第1章 随机过程的基本概念习题答案
第一章 随机过程的基本概念
1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布
解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2
1
(0+
=k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p
若 0cos 0≠t ω 即 πω)2
1
(1
0+≠
k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω
当 0cos 0>t ω时
ξπ
ωωξd e
t x X P t x F t x
?
-
=
???
?
??≤=02
cos 0
2
021cos ),(
此时 ()t
e x
t x F t x f t
x 0cos 2cos 1
21,),(022ωπ
ω?
=??=-
若 0cos 0 ??? ? ??<-=??????≥=t x x P t x X P t x F 00cos 1cos ),(ωω ξπ ωξd e t x ? - - =02 cos 0 2 211 同理有 t e t x f t x 0cos 2cos 1 21),(022ωπ ω? - =- 综上当：0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 t x e t x f 022cos 20|t cos |1 21 ),(ωωπ- = 2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1( X X Θ 于是 2 ,1 121 ,1 2 ,10 21 1 ,0 0 )1(;211,21;,21212 121212121? ?? ???? ??≥><≤->≤<≤-<≥+∞<<∞-<=? ? ????≤≤??? ??=??? ?? x x x x x x x x x x x X x X p x x F x 或或 3．设随机过程(){}+∞<<-∞t t X ,共有三条样本曲线 t X t X X cos )t,( ,sin )t,( ,1)t,(321===??? 且,3 1 )p()p()p(321===???试求随机过程()t X 数学期望EX(t)和相关函数R x (t 1,t 2)。 解： 数学期望 )cos (sin 31 3131cos 31sin 311)()(t t t t t EX t m X ++=?+?+?== )cos sin 1(3 1 t t ++= 相关函数 21212121cos cos 3 1 31sin sin 311)]()([),(t t t t t X t X F t t R X +??+?== )]cos(1[3 1 21t t -+= 4．设随机过程 )0( )(>=-t e t X Xt 其中X 是具有分布密度f (x )的随机变量。试求X (t )的一维分布密度。 解：对于任意 t >0 因为 ))((),(x t x P t x F X ≤= ∴ 当x >0时 {} {}???? ?? -≥=≤-=≤=-t x X P x Xt P x e P t x F Xt X ln ln ),( ?-∞--=???? ?? -<-=t x d f t x X p ln )(1ln 1ξξ ∴ xt t x f t x F x t x f X X 1ln ),(),(???? ??-=?? = 当0≤x 时 { } 0),(=≤=-x e p t x F Xt X ∴ 随机过程)(t X 的一维分布密度为 ?? ? ??-= t x f xt t x f X ln 1),( 5．在题4中，假定随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(t EX 和自相关函数),(21t t R x 解：∵ 随机变量X 的概率密度函数为 ??? ??∈=其它 ),0(1)(T x T x f X 因此： T T T xt xt T xt X xt e t T dx e T dx T e dx x f e t EX 0 0 0 )1(111)()(??? -----==?== [] 0 t 11 >-= -tT e Tt [][][ ] )(21212121)()(),(t t X Xt Xt X e E e e E t X t X E t t R +---=== ( ) ? +-+--+= = T t t T X t t x e t t T dx x f e 0 )(21)(21211) (1 )( 6．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(在每一时刻t 的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t 有 {}p t X P ==1)( {}p t X P -==10)( 其中0 解：一维分布 {}p t x P ==1)( {}p t x P -==10)( 二维分布： {}2211)(,1)(p t X t X P === {})1(0)(,1)(21p p t X t X p -=== {}p p t X t X p )1(1)(,0)(21-=== {}2 21)1(0)(,0)(p t X t X p -=== X (t )的数字期望 {}{}p t X p t X p t EX t m X ==?