物理专业本科毕业论文

对动生电动势与感生电动势的探究

摘要:本文主要用变限积分函数求导法、通量法则和电动力学方法，通过对感应电动势的形成进行了探究，证明了当动生电动势和感生电动势同时存在时，感应电动势等于动生电动势和感生电动势之和，其中动生电动势和感生电动势没有交叉项，它们是相互独立的。

关键词:动生电动势；感生电动势；变限积分函数；通量法则；电动力学方法

目录

引言： (1)

1 对动生电动势与感生电动势的简单介绍 (1)

1.1 动生电动势的来由及大小 (1)

1.2感生电动势的来由及大小 (3)

2 变限函数求导法 (5)

3 电动力学方法 (7)

4 通量法则方法 (8)

结语 (9)

致谢 (10)

参考文献 (10)

引言：

电磁感应一章是电磁学中的重要内容，但在学习的过程中有许多容易混淆和疑惑的问题，如感应电动势。感应电动势看似是一个非常简单的概念，根据楞次定律的法拉第定律表达式我们可以很容易的得到感应电动势。大家知道: 当穿过导体回路的磁通量发生变化时, 回路中就产生感应电动势。按照磁通量变化原因的不同, 又有两种情形: 一种是动生电动势：磁场B不随时间变化，而闭合回路的整体或局部在运动中所产生的感应电动势；另一种为感生电动势：闭合电路的任意一部分都不动而磁场随时间变化所产生的感应电动势。但是在一些复杂的问题中，如动生电动势与感生电动势同时存在时，很多人可能就会迷惑，有太多的不确定，一时下不了手。就比如说，能不能单独把感生电动势和动生电动势先算出来，然后再进行简单的相加呢？为了使更多的同学们在今后的学习中可以大胆的毫无顾忌的使用这一结论。本文就是通过用积分变量函数求导法、通量法则和电动力学方法，对感应电动势的形成进行了深入的探究，证明了感应电动势是动生电动势和感生电动势之和，其中动生电动势和感生电动势没有交叉项，它们是相互独立的。

1 对动生电动势与感生电动势的简单介绍

法拉第定律说明，只要闭合电路的磁通有变化就有感应电动势，不问这种变化起于什么原因。按照磁通量变化原因的不同, 又有两种情形: 一种是动生电动势：磁场B不随时间变化，而闭合回路的整体或局部在运动中所产生的感应电动势；另一种为感生电动势：闭合电路的任意一部分都不动而磁场随时间变化所产生的感应电动势。

1.1 动生电动势的来由及大小

如下图1所示，一段直导线放在矩形导轨上，直导线与导轨保持良好接触，匀强磁场B垂直向里穿过导轨。直导线相对于导轨以速度v向右沿AD方向运动，导体棒内每个自由电子也就具有随棒一起运动的速度v,因而每一个自由电子都

受到洛伦磁力

B v q F ?= （1）

的作用, 这里- e 为自由 电子的电量, 由右手螺旋定则可知,导线中电子向下

运动 ,在水平方向上不做功.但在洛伦兹力F 的作用下, 电子相对于棒以速度v '

沿着导体棒由D 向C 运动,v '的方向与F 的方向相同, F 对自由电子做了正功.

自由电子在C 端聚积,使C 端带负电,而D 端则出现了过剩的正电荷,D 端电势高于C 端电势, 建立起由D 端指向C 端的静电场E,该静电场又使电子受到电场力

E e

F -=电，方向由C 端指向D 端,与F 方向相反,随着棒两端电荷增多,静电场逐渐增强,电F 也逐渐增大,当E e F -=电时,就达到了平衡状态,D 、C 两端之间有稳定

的电势差,运动的导体棒就相当于一个电源,D 端为正极,C 端为负极,D 、C 两端之间的电势差就是电源的电动势,此电动势是由于导体棒在磁场中运动而产生的,因而称为动生电动势。

