③ 若02
<-B AC ，函数没有极值； ④
若02
=-B AC ，不定。
2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ?下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λ?+=
——— Lagrange 函数
解方程组 ????
???===0
),(0
0y x L L y x ?
2、 几何应用 1）
2）
^
3）
曲线的切线与法平面
曲线
???????===Γ)
()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为：)()()(0
0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x
4） 曲面的切平面与法线
曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：
0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x
法线方程为：),,(),,(),,(0
000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
…
第三章 重积分
（一） 二重积分（一般换元法不考）
1、 定义：
∑??=→?=n
k k k k
D
f y x f 1
),(lim d ),(σηξσλ
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算： 1） ；
2）
直角坐标
?
??
???≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21??，
21()
()
(,)d d d (,)d b
x a
x D
f x y x y x f x y y φφ=???
?
?
?????≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，
21()
()
(,)d d d (,)d d
y c
y D
f x y x y y f x y x ??=???
?
3） 极坐标
?
?
?
???≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D
21()
(
)
(,)d d (cos ,sin )d D
f x y x y d f β
ρθαρθ
θρθρθρρ=????
（二） [
（三）
三重积分
1、 定义： ∑???
=→Ω
?=n
k k k k k
v f v z y x f 1
),,(lim
d ),,(ζηξ
λ
2、
3、
性质：
4、 计算： 1） 直角坐标
???
???
=Ω
D
y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),()
,(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”
??
????
=Ω
Z
D b
a
y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”
2） 、
3）
柱面坐标
????
???===z
z y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=?????? 4） 球面坐标
????
???===?
θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x
2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩ
Ω
=???
???
（四） 应用 曲面D y x y x f z
S ∈=),(,),(:的面积：
?
y x y
z x z A D
d d )()(
12
2??
??+??+=
第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、
2、
定义：
1
(,)d lim (,)n
i i i
L
i f x y s f s λξη→==??∑?
3、 性质： 1）
[(,)(,)]d (,)d (,)d .L
L
L
f x y x y s f x y s
g x y s αβαβ+=+??
?
>
2）
1
2
(,)d (,)d (,)d .L
L L
f x y s f x y s f x y s =+?
?? ).
(21L L L +=
3）在L 上，若),(),(y x g y x f ≤，则(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤??
4）
l s L
=?d ( l 为曲线弧 L 的长度)
4、 计算：
设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),
(),
(βαψ?≤≤????
?==t t y t x ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2≠'+'t t ψ?，则
(,)d [(),( ,()
L
f x y s f t t t β
α
φψαβ=
?
（二） 对坐标的曲线积分 1、 》
2、
定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数)
,(y x P ，)
,(y x Q 在 L 上有界，定义
∑?
=→?=n
k k
k k L
x P x y x P 1
),(lim d ),(ηξλ，
∑?=→?=n
k k k k
L
y Q y y x Q 1
),(lim d ),(ηξλ
.
向量形式：
??
+=?L
L
y y x Q x y x P F d ),(d ),(d
3、 性质：
用-
L 表示L 的反向弧 , 则???-=?-L
L
r y x F r y x F d ),(d ),(
4、 计算：
设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,
L 的参数方程为
，
):(),
(),
(βαψ?→????
?==t t y t x ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψ?，则
(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}d L
P x y x Q x y y P t t t Q t t t t β
α
φψφφψψ''+=+?
?
5、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为?????==)
()
( t y t x L ψ?：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)
()()
(cos 2
2t t t ψ??α'+''=，)()()(cos 22t t t ψ?ψβ'+''=， 则d d (cos cos )d L
L
P x Q y P Q s αβ+=+?
?.
（三） 格林公式
…
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有???+=????
????-??L
D y Q x P y x y P x Q d d d d
2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则
y P
x Q ??=??
?曲线积分 d d L
P x Q y +?在G 内与路径无关
?曲线积分d d 0L
P x Q y +=?
? y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：
￥
设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数，
定义
i i i i n
i S f S z y x f ?=∑??
=→∑
),,(lim d ),,(1
ζηξλ
2、 计算：———“一投二换三代入”
),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则
y x y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D y
x d d ),(),(1)],(,,[d ),,(2
2++=??
??
∑
（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、 {
3、
定义：
设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义
1
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i xy
i R x y z x y R S λξηζ∑
→==?∑??
同理，
1
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑
→==?∑??
1
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑
→==?∑??
