中考数学压轴题 复习提高题学能测试

一、中考数学压轴题

1．如图，抛物线2

14

y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，

5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

3．如图1，已知，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，连接AO 并延长交BC 于点H ．

（1）求外接圆⊙O 的半径；

（2）如图2，点D 是AH 上（不与点A ，H 重合）的动点，以CD ，CB 为边，作平行四边形

CDEB ，DE 分别交⊙O 于点N ，交AB 边于点M ． ①连接BN ，当BN ⊥DE 时，求AM 的值；

②如图3，延长ED 交AC 于点F ，求证：NM ·NF=AM ·MB ； ③设AM=x ，要使2ND -22DM <0成立，求x 的取值范围．

4．综合与实践

4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是

2:1的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

()1如图1所示，矩形纸片2()ABCD AD AB =

是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点

B 与D 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点,E 交B

C 边于点F ，若1,AB =求CF 的

长，

()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形

BFDE 的形状，并说明理由．

探究发现：

()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重

合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形

ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．

5．已知：如图，二次函数213

222

y x x =-

++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直

线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90?，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．

（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ?的面积最大时点D 的坐标；在DEB ?的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．

（2）在DEB ?的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．

6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．

（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °

（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．

②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．

（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．

8．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ 为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．

已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．

（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；

（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标x K的取值范围；

（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝1

2

x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接

写出m的取值范围．

9．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21

y ax

a

=-与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B，

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求点B坐标（用含a的式子表示）；

（3）已知点

1

1,

P

a

??

?

??

，(3,0)

Q，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，

求a的取值范围．

10．如图，射线AM上有一点B，AB＝6．点C是射线AM上异于B的一点，过C作

CD⊥AM，且CD＝4

3

AC．过D点作DE⊥AD，交射线AM于E. 在射线CD取点F，使得CF

＝CB，连接AF并延长，交DE于点G．设AC＝3x．

（1）当C在B点右侧时，求AD、DF的长．(用关于x的代数式表示) （2）当x为何值时，△AFD是等腰三角形．

（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）

11．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线

l 交O 于A

B 、两点．

（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是

O 一点，1cm OM =．

①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．

（1）求直线BC 的解析式；

（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ?的面积为

S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当

:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．

13．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ，

（1）如图①所示．当∠CNG ＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C ，交 AB 于点 P ，直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系．

15．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12

x 2

+bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；

（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

16．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2

23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B

在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点

D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t

的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若

72

8

CG AG =

，求点P 的坐标．

17．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝

1

3

，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

18．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；

（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；

（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．

19．如图，平面直角坐标系中，抛物线2

28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在

点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作

EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?，在

射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．

20．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别

长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；

（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？

（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2．

21．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，连接AE ，过点D 作DF AE ⊥于点F ，过点C 作CN DF ⊥于点N ，延长CN 交AD 于点M ． （1）求证：AM MD =

（2）连接CF ，并延长CF 交AB 于G ①若2AB =，求CF 的长度； ②探究当

AB

AD

为何值时，点G 恰好为AB 的中点．

22．如图，直角梯形ABCD 中，

1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ??∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线

——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以

3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点

A 、点

B 同时出发，运动的时间为ts

（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；

（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，

1O 与2O 外切？

23．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ； （2）求∠AEB 的度数；

（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求

AF

DE

的值．

24．如图，二次函数2

3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ，另一个交点为

A ，且与y 轴相交于C 点

（1）则m =_________；C 点坐标为___________；

（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由． （3）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；

②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t =________时，四边形PBQC 的面积最大．

25．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．A

解析：（1）2135442

y x x =--，33

y x 42=+ ；（2）① 存在，点P 的坐标是（2，-3）

和（4，3

2-）；②231848555

m x x =-+

+ ， m 的最大值是15． 【解析】 【分析】

（1）将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式可求得b 、c 的值，然后可求得抛物线的解析式，将点A 的坐标代入直线的解析式可求得k 的值，从而可求得直线的解析式； （2）①将2135442

y x x =

--与33y x 42=+联立，可求得点158,2D ??

???，然后再求得点

30,2C ?? ???则6CE =，设点P 的坐标为2135,442x x x ??-- ???，则M 的坐标是3

3,4

2x x ??+ ???．然

后可得到PM 的长与x 的函数关系式，然后依据PM CE =，可求得x 的值，从而可得到

点P 的坐标；

②在Rt CDE ?中，依据勾股定理可知：10DC =，则CDE ?的周长是24，接下来，证明

PMN CDE ??∽，依据相似三角形的周长比等于相似比可得到m 与x 的函数关系式，最后利用配方法可求得m 的最大值． 【详解】

解：（1）

2

14

y x bx c =

++经过点A 和点B ， ∴12052b c c -+=??

?=??，

解得3452

b c ?=-????=-??，

∴抛物线的解析式为2135

442

y x x =

--， 直线3

2

y kx =+经过点(2,0)A -， 3202

k ∴-+

=，解得：34k =．

∴直线的解析式为33y x 42

=

+； （2）①将2135442

y x x =

--与33

y x 42=+联立，解得2x =-或8x =，

将8x =代入33y x 42

=+得：15

2y =，

158,2D ??

∴ ???

，

将0x =代入33y x 42=

+得：32

y =， 30,2C ??

∴ ???

，

6CE ∴=，

设点P 的坐标为2135,442x x x ??-- ???，则M 的坐标是3

3,4

2x x ??+ ???，

点P 在直线AD 的下方，

223

31351344

244242PM x x x x x ????∴=+---=-++ ? ?????，

四边形PMEC 为平行四边形， PM CE ∴=，

213

4642

x x ∴-++=，解得2x =或4x =，

当2x =时，3y =-，当4x =时，3

2

y =-

， ∴当点P 的坐标为()2,3-或34,2

??