我们可以判定，导线中电子向下运动的速度为v ' ，电子在向下运动的同时也要随导体棒向右运动，因此电子运动的合速度为

v v v '

=+ 合 （2） 若与速度v 对应的洛伦兹力为F ,方向沿直导线向下。与v ' 对应的洛伦兹力为F ' ，

方向垂直导线向左。则总的洛伦兹力为

=F F F

'+ 合 （3） v 'v F 'F F 合v 合C D A B - 图1 直导线在匀强磁场中运动

下面来计算直导线CD 中的动生电动势.非静电力：

()F ev B e v v B '=-?=-+? 合合 （4）

对应的非静电场：

()k F E v v B e

'==+?- 合 （5） 由此可得，直导线中的动生电动势为：

l d B v l d B v l d B v v l d E D C

D C D C D C k ??'+??=??'+=?=????)()())((ε （6） 在上式中，因为速度v ' 方向为沿着导线方向向下,('v B ? )的方向总是垂直于dl ,所以(6)式中的第2项积分值应为0,即：

()0D C

v B dl '??=? （7） 将(7)式代入(6)式得:

()0()D

D C C

B v B v dl dl ?ε=??+=??? （8） 通过上面的推导我们得出了直导线CD 中产生的动生电动势为

()D C

v B dl ?ε=?? （9） 通过上式我们可以看到动生电动势的大小只与导线的运动速度v 有关,而与电子

沿导线方向向下运动的速度v ' 无关。

由于总洛伦兹力合F 与受力电荷的总速度合v 垂直，即在动生电动势的产生过

程中洛伦兹力并没有做功。从上面的讨论我们可以看到，与导体棒运动速度v 对应的洛伦兹力分力F 方向竖直向下。力F 对电子做正功,并使电子沿导线作定向

运动,其定向运动速度为v ' ,从而可以看出：是力F 做功产生了动生电动势，即力

F 为动生电动势产生的原因。而与电子在导线中的运动速度v ' 对应的洛伦兹力F ' 对电子做负功,我们可以判断出：力F ' 处处与导线垂直，所以导线中所有电子受到的力F ' 之合力在宏观上表现为导线所受的安培力,它对电子沿导线的运动不起作用，即对动生电动势的产生没有贡献。所以,虽然洛伦兹力对运动电荷不做功,但是其分力是可以做功的，而这正好就是动生电动势产生的原因。

1.2感生电动势的来由及大小

当线圈不动而磁场随时间变化时，线圈的磁通也会变化，由此引起的感应电动势叫做感生电动势。根据法拉第电磁感应定律：

d dt

εΦ=-

（10） 感生电动势是由变化的磁场本身引起的。变化的磁场在其周围也会激发一种电场, 叫做感应电场或涡旋电场。产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场。

在物理学中，一般有两种电场：一种是由电荷分布按库仑定律激发的电场，称为库仑电场；另一种是由时变磁场激发的电场，称为感生电场。一般情况下，

空间中既有电荷又有时变磁场，因而既有库仑电场，又有感生电场。若以库E 、感

E 及E 分别代表库仑电场、感生电场及总电场，那么就有

E =库E +感E （11）

现在讨论感E ，首先肯定一点，就是??l d E 感不可能对任意闭合曲线都为零，否

则就违背法拉第定律。与动生电动势相应的非静电力是洛伦兹力，与感生电动势相应的非静电力是感生电场力。单位电荷在闭合电路中移动一周时非静电力的功等于电动势，故有 dt

d l d E L Φ-=?? 感 （12） 其中Φ是穿过这个闭合电路的磁通，由磁通的概念的

s

B dS Φ=??? （13） S d B dt d l d E s

L ?-=????感 （14） 上式右边对曲面的积分和对时间的积分交换次序，即

S d t B l d E s L ???-=????感 （15）

上式就是感E 沿任一闭曲线的环流的表达式。由此可以得到

S d t

B dt d l d E s L ???-=Φ-=?=???感感生ε （16） 上面我们分别对动生电动势和感生电动势的由来和大小进行了分析。我们知道了当只有动生电动势或者是感生电动势时它们大小的计算。那么当两种同时存在时又该如何计算呢？下面我们将通过不同的方法对总的电动势的计算进行深入的讨论。