4、 性质： 1）21∑+∑=∑，则
1
2
d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y
P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y
∑∑∑++=+++++??????
@
2）-
∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y
-
∑
∑
=-??
??
5、 计算：——“一投二代三定号”
),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在
∑上连续，则
(,,)d d [,,(,)]d d x y
D R x y z x y R x y z x y x y ∑
=±??
??
,∑为上侧取“ + ”，
∑为下侧取“ - ”.
6、 两类曲面积分之间的关系：
()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ????
∑
∑
++=++γβα
其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。 （六） 高斯公式 1、 *
2、
高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函
数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,
则有
?????∑Ω++=???
?
????+??+??y x R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d
或()?????∑
Ω++=???? ????+??+??S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα
（七）
（八）
斯托克斯公式
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的侧与 的正
向符合右手法则, ),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含 在内的一个空间域内具有
连续一阶偏导数,
则有
???Γ∑++=???? ????-??+???? ????-??+???? ?
???-??z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
!
???
Γ∑
++=??
????z R y Q x P R
Q P z
y x y x x z z y d d d d d d d d d
第六章 常微分方程 1、微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；
未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;
未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶. ~
能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解. 2、典型的一阶微分方程
可分离变量的微分方程： )()(d )(d )(y g x h dx
dy
x x f y y g ==或
对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
2、 、
3、
齐次微分方程：
代入微分方程即可。
可通过坐标平移去掉常数项。
4、 )
5、
一阶线性微分方程
型如 称为一阶线性微分方程。
其对应的齐次线性微分方程的解为
利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解
6、 伯努利方程：
于是U 的通解为：
7、 全微分方程：
??=x
x f y y g d )(d )(
)( )( y
x x x y y ψ?='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程x
y
u x y y =='? , xu y x y u ==，则令 ,u dx
du x dx dy +=.
)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f b
a
u =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。?=-x
x p Ce y
) d )( (d )(d )(。C x e x q e y x
x p x x p +??=?-)
1 ,0 ( )()(≠=+'n y x q y x p y n 得将方程两端同除以,n y ) 1 ,0 ( )()(1≠=+'?--n x q y x p y y n n d d )1(d d 1，，则令x y y n x u y u n n ---==
11d d ，dx
du n x y y n ?-=-
) )()1( (d )()1(d )()1(。C e x q n e u x
x p n x x p n +?-?=?---
7、可降阶的高阶常微分方程 （1） （2）
型的微分方程),(6.4.2 )
1()(-=n n y x f y （3）型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构
（1）函数组的线性无关和线性相关 （2）线性微分方程的性质和解的结构
叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 （3）刘维尔公式
（4）二阶非齐线性微分方程解的结构
特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：
10、 二阶常系数线性微分方程 （1）齐次线性微分方程的通解
特征方程：
3) 特征方程有一对共轭复根
（2）二阶常系数非齐线性微分方程的特解
型的微分方程
)( )(x f y n =??=- d
)()(2
1
d )(12x y
e x y x y x
x p )
(*)(1x y x y y += 0)()()()(2211，='+'x y x C x y x C )()()()()(2211。x f x y x C x y x C =''+''
)()()()()(*2211x y x C x y x C x y += 02。=++q p λλ )121，则实根特征方程有两个不同的λλ≠x x e y e y 2
1
21 λλ==，
21212211。其通解为：x x e C e C y C y C y λλ+=+= )221，则实重根特征方程有λλ=
2
2422,1，p q p p -=-±-=λ即可另外一个线性无关的解再利用刘维尔公式求出的一个解。是方程此时， ) 1 ( 11x e y λ=
i i 21，则，βαλβαλ-=+= )i (2)i (12211。x x e C e C y C y C y βαβα-++=+=
)sin cos (21。或x C x C e y x ββα+=
若a 不是其特征方程的特征根，则 若a 是其特征方程的单特征根，则 若a 是其特征方程的K 重特征根，则
)()( .1的情形x P e x f n x α= )(*。x Q e y n x α= )(*。
x Q e x y n x α= )(*。x Q e x y n x
k α=
, ]sin )(cos )([)( .2的情形x x P x x P e x f n l x ββα+=
特解可设为不是特征根时，方程的当i βα± ; ]sin )(cos )([)
2()1(x x Q x x Q xe y m m x ββα+=* 解可设为是特征根时，方程的特当i βα±
; ]sin )(cos )([)2()1(x x Q x x Q xe y m m x ββα+=*
