(完整)北师大数学七年级上册第四章《基本平面图形》全章复习与巩固(提高)

《基本平面图形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；

2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算；

3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；

4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、线段、射线、直线

1.直线，射线与线段的区别与联系

2.基本性质

(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释：

①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.

3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：

4.线段的比较与运算 （1）线段的比较：

比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，有AB+BC=AC ，或AC=a+b ；AD=AB-BD 。

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：1

2

AM MB AB ==

C

b

a M

B

A

要点诠释：

①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段AB 上，且有1

2

AM AB =

，则点M 为线段AB 的中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点.

P

N

AB PB NP MN AM 4

1

=

=== 要点二、角 1.角的度量

（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

要点诠释：

①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；

②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算

1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释：

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.

（4）角的分类： ∠β 锐角 直角

钝角

平角 周角 范围

0＜∠β＜90°

∠β=90° 90°＜∠β<180°

∠β=180°

∠β=360°

（5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2.角的比较与运算

（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：

如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=1

2

∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

3.方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

要点三、多边形和圆的初步认识

1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：

要点诠释：

（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为

(3)

2

n n

．

（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．

2. 圆及扇形：

（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A

所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

（2）扇形：由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形.如下图：

要点诠释： 扇形OAB 的面积公式：；扇形OAB 的弧长公式：180

n R

l π=

.【典型例题】

类型一、线段、射线、直线

1.下列判断错误的有( )

①延长射线OA ；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA ＝PB ，则点P 是线段AB 的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D

【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA ＝PB ，只有当点P 在线段AB 上时，才是线段AB 的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．

【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别． 举一反三：

【变式】平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点． 【答案】10， 0． 类型二、角

2.（2016春?南充校级期中）如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=∠COE，∠DOE=72°．则∠COE的度数是．

【思路点拨】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．

【答案】72°．

【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，

则∠BOD=（180°﹣3x），

则∠BOE+∠BOD=∠DOE，

即x+（180°﹣3x）=72°，

解得x=36°，

故∠EOC=2x=72°．

故答案为：72°．

【总结升华】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．

举一反三：

【变式】（2014?陆川县校级模拟）在同一平面内，若∠AOB=90°，∠BOC=40°，则∠AOB的平分线与∠BOC的平分线的夹角等于．

【答案】25°或65°．

解：本题分两种情况讨论：

（1）当OC在三角形内部时，如图1，

∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，

∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BO C=×40°=20°，

∴∠DOE=∠DOB﹣∠EOB=45°﹣20°=25°；

（2）当OC在三角形外部时，如图2，

∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，

∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，

∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°，

故答案为：25°或65°．

3.（2015?深圳校级模拟）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（）

A．70° B．20° C．35° D．110°

【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可．

【答案】A

【解析】解：如图，连接AB，

∵两正北方向平行，

∴∠CAB+∠CBA=180°﹣45°﹣25°=110°，

∴∠ACB=180°﹣110°=70°．

【总结升华】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质．

举一反三：

【变式】考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA、OB，并计算∠AOB的度数．

【答案】

解：如图(2)，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA；以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°．

4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．

【答案与解析】

解：设时针转过的度数为x时，与分针第一次重合，依题意有

12x＝90+x

解得

90

11 x=

答：时针转过

90

11

??

?

??

°时，与分针第一次重合．

【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决．

类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算

1.方程的思想方法

5. 如图所示，B、C是线段AD上的两点，且

3

2

CD AB

=，AC＝35cm，BD＝44cm，求

线段AD的长．

【答案与解析】

解：设AB ＝x cm ，则3

cm 2CD x =

(35)cm BC x =-或3

(44)cm 2x -

于是列方程，得3

35442

x x -=-

解得：x ＝18，即AB ＝18(cm) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm)

33

182722

CD x =

=?=(cm) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm)

【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法

6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝

59DB ，AC ＝9

5

CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．

【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝

59DB ，AC ＝9

5

CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：

（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：

∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y

∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm)． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得8

7

AB =

(cm)．

（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得112

53

AB =

(cm)．

（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得

112

53

AB

(cm)．

综上可得：AB 的长为14cm ，

8

7

cm ，11253 cm ．

【总结升华】解决没有图形的题目时，

一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决

的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．

类型四、多边形和圆

7.（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，?将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．

E

C

B O

(a) (b) 【答案与解析】 解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD?分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ．

∵四边形ABCD 是正方形

∴OA ＝OD ，∠AOD ＝90°，∠MAO ＝∠NDO ＝45°， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON. ∴△AMO 与△DNO 形状完全相同.

∴AM＝DN

∴AM+AN＝DN+AN＝AD＝a

（2）360

120

3

?

?

=，所以当扇形纸板的圆心角为120°时，正三角形边被纸板覆盖部分的总

长度为定值a；同理可得，当扇形纸板的圆心角为72°时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

【总结升华】一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心

O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为360

n

?

时，正n边形的边被纸板覆盖

部分的总长度为定值a.

