第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程

一、单项选择题

1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）

A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶

2．微分方程222y x dx

dy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程

3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）

A.0'2)'(2=+-x yy y x

B.0'2=-+x yy xy

C.0'2=+y x xy

D.0)()67(=++-dy y x dx y x

4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）

A.x x x y +=ln

B.Cx x x y +=ln

C.x x x y +=ln 2

D.Cx x x y +=ln 2

5．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）

A ．2x y =

B ． c x y +=2

C ． 2cx y =

D ．0=y

6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ a ）

A.x y =

B. c x y +=

C.cx y =

D.0=y

8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）

A 一阶微分方程

B 二阶微分方程

C 可分离变量的微分方程

D 一阶线性微分方程

9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）

A ．2x y e C =+

B ． x y Ce =

C ． 2x y Ce =

D ．22x y Ce =

二、填空题

1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；

2．微分方程0=+y dx

dy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；

4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x y

e C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --???=+?

； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

三、判断题

1．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× ) 2. sin y y '=是一阶线性微分方程。( × ) 3. 221dy x y xy dx

=+++是可分离变量的微分方程。( √ ) 4．函数2x y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解。( × )

线性系统的时域分析法(第七讲)

第三章线性系统的时域分析法 3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ）速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程

常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案一填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-??? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二单项选择: 1 方程y x dx dy +=-31 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

高等数学第七章微分方程试题及复习资料

第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题：设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0，即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ，由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。证要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

7常微分方程数值解法

第7章常微分方程数值解法 7.0 基本概念 1. 一阶常微分方程的初值问题 ???=∈='0)(),()),(,()(y a y b a x x y x f x y (7.0-1) 注：若f 在D = {a x b , |y |<+}连续，且满足Lip 条件： L 0，使|f (x – y 1) – f (x ，y 2)| L |y 1 – y 2| (7.0-2) 则(7.0-1)的连续可微解y (x )在[a ，b ]上唯一存在。 2. 初值问题的数值解称(7.0-1)的解y (x )在节点x i 处的近似值 y i y (x i ) a < x 1

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

常微分方程练习题

常微分方程练习题 §1 一阶常微分方程 1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）x y x y y x tan =-'；（5）2122??? ? ??-++='y x y y ；（6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 1 22-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）x y y y y y -+='ln 2；（14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1 41 2；（16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；

（18）212 22sin 22sin 1x e y x y y x ++='+；（19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。 2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，6 1π==x y ；（3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0) ()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ；（5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。 3. 试确定具有连续导数的一元函数?，它满足2)0(-=?，使得 0)(]tan )(2[sin =+-dy x ydx x x x ?? 是全微分方程，并求此全微分方程的通解。 4．试确定在),0(∞+具有连续导数的一元函数?，它满足 ?+=?? ? ??-x x dt t t t t 121)()(ln )(???。 5．有一曲线)(x f y =（0)(>x f ），它通过)1,1(点，且该曲线在],1[x 上所形成的曲边梯形的面积等于22-y x ，其中)(x f y =。求)(x f 。 6．设),(y x u 具有二阶连续导数，且不恒等于0。证明)()(),(y g x f y x u =的充要条件为y u x u y x u u ????=???2。

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法

实验报告七常微分方程初值问题的数值解法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

浙江大学城市学院实验报告课程名称数值计算方法实验项目名称常微分方程初值问题的数值解法实验成绩指导老师（签名）日期 2015/12/16 一. 实验目的和要求 1．用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2．通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。二. 实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下：在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。 Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) 改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) 2-2 分析应用题假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20(0)10y t y t y '=-??=? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为：

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

第七章微分方程

第七章微分方程教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3)

华中师范大学职业与继续教育学院《常微分方程》练习题库及答案

华中师范大学职业与继续教育学院《常微分方程》练习题库及答案一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（） A. 221x x ++ B. 2 3x + C. 245x x ++ D. 23x x ++ 难易程度：易；考查章节：第1课时；答题时长：30秒 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的（） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射难易程度：易；考查章节：第1课时；答题时长：30秒 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 难易程度：较难；考查章节：第20课时；答题时长：90秒 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( )。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个难易程度：较难；考查章节：第34课时；答题时长：60秒 5. 剩余类环Z 10的子环有( )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个难易程度：难；考查章节：第35课时；答题时长：2分钟 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 难易程度：易；考查章节：第14课时；答题时长：1分钟 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立难易程度：较难；考查章节：第12、13、14课时；答题时长：1.5分钟 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群难易程度：易；考查章节：第17课时；答题时长：1分钟 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