+=?==0)(01)(1)()( 随机过程X (t )的自相关函数为 []{}+==?==1)(,1)(1)()(),(212121t X t X p t X t X E t t R X (){}101=?t X P 且0)(2=t X ；0)(1=t X 且1)(2=t X ；0)(1=t X 且}0)(2=t X {} {}2 211)( 1)(p t X P t X P ==?== 7．设{}1,≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为 J=1，2，… 定义∑== n j j n X Y 1 。试对随机序列{ }1,≥n Y n 求 （1）Y 1的概率分布列；（2）Y 2的概率分布列；（3）Y n 的数字期望； （4）Y n 的相关函数R Y （n, m ）。 解：（1）∵ Y 1=X 1 故概率分布则为{}{}2 11 21 111=-===Y P Y P （2）∵ 212X X Y += 2Y 可能的取值为0或2，-2 {}{}{}{}1,11,1002121212=-=+-====+==X X P X X P X X P Y P ={}{}{}{}2 1 414111112121=+==-=+-==X P X P X P X P {}{}{}4 11,12221212= ====+==X X P X X P Y P {}{}{}4 11,12221212=-=-==-=+=-=X X P X X P Y P （3）∑== n j j n X Y 1 的数字期望为 ∑∑∑====??? ??-+?==???? ??=n j n j j n j j n EX X E EY 1 11021)1(211 （4）自样关函数 []?? ????==∑∑==m k k m j j Y X X E n Y m Y E n m R 11)()(),( 当m ≥n 时 ??? ? ????+ ???? ??=???????????? ??+ =∑∑∑∑∑∑=+===+==n k k m n j j n j j n k k m n j j n j j Y X X X E X X X E n m R 1 12 1111 ),( ??? ??????????+??????=∑∑∑=+==n k k m n j j n j j X E X E X E 1 12 1 []n n n n n m n j j n DY EY DY EY Y E X E EY =+==??? ????+=∑+=2 212)( ∵ ∑∑===???? ??=n j j n j j n DX X D DY 1 1 （j X 相互独立） ()[] ∑=-= n j j j EX X E 1 2 2 )( ∵ 02 1)1(211=?-+? =j EX 1)(2 =j X E ∴ []∑==-= n j n n DY 1 01 ∴ 当m ≥n 时 n DY n m R n Y ==),( 8．设随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(的数字期望为)(t m X 协方差为),(21t t C X ，而)(t ?是一个函数。试求随机过程)()()(t t X t Y ?+=的数字期望和协方差函数。 解：随机过程)(t Y 的数字期望为 [])()()()()()()()()(t Y t t m t E t EX t t X E t EY t m X Y ???+=+=+==的协方差函数 为 [][][])()()()(),(212121t Y E t Y E t Y t Y E t t C Y -= 而 []()()[])()()()()()(221121t t X t t X E t Y t Y E ??++= ()[])()()()()()()()(21211221t t t X t t X t t X t X E ????+++= [])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X t X E ????+++= [][]()())()()()()()(221121t t EX t t EX t Y E t Y E ??++= [][])()()()()()()()(21211221t t t EX t t EX t t X E t X E ????++++= ∴ []),()()()()(),(21212121t t C t EX t EX t X t X E t t Cov X Y =-= 思考：有没有更为简单的方法呢？ 9．给定随机过程{}+∞<<-∞t t X ),(，对于任意一个数x ，定义另一个随机过程 ?? ?>≤=x t X x t X t Y )(0)(,1)( 试证：)(t Y 的数字期望和相关函数分别为随机过程)(t X 的一维和二维分布函数。 证明：设)(t X 的一维和二维概率密度分加别为),(1t x f 和),;,(21212t t x x f 则 []? ?? +∞ ∞ -∞ -+∞ +===x x Y dt t x f t y dx t x f t y dx t x f t y t Y E t E ),()(),()(),()()()(111 ),(),(11t x F dt t x f x == ? ∞ - ? ? +∞∞-+∞∞ -==2121222212121),;,())()((),(dx dx t t x x f y y t Y t Y E t t R Y ?? ∞-∞ -== 12 ),,,(),;,(21212121212x x t t x x F dx dx t t x x f 若考虑到对任意的)(,t Y T t ∈是离散型随机变量，则有： []{}{}0)(01)(1)()(=?