三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导

1. 三角函数的定义

由此，我们定义：

如Figure I, 在ΔABC 中

sin (

) cos () tan ()1

1 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a

c b

a a

b b a

c a a c

c b b c

θθθθθθθθθθθθθθθ

∠=∠=

∠=

∠=

==∠=

==∠=

==对边

的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边

邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义

222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== A

c b θ

C a B Figure I

3. 简便计算公式

22sin cos cos(90)cos sin sin(90)

111

tan tan tan(90)sin cos 1b

A c c

A b b a a A b

θθθθθθθθ=

==-∠===-∠====

-∠+= 证明：

22222

2222290

1sin sin 1

sin cos 1ABC ABC a b c a b c c

B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,

证完

222

222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c

θθθ

θθθθθθ

===

+=+=

4. 任意三角形的面积公式

C

a b h

d e

Figure II

121

sin 21

sin ()2

ABC S ah ab C ac B ?=

==两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。 证明： 如Figure II,

222

22

22222222222222222

(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c B

a ac B c B B a c ac B

b a

c a c b B ac ac

=+=-+=-++-++=+---+-?==

-

证完

6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,

1

sin 2

1

2

1

21212ABC S ab C ?=

=======

=

2

ABC a b c s S ?===++=设：

7. 正弦定理

如 Figure III ,

c 为ΔABC 外接圆的直径,

sin 2 sin a A c

a c r r ABC A

=∴=

=?（为的外接圆半径）

同理：

, sin sin 2sin sin sin b c c c B C

a b c r A B

C =

=∴===

Figure III

8. 加法定理

(1) 两角差的余弦

如 Figure IV ,

AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠

令AO=BO=r

点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=

()()

()()

()()2

2

22

2

222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+????=-+????=-+???

?

Figure IV

由余弦公式可得：

()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACB

r r r r r r r r αβαβαβαβ=+-?∠=++?-=+-=--????=--????

综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2) 两角和的余弦 ()()()()

cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ

αβαβ

+=--????

=-+-=-+=-

(3) 两角和的正弦

()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ

+=?-+????

=?--????

=?-+?-=+

(4) 两角差的正弦 ()()()()

sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ

αβαβ

-=+-????

=-+-=-+=-

(5) 两角和的正切

()()()

sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ

αβ

αβαβ

αββα

βααβαβαβαβ++=

++=

-+=

-+

=

-

+=

-

(6) 两角差的正切

()()()

()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ

-=+-????

+-=---=

+

9. 两倍角公式

()()

()()

()()()

22222222

2222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1

sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta ααααααααα

αααααααααααααααααααα

ααα

ααα

ααα=+=+==+=-=-=-=-=

=-=-=-

=

-2n α

10. 积化和差公式

()()()()1

sin cos 2sin cos 21

sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ=

=++-=++-???

?

()()()()()

()()()1

cos cos 2cos cos 21

cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21

sin sin 2sin sin 21

sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

=++-=++-????==++-=+--???

? 11. 和差化积公式

(1)

设：A=α+β, B=α-β,

()()

()()

sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--????= ? ?

????

+-????= ? ?

????

-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B β

αβαβαβαβ++-+-+????= ? ?

????

+-????= ? ?

????

(2)

设：cos sin αα=

=

∵22cos sin 1αα+=

(

)()

sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθ

αθαθαθ+=+=+=+

12. 其他常用公式

()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθ+?=+?=+?=?-=?-=?-=?+=?+=-?+=--?=--?=-?=-?-=?-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ?-=-±?=-±?=-±?=-=--=-=-+??????-≤≤?≤-≤≤?≤不存在

在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算

()()1357

21

0246

sin 1!3!5!7!21!

cos 0!2!4!6!

2!

n n n

n x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+

=+=-+-+

=∑

∑

推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

所以

a=2R*sinA

b=2R*sinB

c=2R*sinC

加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入

(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

对数的性质及推导

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

*表示乘号，/表示除号

定义式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2.

MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质：

性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

推导如下

N=a^[log(a)(N)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

--------------------------------------------（性质及推导完）

公式三:

log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下:

由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1

=1/log(b)(a)

还可变形得:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：

tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

一般的最常用公式有:

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sin α

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]