- ??

?

时，四边形PMEC 为平行四边形；

②在Rt CDE ?中，8DE =，6CE =， 依据勾股定理可知：10DC =，

CDE ∴?的周长是24， //PM y 轴，

PMN DCE ∴∠=∠，

又90PNM DEC ∠=∠=?， PMN CDE ∴??∽，

∴PMN CDE l PM l DC

??=，即2134422410

x x m -++=， 化简整理得：231848555

m x x =-

++， 配方得：2

3(3)155

m x =--+，

∴当3x =时，m 有最大值，m 的最大是15．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的周长比等于相似比列出m 与x 的函数关系式是解题的关键．

2．D

解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769

或32 【解析】 【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8 ∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=

()1

62

x + 同理，PR=

12

y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR

∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜

10

3

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜

103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83

=AE ∴188176662339

ABCD S ??=

?++?= ???梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()1

6644322

ABCD S =?++?=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

3．A

解析：（1）

O 半径为

25

4；（2）①458AM =；②详见解析；③当

1251017

x <<时，有2220ND DM -<成立．

【解析】 【分析】

（1）如下图，在Rt △ABH 中，先求得AH 的值，设OA=r ，在Rt △OBH 中，利用勾股定理可求得r 的长；

（2）①如下图，在Rt BCN ，可求得BN 的长，然后在矩形NBHD 中，求得AD 的值，最后利用cos ∠MAD 求得AM ；

②如下图，同过证AMN NFC △∽△可得结论；

③如下图，通过转换，先得出222ND DM -=22AM MB DM ?这个等式，然后利用

3

sin 5

DM MAD AM ∠=

=，设AM=x ，可得到关于x 的方程，进而求出x 的取值范围． 【详解】

解：（1）如图1，连接OB ，

∵AH 过圆心O ，∴AH BC ⊥， ∵AB AC =，∴1

62

BH CH BC ==

=， 在Rt ABH △中，221068AH =-=，

设半径OA OB r ==，则8OH r =-，在Rt OBH 中，2

2

2

(8)6r r -+=， 解得254r =

，即O 半径为254

． （2）①如图2，连接CN

在平行四边形CDEB 中，DE BC ∥，∴ENB NBC ∠=∠． ∵BN DE ⊥，即90ENB ∠=?，∴90NBC ∠=?． ∴CN 是

O 的直径．25

22

CN r ==

． ∴在Rt BCN 中，22

72

BN CN BC =-=

．

∵四边形CDEB 是平行四边形，NB ⊥BH ，DH ⊥BH ∴四边形NBHD 是矩形， ∴72DH BN ==

，6ND BH ==，∴79822

AD AH DH =-=-=． ∴在Rt ADM △中，4cos 5AD AH MAD AM AB ∠===，∴45

8

AM =， ②如图3，连接AN ，CN ，

∵DE BC ∥，∴DNC NCB ∠=∠． ∵NAB NCB ∠=∠，∴NAB DNC ∠=∠．

由DE BC ∥，AB AC =可得AMD ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴AMN NFC ∠=∠，AM

AF =．

∴AMN NFC △∽△，MB CF =． ∴

NM NM AM

CF MB NF

==，即NM NF AM MB ?=?． ③∵AH BC ⊥，DE BC ∥，∴AD MF ⊥，∵AM AF =，∴MD DF =，

∴222222ND DM ND DM DM -=--

2()()ND DM ND DM DM =-+- 2NM NF DM =?-

22AM MB DM =?．

∵AM x =，∴10BM x =-，

由3sin 5DM MAD AM ∠=

=，得3

5

DM x =， ∴2

2223342(10)10525ND DM x x x x x ??-=--=-+ ???

．(010)x <<

该函数图象的示意图如图4

易求得点P 坐标为125,017??

???

∴当

125

1017x <<时，有2220ND DM -<成立． 【点睛】

本题考查几何图形的综合，解题过程中用到了勾股定理、相似、三角函数和平行四边形、圆的性质，解题关键是将这些知识点综合起来分析题干．

4．(1) CF ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）1AB =，则AD =

ABCD 是矩形，得到

1,CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则

FB FD x ==，在Rt DCF △中，2

2

2

+=CD CF DF ，可得)

22

2

1x x +=

即

可求解．

（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，

90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在

BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得

BOF DOE ?，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．

（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边

形，根据90DOE DAB ∠=∠=?，得到DOE

DAB ，再根据AD =，可得

2OE AB OD AD ===，进而得到2OE OD =，2EF BD =

，同理可得，

2

MN AC =

，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形

ENFM 是矩形，90EMF ∠=，MF OD

tan FEM ME OE

∠=

==MF =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"． 【详解】

解：()

11,AB =则AD AB ==四边形ABCD 是矩形

1,CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =

设CF

x =，则FB FD x ==

在Rt DCF △中，222+=CD CF DF

(

)

22

2

12x x +=-

2x =

答：CF 长为

24

()2四边形BFDE 是菱形.

理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BD

OB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=

在矩形ABCD 中，//,AD BC

OBF ODE ∴∠=∠

在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,

BOF DOE ∴? OE OF ∴= OB OD =

∴四边形BFDE 是平行四边形

EF BD ⊥

平行四边形BFDE 是菱形.

()3纸片ENFM 是“标准纸”

理由如下：由()2可知，,OE OF =

同理可知，,OM ON =

∴四边形ENFM 是平行四边形