+=?==t Y P t Y P t Y E t E Y {}),()(1t x F x t X P =≤= []{}1)(,1)(11)()(),(212121==??==t Y t Y P t Y t Y E t t R Y { }0)(,1)(0121==??+t Y t Y P { }1)(,0)(0121==??+t Y t Y P { }0)(,0)(0021==??+t Y t Y P {}),;,()(,)(212122211t t x x F x t X x t X P =≤≤= 10．给定一个随机过程)(t X 和常数a ，试用)(t X 的相关函数表示随机过程 )()()(t X a t X t Y -+=的相关函数。 解：根据定义 [][][]{})()()()()()(),(22112121t X a t X t X a t X E t Y t Y E t t R Y -+-+== [])()()()()()()()(21212121t X t X a t X t X t X a t X a t X a t X E ++-+-++= ),(),(),(),(21212121t t R a t t R t a t R a t a t R X X X X ++-+-++= 11．设随机过程 +∞<<-∞Φ+=t t A t X ),cos()(0ω，其中0ω是正常数，A 和Ф是相互独立的随机变量，且A 服从在区间[0，1]上的均匀分布，而Φ服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求)(t X 的数字期望和相关函数。 解：?π ?ωπ dad t a t EX t m X ?? ? ?+= =1 0 2 0 021 1)cos( )()( 0)sin(21 21)cos( 21 20 1 2 0 00=+?=+= ? ? π π ?ωπ??ωπ t d t ada [][] )cos()cos()()(),(201022121Φ+Φ+==t t A E t X t X E t t R X ωω ??? ++= 1 0 2 0 2010221 1)cos()cos(π ?π ?ω?ωdad t t a ??++=1 0 2 0 20102 21)cos()cos(ππ? ?ω?ωd t t da a (){}??-+++=ππ ?ω?ω2 0 21021021 )(cos 2)(cos 61d t t t t )(cos 61 21)(cos 0612102 0210t t d t t -=???? ??-+=?ωπ?ωπ 12．设随机过程+∞<<-∞=t t t X , cos )(ω，其中ω在区间?? ? ?? ?+?-21,2100ωω中均匀分布的随机变量。试求)(t X 的数字期望和协方差函数。 解：∵ ω是区间?? ? ?? ?+?-21,2100ωω上均匀分布的随机变量，于是ω的概率密度为 ??? ??? ?? ? ? ?+?-∈? = 21,211 )(00其它ωωωx x f 因此)(t X 的数字期望为： ? ? +? -?? ===21 2 1 00cos 1 ][cos )()(ωωωωωtd t E t EX t m X ∴当0≠t 时 ?? ? ????--?+?=? -? +??=t x t t t t t m X )2sin()21sin(12 121 sin 11)(0000ωωωω t t t t t t 00cos )2 1 sin(2)21sin(cos 21ωω??=??= 1cos )( 00===ωt X t 时当 1)(=∴t EX 求其协方差函数： [])()()()(),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-= [][]?? ? ???-++==)(cos )(cos 21cos cos )()(21212121t t t t E t t E t X t X E ωωωωΘ ][?? ? ???-++= ))((cos 21))(cos(212121t t E t t E ωω ???+?-?+?--? ++?=21 2121 2121210000)(cos 1 21)(cos 121ωωωωωωωωd t t d t t ∴当021≠+t t 且021≠-t t 时 []2100212112 121 )(sin 121)()(t t t t t X t X E +? -? ++? ?=ωωω 21002112 121 )(sin 121t t t t -? -? +-? ?+ωωω )(cos )(21sin )(12102121t t t t t t +??? ???+??+= ω )(cos )(21sin )(12102121t t t t t t -?? ? ???-??-+ =ω ∴ 当021≠+t t 且021≠-t t 时 ) (cos )(2sin )(1),(210212121t t t t t t t t C X +??? ???+?+?= ω )(cos )(2sin )(12102121t t t t t t -?? ? ???-?-?