4—简单的线性规划、基本不等式

4—简单的线性规划、基本不等式

知识块一：求目标函数的最值

归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数.

角度一：求线性目标函数的最值

1．设x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.

2．若x ，y 满足????

?

y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，

则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________.

解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.

!

答案：1

角度二：求非线性目标的最值

3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜

率的最小值为( )

A ．2

B ．1

C ．－1

3

D ．－12

解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1

3.

4．设实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )

A ．[1,2]

B ．[1,4]

C ．[2，2]

D ．[2,4]

解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．

》

角度三：求线性规划中的参数

5．若x ，y 满足????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )

A ．2

B ．－2

D ．－1

2 解析：选D 作出线性约束条件????

?

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为

y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．

当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ???

?－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直

线z ＝y －x 经过点B ????－2k ，0时，有最小值，即－???

?－2k ＝－4?k ＝－12.故选D.

6．x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )

或－1 B ．2或1

2 C ．2或1

D ．2或－1

解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.

？

法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.

一、选择题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)

C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.

2．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件?

????

x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP 的最大值

为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

~

解析：选D 如图作可行域，

z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.

3．设动点P (x ，y )在区域Ω：????

?

x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段

AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的

圆的面积的最大值S ＝π×???

?422＝4π，故选D.

4．变量x ，y 满足约束条件????

?

y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a

的取值集合是( )

A ．{－3,0}

B ．{3，－1}

C ．{0,1}

D ．{－3,0,1}

解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．

~

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.故选B.

5．设x ，y 满足约束条件?

????

x ＋y ≥a ，

x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )

A ．－5

B ．3

C ．－5或3

D ．5或－3

解析：选B 法一：联立方程?

??

??

x ＋y ＝a ，

x －y ＝－1，解得?????

x ＝a －1

2，y ＝a ＋1

2，

代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，

当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.

法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．

当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

图(1)

由?

????

x －y ＝－1，

x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．

￥

z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．

当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．

图(2)

由?

????

x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．

答案：4

6．设D 为不等式组????

?

x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为

________．

解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1

＝255，故最小距离为25

5. 答案：25

5

7．设x ，y 满足约束条件???

??

x ≥0，y ≥0，

x 3a ＋y 4a ≤1，

若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1

的最小值为3

2，则a 的值为________．

—

解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1

x ＋1，

而

y ＋1

x ＋1

表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，

∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即? ??

??

y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝

13a ＋1＝1

4?a ＝1. 答案：1

8．若x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.

(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1

2的最值；

(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋1

2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.

所以z 的最大值为1，最小值为－2.

;

(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a

2＜2，解得－4＜a ＜

2.

故所求a 的取值范围为(－4,2)．

知识块二：基本不等式 考点一 利用基本不等式证明不等式

1．基本不等式ab ≤a ＋b

2，成立的条件：一正、二定、三相等

2．几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤???

?a ＋b 22(a ，b ∈R )．

(4)a 2＋b 22≥???

?a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

[典题例析]

设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ，b ，c 都是正数，

~

∴bc a ，ca b ，ab

c 都是正数．

∴bc a ＋ca

b ≥2

c ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ca b ＋ab

c ≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bc

a ≥2

b ，当且仅当a ＝

c 时等号成立．

三式相加，得2???

?bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．

[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加

上一个数，“1”的代换法等．

[演练冲关]

^

设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1

b 2＋ab ≥2 2. 证明：由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥2

1a 2·1b 2＝2ab ，

当且仅当1a 2＝1

b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2

ab ＋ab ≥2

2

ab ·

ab ＝22， 当且仅当2

ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2

ab ＋ab ≥22，

当且仅当???

1a 2

＝1

b 2

，

2

ab ＝ab ，

即a ＝b ＝4

2时取等号．

考点二 利用基本不等式求最值

已知x >0，y >0，则：

…

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4.(简记：和定积最大)

[一题多变]

[典型母题]

(

[题点发散1] 本例的条件不变，则????1＋1a ???

?1＋1b 的最小值为________．

解析：????1＋1a ????1＋1b ＝????1＋a ＋b a ?

???1＋a ＋b b ＝????2＋b a ·????2＋a b ＝5＋2????b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．

答案：9

[题点发散2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1

b ＝4，则a ＋b 的最小值为________． 解析：由1a ＋1b ＝4，得14a ＋1

4b ＝1.

∴a ＋b ＝????14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2

b 4a ＋a

4b ＝1.

当且仅当a ＝b ＝1

2时取等号． 答案：1

[题点发散3] 若本例条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1

b 的最小值为________．

·

解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋2

3b ＝1， ∴2a ＋1b ＝????13a ＋23b ???

?2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a

≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．

答案：83

[题点发散4] 本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c 的最小值为________．

解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，

∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋????b a ＋a b ＋????c a ＋a c ＋????c b ＋b c ≥3＋

2＋2＋2＝9.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，取等号． 答案：9

[题点发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4

n 的最小值为________．

|

解析：设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5?a 5q 2＝a 5q ＋2a 5?q 2－q －2＝0(q ＞0)?q ＝2.

a m ·a n ＝22a 1?a 12m －1·a 12n －1＝8a 21

?2m －1·2n －1＝8?m ＋n －2＝3?m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15???

?1m ＋4n (m ＋

n )＝15???

?5＋????n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝10

3时等号成立． 答案：95

考点三 基本不等式的实际应用

[典题例析]

某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k

m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已

知2014年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，

/

∴1＝3－k ?k ＝2，∴x ＝3－2

m ＋1，

每件产品的销售价格为×8＋16x

x (元)， ∴2014年的利润y ＝×8＋16x

x －8－16x －m ＝－????16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，

∴y ≤－8＋29＝21，

当且仅当16

m ＋1

＝m ＋1?m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．

故该厂家2014年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 1．已知f (x )＝x ＋1

x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( ) A ．最大值为0

B ．最小值为0

C ．最大值为－4

D ．最小值为－4

》

解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－

?

???－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝

－1时取等号．

2．已知不等式(x ＋y )???

?1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选B (x ＋y )????1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4.

3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2

解析：选B ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤

lg a ＋lg b 2

4

＝lg ab 2

4

＝1.

当且仅当a ＝b ＝10时取等号．

4．设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC ＝(－b,0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1

b 的最小值是( ) A ．4 C ．8 D ．9 :

解析：选D ∵AB ＝OB －OA ＝(a －1,1)， AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，

若A ，B ，C 三点共线， 则有AB ∥AC ，

∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0， ∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋1b ＝???

?2a ＋1b ·(2a ＋b )

＝5＋2b a ＋2a

b ≥5＋2 2b a ×2a

b ＝9，

当且仅当?????

2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，

即a ＝b ＝1

3时等号成立．故选D.

￥

5．函数y ＝x 2＋2

x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2 B ．23－2C ．2 3 D ．2

解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.

∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1

＝

x －1

2＋2

x －1＋3x －1＝x －1＋3

x －1

＋2

≥2

x －1???

?3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3

x －1

，即x ＝1＋3时，取等号．

6．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．

解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.

答案：20

7．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1

≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．

%

解析：因为x ＞1，所以x －1＞0.又x ＋1x －1＝x －1＋1

x －1

＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，

所以a 的最大值为3.

答案：3

8．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2

y ＝1， 又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy

， 得xy ≥64，

当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y ＝1，

则x ＋y ＝???

?8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x

≥10＋2

2x y ·8y

x ＝18.

当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.