【巩固练习】

一、选择题

1.下面说法错误的是( ) ．

A.M是线段AB的中点，则AB＝2AM

B.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段

C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

D.同角的补角相等

2.从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是( ) ．

A. 4个

B. 5个

C. 7个

D. 10个

3.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（）．

A．15°的角 B．135°的角C．145°的角 D．150°的角

4．（2015?河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）

A． B．

C． D．

5.（2016?花都区一模）已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（）

A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm

6. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（）．

A.12

B.16

C.20

D.以上都不对

7．一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B从开始至结束走过的路径长度为（）．

Ａ．3π

2

Ｂ．

4π

3

Ｃ．4Ｄ．

3

2

2

+π

8．如图，扇形OAB 的圆心角为90o

，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）．

Ａ．P Q =

Ｂ．P Q >

Ｃ．P Q <

Ｄ．无法确定

二、填空题 9．（2015秋?栾城县期中）把34.27°用度、分、秒表示，应为 °

′ ″． 10．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．

11．已知圆的面积为2

81cm π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．

12．平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有

_______条． 13.如图，点B 、O 、C 在同一条直线上，∠AOB ＝90°，∠AOE ＝∠BOD ，下列结论： ①∠EOD ＝90°；②∠COE ＝∠AOD ；③∠COE ＝∠BOD ；④∠COE+∠BOD ＝90°. 其中正确的是 .

14.如图，∠AOB 是钝角，OC 、OD 、OE 是三条射线，若OC ⊥OA ，OD 平分∠AOB,OE 平分∠BOC ，那么∠DOE 的度数是 ．

Ｑ Ｏ

Ａ Ｐ Ｃ Ｂ

15. 如图所示，实线部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过

另一个圆的圆心，则游泳池的周长为

．

16.一根绳子弯曲成如下图1所示的形状.当用剪刀像下图2那样沿虚线a

把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像下图3那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪（n －1）次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是 ．

三、解答题

17．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？

18.

19.（2016春?龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，

图1图2图3……a a b

（1）求∠MON的度数；

（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从上面结果中看出有什么规律？

20．（2015秋?栾城县期中）如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．

（1）若AC=8，CB=6，求线段MN的长；

（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长；

（3）若点C为线段AB延长线上任意一点，且满足AC﹣CB=b，求线段MN的长．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

2.【答案】D；

+++=(个) ．

【解析】432110

3.【答案】C；

【解析】用三角板能画出的角应该是15的倍数，因为145°不是15的倍数，所以选B．

4.【答案】D．

5.【答案】B；

【解析】解：如图1

，

由M是AB的中点，N是BC的中点，得

MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，

由线段的和差，得

MN=MB+BN=4+1=5cm；

如图2

，

由M是AB的中点，N是BC的中点，得

MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，

由线段的和差，得

MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm；

故选：B．

6.【答案】B ；

【解析】①6条直线相交于一点时交点最少，所以1m =；

②6条直线任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，又因为任意三条直线不

过同一点，∴ 此时交点为：12345615n =+++++=． 7.【答案】B ； 【解析】点B 从开始至结束走过的路径是两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长之和． 8.【答案】A ；

【解析】P ＝S 扇OAB －S 圆＋Q ，即P －Q ＝S 扇OAB －S 圆＝

2211

()042

ππR R -=，所以P ＝Q ． 二、填空题

9.【答案】34°16′12″． 10.【答案】60度或180 ．

【解析】分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论． 11.【答案】60°；

【解析】根据圆的面积求出半径，再根据弧长求扇形的圆心角． 12.【答案】12；

【解析】每个点都可以作3条射线，共有4个点，所以3×4＝12条射线． 13.【答案】①②④； 14.【答案】45°；

【解析】设∠BOC ＝x ，则∠DOE ＝∠BOD －∠BOE ＝

1

(902)452

x x ??+-=． 15.【答案】24πm ；

【解析】如下图，可得每个圆中虚线部分弧所对的圆心角为120°，利用弧长公式即得答案．

16.【答案】4n ＋1． 三、解答题 17．【解析】

解：设经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分． 6x-360（x-1）＝360（x-1）-0.5x ，

解得：x ＝1440

1427（分）． 答：经过1440

1427

分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分．

18．【解析】

19．【解析】

解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=60°，∠CON=15°

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，

∴∠BOC=α+30°

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=+15°，∠CON=15°

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．

（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，

∴∠BOC=90°+β

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=45°+，∠CON=．

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．

（4）从上面的结果中，发现：

∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．

20.【解析】

解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MC=AC，CN=CB，

∴MN=MC+CN，

=（ AC+CB）

=（8+6）

=7；

（2）∵若M、N分别是线段AC、BC的中点，

∴AM=MC，CN=BN，

AM+CM+CN+NB=a，

2（CM+CN）=a，

CM+CN=，

∴MN=a；

（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MC=AC，NC=BC，

∴MN=MC﹣NC

=（AC﹣BC）

=b．