2 变限函数求导法

法拉第定律说明，只要闭合电路的磁通有变化就有感应电动势。如图2所示，

设闭合回路L 在磁场),(t x B 中运动或变形，ｔ时刻包围的面积为),(t x S ．在t

t ?+时刻，回路所包围的面积),(t t x x S ?+?+ 在磁场),(t t x x B ?+?+ ，L 包围的面积的

法向与L 的绕向满足右手螺旋法则．则回路中产生的感应电动势为 t

dt d t ??Φ-=Φ-=→?lim 0ε ????

???-??+?+?-=?????+?+→?),(),(0),(),(1lim t t x x S t x S t ds t x B ds t t x x B t （17） 方程（17）中求极限的第一项可写为 ??

?+?+??+?+),(),(t t x x S ds t t x x B ????????+?++??+?+=),(),(),(),(t x S t x S ds t t x x B ds t t x x B （18）

其中),(),(),(t x S t t x x S t x S -?+?+=??，是线圈运动和形变而变化了的面积．将上式（18）代入方程（17）后并把相同面积的积分合并，有

????????-?+?+-=??→?)),(0

),(),(lim t x S t ds t t x B t t x x B ε ??

??????-?+?+-????→?)),(0),(),(lim t x S t ds t t x B t t x x B （19）

图2 闭合回路在磁场中的运动

方程（19）中第一项又可写为

ds t x x t x B t t x x B ds t t x B t x x B t t x B t t x x B ds t t x B t t x x B t x S t t x S t t x S t ???????????+??+?-=????????-?+???+?-?+?+-=????????-?+?+-??????→?→?→?),(0),(0)),(0),(),(),(),(),(),(),(),(lim lim lim

ds t t x B ds dt dx x t x B dx x

t t x B ds t x x t x B t t x B x x t t x B ds t x x t x B t t x B t t x B t t x x B t x S t x S t x S t t x S t ???-?????????+???-=???????????+??+????-=???????????+??+??-??+?-=????????→?→?),(),(2),(20),(0),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(lim lim （20） 方程（19）中第二项又可写为

ds t t x B t x B t x x B t x x B t t x x B ds t t t x x B t x S t t x S t ???

????????+-?++?+-?+?+-=?????????+?+-??????→???→?),(0),(0),(),(),(),(),(),(lim lim ds t t x B dt dx x t x B t t x B dx x

t t x B ds t t x B t x x t x B t t x B x x t t x B ds t t x B t x x t x B t t x x B t x S t t x S t t x S t ????????+??+??+???-=????????+????+??+????-=????????+????+??+?-=????????→???→???→?),(20),(20),(0),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(lim lim lim （21） 将（20）和（21）代入（19）式，就可以得到 ds dt t x B ds t t x B ds dt dx x t x B dx x t t x B t x S t t t x x S t t t x x S t ?-???-?????????+???-=????????→??+?+→??+?+→?),(0

),(0),(20),(),(),(),(lim lim lim ε （22） 由矢量形式知，（22）的第一项为

()ds B v t dx ds dt dx x t x B dx x t t x B t t x x S t t t x x S t ?????