+ ω 20221011cos )2 sin(2cos )2sin(2t t t t t t ωω?????- 当021≠+t t 但021=-t t 即t t t ==21时 ()[] 22))(();(t EX t X E t t C X -= 类上当0≠t 时 2 0cos )2sin(22cos sin 2121),(?? ? ?????-??+=t t t t t t t C o X ωω 当021==t t 时 0)0,0(=X C 当021≠=-=t t t 时 2 00cos 2sin 22cos sin 2121),(?? ? ?????-??+=-t t t t t t t t C X ωω 13．设随机过程X t X =)(（随机变量），向a EX =，2 σ=X D ，试求()t X x E 的数 字期望和协方差。 解：a EX t EX ==)( []222212121)()()()()(),(σ==-=?-=DX EX EX t EX t EX t X t X E t t C X 14．设随机过程∞<<-∞+=t Yt X t X ,)(，向随机矢量τ ),(y x 的协方差阵为 ? ? ? ???2221σγγσ，试求)(t X 的协方程函数。 解：[])()()()(),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-=Θ 而 212 122 2121))(()()(t t Y XYt XYt X Yt X Yt X t X t X +++=++= ][)()( 21211221t t Y XYt XYt X E t X t EX +++=∴ ) ()(212212XY E t t EY t t EX +++=))(()()(2121EY t EX EY t EX Yt X E Yt X E ++=+?+= 221122)()(EY t t EY EX t EY EX t EX +?+?+= 221212)()()(EY t t EY EX t t EX +?++= ])()[( ])([])([),( 2121222221EXEY XY E t t t t EY EY EX EX t t C X -++-+-=∴ ),()(2121Y X CoV t t DY t t DX +++= γσσ)(212 22121t t t t +++= 15．设随机过程,,)(2 ∞<<-∞++=t Zt Yt X t X 其中X ，Y,只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求)(t X 的协方差函数。 解：)()()]()([),(212121t EX t EX t X t X E t t C X ?-= 22)( EX EX DX -=Θ 22)(EY EY DY -= 22)(EZ EZ DZ -= 1 222===∴EZ EY EX ))(()()(2 2221121Zt Yt X Zt Yt X t X t X ++++= 2 2 2122212122121212222t t Z t YZt XZt t YZt t t Y XYt XZt XYt X ++++++++= 2 221212 22212212211)]()([t t t t EZ t t EY t t EX t X t X E ++=++=∴ 0)()(21=++=Zt Yt X E t EX 0)(2=t EX 2 221212121211)()()]()([),( t t t t t EX t EX t X t X E t t C X ++=?-=∴ 16．设随机过程)(t X 的导数存在，试证t t X t t t R dt t dX t X E =?=????? ? 1 1 21) ,(2)()( 证明：t t X t t X m i l dt t dX t ?-?+=→?) ()(..)(0 Θ t t X t X t t X m i l t t X t t X m i l t X dt t dX t X t t ?-?+=?-?+=∴→?→?) ()()(..)()(..)()()( 20 0 t t t R t t t R t t X t X t t X m i l E dt t dX t X E X X t t ?-?+=?? ?????-?+=?????? ∴→?→?),(),(lim )()()(..)()( 0 20 t t X t t R t =?? = 1 ),(11 证毕 17．设Y X ,是相互独立分别服从正态分布),0(2 σN 的随机变量，作随机过程 Y Xt t X +=)(。试求下则随机变量的数学期望。 ?=10 1)(dt t X Z ?=1 22)(dt t X Z 解：? ?+= +== 1 1 12 1 )()(Y X dt Y Xt dt t X Z Θ 02 1 21 1=+=??????+=∴EY EX Y X E EZ ???++=+==1 1 1 2222 2 2)2()()( dt Y XYt t X dt Y Xt dt t X Z Θ 22 31Y XY X ++= ])([])([31 )(31 22222EY DY EY EX EX DX EY XY E EX EZ ++?++=++=∴ 22 23 431σσσ=+= 18．试证明均方导数的下列性质。 （1）dt t dEX dt t dX E ) ()(=?? ?? ?? 证明：t t EX t t EX t t X t t X E dt t dX E ?