸发影响浓度。 23.严重缺铁的病人可能出现乳酸中毒。 24.各种细胞器的复制发生在间期。 25.细胞膜吸收钾离子至少要两种蛋白质。 26.原代培养，传代培养都要用胰蛋白酶处理。
27.动物细胞吸水膨胀，磷脂双分子层厚度要变小：膜的流动性。28.制备单克隆抗体：体外培养法，动物体内培养法。 29.ＡＴＰ连续两次水解得到腺嘌呤核糖核苷酸。 30.从光合作用到呼吸作用Ｈ2Ｏ中的Ｏ的循环过程：Ｈ2Ｏ→Ｏ2→Ｈ2Ｏ。 31.葡萄糖进入红细胞，协助扩散，需要载体，不需要ＡＴＰ。 32.ＡＴＰ并非生物大分子物质。 33.细胞内ＡＴＰ与ＡＤＰ相互转化的能量供应机制是生物的共性。34.能量不能转化为物质即不能说“什么能转化为ＡＴＰ”。 35.夏季连续阴天，大棚中白天适当提高温度，夜晚适当降低温度，有利于提高产量。 36.真核细胞通常只有一个细胞核，但有的细胞会含有多个细胞核。37.植物细胞在形成中央大叶泡后主要靠渗透作用吸收水分。
椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论 一、椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右） 对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 2 2:= 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2 222=-=-=（焦参数） 二、焦半径 圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。 椭圆的焦半径公式： 焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=- 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加() c a PF c a PF -≥-≥21, 推导：以焦点在x 轴为例 如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义， e PM PF =1， 则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=???? ??+=???? ??+=???? ? ????? ??--==
同理可得0 2ex a PF -= 三、通径： 圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB 坐标：???? ??-a b c A 2,，??? ? ??a b c B 2, 弦AB 长度： a b AB 2 2= 四、若P 是椭圆：12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b . 推导：如图θsin 2 12121??= ?PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos = 2 12 2 12 2 2PF PF F F PF PF ?-+ = 2 12 2121242)PF PF c PF PF PF PF ?-?-+ = 2 12 2122424PF PF c PF PF a ?-?- = 2 12 12224PF PF PF PF b ??- 得θ cos 122 21+=?b PF PF θsin 212 121??=?PF PF S F PF =θθsin cos 12212?+?b =θθcos 1sin 2+?b =2 tan 2θb
史上最全椭圆二级结论大全
专题118—史上最全椭圆二级结论大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.11 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1 与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方 程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2 211A B a b +=+ ;(2) 2222L a A b B =+ 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22 2222 22 2 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222 02 222(,)a b a b x y a b a b ---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过' P 点. 18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22 221x y a b += (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2
二级结论在解析几何中的作用
二级结论在解析几何中的作用 一 椭圆、双曲线的“垂径定理” 1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________. 2. 已知点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点 ，垂直 于轴，直线交椭圆于点，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率__________. 3. 设动直线与椭圆交于不同的两点与双曲线 交于不同的两点 且则符合条件的直线共有______条. 4.已知某椭圆的焦点是过点 并垂直于轴的直线与椭圆的一个交 点为，且 .椭圆上不同的两点 满足条件： 成等差数列. （1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦 的垂直平分线的方程为 ，求的取值范围. 5.（16四川）已知椭圆：22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点，点在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段 的中点为，直 线 与椭圆交于 ，证明： 二 圆锥曲线的共圆问题 6. （11全国）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F
且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 7. 已知抛物线C ：y 2 =2px （p ＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C 的交点为Q ， 且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 二 抛物线的性质 8. （14四川）已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C 、 172 8 D 、10 9.（15新课标）在直角坐标系中，曲线C ：y =2 4 x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两 点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点到点 及直线 的距离都相等，且这样的点只有一个，求值. 三 椭圆、双曲线的性质 11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭 O 1F 2F x y l M N
椭圆常用结论及其应用
高考数学椭圆中重要结论及其应用 一椭圆中的一些不等关系 （1）设椭圆（22221(0)x y a b a b +=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点， 12,F F 为椭圆的两个焦点，则： ①0a x a -≤≤，0b y b -≤≤例已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆上的 一点且212PF PF c = ，则此椭圆离心率的范围是______.,]32②b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）③122PF PF c -≤. 例若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心率的取值范围是______.1[,1) 3 ④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点. 例已知椭圆2222:1(0)x y C a b c a b +=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为 T ，且PT 的最小值不小于()2 a c -，则椭圆的离心率取值范围为 ______.3 [,52④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 22二椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θb S PF F =?例已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥ ，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3练习椭圆22194 x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为_______.3535(,55 -（2）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a . 例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得2122PF PF b = ，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（3）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点 例已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得1290F PF ?∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围 _________.,1)2（4）已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则. 21cos 2e -≥θ
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论 1、任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C 3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。 ①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x ) 4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b| 7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1 1-≤≤-< -x x x x x 、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ① 圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为 02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤ 二次曲线的切点弦 方 程 为 02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 13、①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
椭圆中的重要结论
椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等 一?焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 2 2 例1椭圆 ? 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2 的形状. 16 12 性质一： 2 2 已知椭圆方程为 笃?爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2 ,设焦点三角形 a b PF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 性质 三： h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2 已知椭圆方程为 务?每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a b 2 PF 1F 2 中 FfF 2 - V,则 COST 一1 — 2e . 2 2 一 x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上 a b 存在一点P,使得三F 1PF 2二12。0,求椭圆的离心率e 的取值范围。 二 b 2 tan —。 2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+ 着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为 F 1, F 2,设焦点三角
例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| I F1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论 椭圆与双曲线对偶结论 倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交 倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相
如图，已知直线l与双曲线相交于,A （注：直线l与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立）
推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原 F c与双曲线相 线l过焦点(),0
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题： 设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()22 2210,0x y a b a b -=>>，过点P 与双曲线 相切时的斜率为0k . （1）当0b k a ≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当b k a =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （3）当 0b k k a <<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点. 2．如图，(),0F c 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐 近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==. 3．点P 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值 22 22 a b a b +. 4．点P 是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐 近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2 ab .
双曲线二级结论大全
双曲线 1.122PF PF a -= 2.标准方程22 221x y a b -= 3.11 1PF e d => 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点. 9．双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 10．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切 点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 12．AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=. 13．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-. 15．若PQ 是双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22 221x y a b -=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b -=+ ;(2) L =
椭圆与双曲线二级结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
高考中圆锥曲线常见结论
高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线
专题：椭圆相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)
专题：椭圆相关的二级结论及推导 1.122PF PF a +=：由椭圆第一定义可知。 2.标准方程22 22 1x y a b +=：由定义即可得椭圆标准方程。 3.11 1PF e d =< ：椭圆第二定义（椭圆平面内到定点 F(c,0)的距离和到定直线 L: ( F 不在 L 上)的距离之 比为常数 (即离心率 e,0
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。