? ??+??-?????????+???-?????+?+→??+?+→?),(0),(20

lim lim ),(),( 由于磁场为无源场，所以上式等于0。于是感应电动势就变为 ds dt t x B ds t t x B t x S t t t x x S t ?-???-=??????→??+?+→?),(0

),(0),(),(lim lim ε （23） 在闭合回路L 上取微元长dl ，方向与L 的绕行方向相同．

在dt 时间内dl 扫过的面元dl dt v dt dx ds ?=?= ，这里v 是线圈上运动dl 的速度，

方程（23）的第二项可化为

()dl t x B v ds dt t x B L

t x S t ??-=?-?????→?),(),(),(0lim 这就是动生电动势。

当0→?t 时，方程（23）的第一项就为在x 位置处t 时刻的感生电动势。

感应电动势的表达式可化为dl dt v dt dx ds ?=?= ， ()动生感生εεε+=??+???-=???dl t x B v ds t t x B L

t x S ),(),(),( 如上，通过用变限积分函数求导的方法，论证了感应电动势等于感生电动势和动生电动势的代数和。

3 电动力学方法

将由导体构成的回路以速度v 在变化的磁场中运动，磁感应强度B 对时间的

全导数为：

()B v t

B dt B d ??+??= （24） 由矢量恒等式：

()()()C A A C A C C A C A ??-??-??-??=??? （25）

设速度A v =，磁场C B =。则

()()()B v v B v B B v B v ??-??-??-??=??? （26）

再根据速度是一个无散无旋的矢量，则有

0=??v （27）

又有磁场的无源性和无旋性，得

0=??B （28）

所以

()()B v B v ??-=??? （29）

所以磁场的全导数为 ()B v t

B dt B d ???-??= （30） 两边积分得

()[]

()l d B v s d t B s d B v s d t B s d dt B d S l S S S ??-???=????-???=?????? （31） 又有

()l d B v s d t B s d B dt d dt d S l s

??+???-=?-=Φ-=???ε （32） 从上式可以看出，感应电动势仍然为动生电动势与感生电动势之和，并且两项无交叉分别独立。

4 通量法则方法

图3 回路包围的面积通过的磁通量

如图3所示，磁场中假想有一闭合回路c 以恒速v 运动，t 时刻回路l d 包围

面积s d ，其中s d 的方向与c 的绕行方向遵从右手法则。 磁感应强度矢量为B ，

在t t ?+时回路运动到)(t t c ?+，包围面积为)(t t S ?+ ,磁感应强度矢量变为

)(t t B ?+ 。由法拉第电磁感应定律回路产生的总电动势为

()()()()()()[]

???+→??--?+??+?-=??Φ-Φ-=t t s t s t t s d t B t t s d t t B t t dt d 1lim lim 0ε （33） 在图中)(t c 上取线元l d ，它随回路一起运动，在t 内将扫过一个侧面积元

dt v l d S d S ??= （34）

s S 为回路从t 到t t ?+时扫过的总侧面积。在这个过程中形成的闭合面

S =)(t S +s S +)(t t S ?+ （35）

1）当0→?t 时将)(t t B ?+ 在t 时刻泰勒展开，只取一次项的

t t

B t B t t B ???+≈?+ )()( （36） 2）由高斯定理的通过闭合曲面的磁通量为0

?????+-??+=?+??+s

S s t S S s d t t B t s d t t B t t s d t t B )()()()()()( ()???

???????-????=?Φ??)()()(t s t c dl B v t s d t B t ()dl B v S d t B t s c

t ??+???=??Φ=??→? lim 0ε （38） 由上面讨论可知磁场变化和回路运动两个使磁通量变化的因素同时存在

时，二者并无相互影响。总的感应电动势是感生电动势和动生电动势之和。两者没有交叉项，非静电场强就是洛沦兹力场与涡旋电场之和。

结语

本文主要是针对当感生电动势和动生电动势同时存在时，对感应电动势究竟

等于什么展开的讨论，并且很成功的用变限积分函数求导法、通量法则和电动力学方法，证明了当动生电动势和感生电动势同时存在时，感应电动势等于动生电动势和感生电动势之和，其中动生电动势和感生电动势没有交叉项，它们是相互独立的。这为很多学生消除了迷惑，使在今后的学习中可以毫无顾忌的大胆的运用这一结论。

致谢

在本论文的完成过程中XXX老师对我进行了热情细致的指导，在此谨致谢意。

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