实验报告七常微分方程初值问答的数值解法

2-2 分析应用题假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题 ()()20 (0)10y t y t y '=-?? =? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。 2-3 分析应用题用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 201 (0)1 y y x x y '=+≤≤?? =? 画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法； 2-4 分析应用题考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为：

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy +2x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2 e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =2 1y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝222y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0

(2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =2 2y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37

华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库及参考答案

华中师范大学网络教育学院《常微分方程》练习测试题库及参考答案一、判断说明题 1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。 2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x ?0 x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x ? x p(x))＞0。如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。 3、（1）它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。（2）它是常微分方程，理由同上。（3）它不是常微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。 4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 6、 y ` ＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。 7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。 8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q ≠0则 dx dy ＝－y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故 y ` ＝f(x,y)为齐次方程。 9、求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得 dx dy =x dx dz ＋z 10 、

第七章：常微分方程

高等数学复习题第七章：常微分方程一、选择题（本题20分，每小题2分）（1）下列微分方程中，给出通解的选项是（）. A. x y y '= ，y x = B. x y y '=，222x y C -= C. x y y '=- ，C y x = D. x y y '=-，222 x y C += （2）函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是方程0y y ''+=的（）. A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解（3）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （4）下列微分方程中，可分离变量的方程是（）. A. dy xy x dx =+ B. sin xy dy y e x dx = C. 2dy xy x dx =+ D. 22dy y x dx =+ （5）给定一阶微分方程2dy x dx =，下列结果正确的是（）. A. 通解为2 y Cx = B. 通过点(1,4)的特解为2 15y x =- C. 满足 1 2ydx =?的解为2 53 y x =+ D. 与直线23y x =+相切的解为2 1y x =+ （6）设()y f x =是微分方程sin x y y e '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（）. A. 取极小值 B. 取极大值 C. 不取极值 D. 取最大值（7）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （8）函数()y y x =的图形上点(0,2)-的切线为236x y -=，且该函数满足微分方程 6y x ''=，则此函数为（）. A. 2 2y x =- B. 2 32y x =+ C. 3 33260y x x --+= D. 323 y x x =+ （9）若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0 y P x y Q x y '''++=的两个特解，则

《常微分方程》考试试卷(A卷)

《常微分方程》考试试卷（A 卷）班别：学号：姓名：成绩：一、填空题（每空2分，共30分） 1、形如的方程，称为齐次方程；齐次方程1dy y dx x =+的通解为：。 2、形如的方程，称为变量分离方程；方程 2dy xy dx =满足初始条件：0x =，1y =的特解为：。 3、设(,)M x y ， (,)N x y 在某区域内是x ，y 连续函数，且具有连续的一阶偏导数，则微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是恰当方程的充要条件是：。 4、函数(,)f x y 称为在R 上关于y 满足利普希茨条件，如果存在常数0L >，使得不等式对于所有1(,)x y ，2(,)x y R ∈都成立。 5、定义在区间a t b ≤≤上的函数1()x t ，2()x t ，…()k x t ，如果，则称这些函数是线性相关的；若函数1()x t ，2()x t ，…()k x t 线性相关，则在[,]a b 上它们的伏朗斯基行列式恒为。 6、微分方程440d x x dt -=的特征方程为，特征根为、、、，方程的通解为。 7、利用分项组合法，微分方程2(3)(4)0y x dx y x dy ---=的通解为。

二、判断题（每题2分，共10分） 1、微分方程 2 2 30 dy dy x y dx dx ?? +-= ? ?? 的阶数为1 （） 2、sin(2) y wx =为方程 2 2 2 d y w y dx +=的解（） 3、微分方程的通解包括所有的解。（） 4、方程 2 2 d y y dx -=是2阶齐线性微分方程。（） 5、函数1，t，2t，…，k t在任何区间上都线性无关。（）三、计算题（每题12分，共60分） 1、解微分方程 2 3 1 dy y dx xy x y + = +