实验一-插值方法实验
《计算方法》实验报告
学院：信息学院
专业：计算机科学与技术
指导教师：
班级学号：
姓名：
计算机科学与工程系
实验一 插值方法
一. 实验目的
（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法
的理解。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二. 实验要求
用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三. 实验容
1. 实验题目
（1）已知概率积分dx e
y x x ?-=02
2
π
的数据表
构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。
（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作2
11
)(x
x f +=
的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x =3.3152时的函数值。
（3）仿照附录C 中“文件1.2 逐步插值”程序（Neville 算法，课本227页）编写相应的Aitken 逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分?
∞-=x
dt t
t
x f sin )(在x =0.462的值，并比较它们的结果。
（4）运行C 中“文件1.3 分段三次Hermite 插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据
2. 设计思想
（1）Lagrange 插值：
Lagrange 具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。事实上，在逻辑上表现为二重循环，循
环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。
（2）分段线性插值：
分段插值是将被插值函数逐步多项式化。分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。
（3）Neville插值：
Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。
Atiken逐步插值：
Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。
（4）Hermite插值：
Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。
3. 对应程序
（1）Lagrange插值
function [y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)
%X,Y是已知的差值点坐标点
%x0是插值点
%y0是Lagrange多项式在x0处的值
%N是Lagrange插值函数的权系数
m=length(X);
N=zeros(m,1);
y0=0;
for i=1:m
N(i)=1;
for j=1:m
if j~=i
N(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j));
end
end
y0=y0+Y(i)*N(i);
end
（2）分段插值
syms f x;
f=1/(1+x^2);
N=input('请输入插值节点数N=');
X=-5:10/N:5;
Y=zeros(1,length(X));
for i=1:(N+1)
x=X(i);
Y(i)=eval(f);
end
M = -5:0.01:5;
y = zeros(1,length(M));
n=1;
for i=1:N
for x=-5:0.01:5
i f x
y(n)=Y(i)*(x-X(i+1))/(X(i)-X(i+1))+Y(i+1)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i)); n=n+1;
end
e nd
end
ezplot(f,[-5,5])
hold on
x =-5:0.01:5;
plot(x,y,'r');
（3）Neville逐步插值
function y0=Neville_eval(X,Y,x0)
%X,Y是已知的插值点的坐标
%x0是插值点
%y0是多项式在x0处的值
m=length(X);
P=zeros(m,1);
P1=zeros(m,1);
P=Y;
for i=1:m
P1=P;
k=1;
for j=i+1:m
k=k+1;
P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(j-1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(k-1));
end
if abs(P(m)-P(m-1))<10^-6;
y0=P(m);
return;
end
end
y0=P(m);
Atiken逐步插值
function y0=Aitken_eval(X,Y,x0)
%X,Y是已知的插值点的坐标
%x0是插值点
%y0是多项式在x0处的值
m=length(X);
P=zeros(m,1);
P1=zeros(m,1);
P=Y;
for i=1:m
P1=P;
k=1;
for j=i+1:m
k=k+1;
P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(1)); end
if abs(P(m)-P(m-1))<10^-6;
y0=P(m);
return;
end
end
y0=P(m);
（4）Hermite插值
function y0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)
% X,Y是已知插值点向量序列
% DY是插值点处的导数值
% x0是插值点横坐标
% y0是待求的分段三次Hemite插值多项式在x0处的值
% N表示向量长度
N=length(X);
for i=1:N
if x0>=X(i)&x0<=X(i+1)
k=i;
break;
end
end
a1=x0-X(k+1);
a2=x0-X(k);
a3=X(k)-X(k+1);
y0=(a1/a3)^2*(1-2*a2/a3)*Y(k)+(-a2/a3)^2*(1+2*a1/a3)*Y(k+1)+(a1/a3)^2*a2*DY(k)+(-a 2/a3)^2*a1*DY(k+1);
4. 实验结果
列出相应的运行结果。如果要求可视化，则同时需要给出相应的图形。
（1）Lagrange插值
一次Lagrange插值：
运行结果：
>> X=[0.46,0.47];
>> Y=[0.4846555,0.4937452];
>> x0=0.472;
>> [y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)
y0 =
0.49556314000000
N =
-0.20000000000000
1.20000000000000
插值系数与作图：
>> x1=0;
>> [y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);
>> x2=1;
>> [y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);
>> k=(y2-y1)/(x2-x1)
k =
0.90897000000001
>> x=[x1,x2];
>> y=[y1,y2];
>> plot(x,y)
二次Lagrange插值
差值结果：
>> X=[0.46,0.47,0.48];
>> Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x0=0.472;
>> [y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)
y0 =
0.49555292800000
N =
-0.08000000000000
0.96000000000000
0.12000000000000
插值系数与作图：
>> x1=0;
>> [y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);
>> x2=1;
>> [y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);
>> k=(y2-y1)/(x2-x1)
k =
0.87918499999967
>> x=[x1,x2];
>> y=[y1,y2];
>> plot(x,y)
三次Lagrange插值
差值结果：
>> X=[0.46,0.47,0.48,0.49];
>> Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683]；>> x0=0.472;
>> [y0,N]=Lagrange_1(X,Y,x0)
>> [y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)
y0 =
0.49555296000000
N =
-0.04800000000000
0.86400000000000
0.21600000000000
-0.03200000000000
插值系数与作图
>> x1=0;
>> [y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);
>> x2=1;
>> [y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);
>> k=(y2-y1)/(x2-x1)
k =
0.83708499999011
>> x=[x1,x2];
>> y=[y1,y2];
>> plot(x,y)
（2）分段差值
差值结果：
>> Y=interp1(x,y,3.3152,'spline')
Y =
0.08342312935731
作图：（原函数：蓝色，插值函数：红色）
>> fenduan_eval
请输入插值节点数N=6
（3）Neville逐步插值
>> X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>> Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];
>> x0=0.462;
>> y0=Neville_eval(X,Y,x0)
y0 =
0.45655811276280
Aitken逐步插值
>> X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>> Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];
>> x0=0.462;
>> y0=Aitken_eval(X,Y,x0)
y0 =
0.77480886915945
（4）分段三次Hermite插值
>> X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>> Y=log(X);
>> DY=1./X;
>> x0=0.462;
>> y0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)
y0 =
-0.7722
四.实验体会
通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，了解了matlab的基本编程思想，学会了matlab的基本语法与常用操作命令，加深了对于Lagrange插值、分段线性插值、Neville逐步插值、Aitken逐步插值、Hermite插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；更加精进了编程的能力；综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力；深入的了解和体会了计算方法—算法设计及其matlab实现的基本原理与学习思路；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。同时对数学的研究有了更深入的认识，并对以往所掌握的数学及编程知识有了回顾及更深入的探索。
对于各种插值方法的精度分析也有了清晰的认识，并对各种插值算法有了深刻的的理解；
Lagrange插值在高次插值时同原函数插值偏差大，拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。分段线性插值是将整个区间分成许多小段，运用低次插值，从而提高精度。分段线性插值算法简单，计算量小，但精度不高。Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。这就保证了有较高的精度。