-?+=?? ?????-?+=???? ??→→)()(lim )()(l.i.m )(0 t Δ0 t Δ dt t dEX ) (= （2）若a ,b 为常数，则)()(])()([' ' t bY t aX t bY t aX +='+ 证明：t t bX t aX t t bY t t aX t bY t aX ?--?++?+=+→) ()()()(l.i.m )]()([0 t Δ )()() ()(l.i.m )()(l.i.m ''0 t Δ0 t Δt bY t aX t t Y t t Y b t t X t t X a +=?-?++?-?+=→→ （3）若)(t f 为可微函数，则)()()()(])()([' t X t f t X t f t X t f +'=' 证明：定义范数：2EX X =，易证Y X Y X +≤+ 又)()()()() ()()()('t X t f t X t f t t X t f t t X t t f -'-?-?+?+Θ ) ()()()()()()()()()()()('t X t f t X t f t t X t f t t X t f t t X t f t t X t t f -'-?-?++?+-?+?+= )()()()() ()()()()()('t X t f t X t f t t X t t X t f t t X t t f t t f -'-?-?++?+?-?+= [] )()()()()()()()()()()()('t X t t X t f t X t t X t t X t f t t X t f t t X t t f t t f -?+'+?? ? ???-?-?++???????+'-?+?-?+= ) () ()()()()()()()()()( 't f t t f t t f t X t f t X t f t t X t f t t X t t f '-?-?+≤-'-?-?+?+∴ 0)()( )()() ()()()('→-?+'+-?-?+? +?+t X t t X t f t X t t X t t X t f t t X 19．试证明均方极限的下列性质。 （1）??=?????? b a b a dt t EX t f dt t X t f E )()()()( 证明：?? ?????=??????∑?=→n k k k k b a t t X t f E dt t X t f E 1**0 t Δ)()(l.i.m )()(Θ ∑∑ ?==→→=?=?=n n b a k k k k k k dt t EX t f t t EX t f t t X t f E 1 11 1**0 t Δ** t Δ)()()()(lim )]()([lim （2）若βα,是常数，则 ??? +=+b a b a b a dt t Y dt t X d dt t Y t X )()()]( )( [ββα 证明：? ∑=→?+=+b a n k k k k t t Y t X dt t Y t X 1 * *0 Δ)]()( [l.i.m )]()( [βαβαΘ ∑∑==→→?+?=n k n k k k k k t t Y t t X 1 1 * Δ* Δ)(l.i.m )(l.i.m βα =? ?+b a b a dt t Y dt t X )()(βα 20．设{}b t a t X ≤≤),(是均方可导的随机过程，试证 )()()()(l.i.m 000 t t X t g t X t g =→ 这里)(t g 是区间],[b a 上的连续函数 证明：只要证0) ()()()(lim 2 000 t =-→t X t g t X t g E 由于 )()()()()()()()()()()()(000000t X t g t X t g t X t g t X t g t X t g t X t g -+-=- )()]()([)]()()[(000t X t g t g t X t X t g -+-= ))()()((2)()]()([)]()()[()()()()(002202022 00t g t g t g t X t g t g t X t X t g t X t g t X t g -+-+-=-∴)()]()([00t X t X t X ?- 2 02200)()()()()()()( t X t X E t g t X t g t X t g E -≤-∴ )) ()()((2)()]()([00220t g t g t g t EX t g t g -+-+)()()(022 0t EX t X t X E ?- 0)()(lim 2 0t t 0 =-→t X t X E Θ )()(lim 0t t 0 t g t g =→ 0)()()()(lim 2 00t t 0 =-∴→t X t g t X t g E 即 )()()()(l.i.m 00t t 0 t x t g t x t g =→ [证毕] 随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(； （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2最新随机过程考试试题及答案详解1
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