河南省郑州市高三数学上学期第七次周考试题理
河南省郑州市高三数学上学期第七次周考试题理
一、单选题：
1．已知集合{
}2
0A x x x =+≤，{}
ln(21)B x y x ==+，则A B =（ ）
A ．1,02??
-
???
B ．1,02
??-????
C ．1,02??
??? D ．11,2
?
?--???
?
2．设1i
2i 1i
z -=++，则||z =
A ．0
B ．12
C ．1
D
3.等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3
230
3S x dx =?
，则公比q 的值是（ ）
A.1
B.12
-
C.1或12
-
D.1-或12
-
4.下列说法正确的是（ ）
A .“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则2
1a ≤” B.“若22
am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.0(0,)x ?∈+∞，使0034x
x
>成立 D .“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题 5．已知 0.6 1.2 1.22,log 2.4,log 3.6x
y z ===，则（ ）
A ．x y z <<
B ．x z y <<
C ．z x y <<
D ．y x z <<
6．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ?
?- ???
的值是（ ）
A ．1
3
B ．3-
C ．3
D ．13
-
8
9
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，
即满足
51
AC BC AB AC -==
，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在ABC ?中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设（ 11AP x AB y AC =+，
22AQ x AB y AC =+），则11
22
x y x y +=（ ） A ．
51
2
B ．2
C 5
D 51
11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
12．已知a R ∈，函数()22,1
ln ,1
x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?，且对任意的实数x ，()0f x ≥恒成立，
则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,2
B ．[]0,e
C ．[]1,2
D ．[]1,e
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分。
13．已知向量a 与b 的夹角为60?，3a =，13a b +=，则b =________ 14.设直线
与圆：
相交于，两点，若
3
2=AB ，
则圆的面积为 15.在平面直角坐标系
中，是曲线 ()04
>+
=x x
x y 上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是__________。
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件2221b c a bc +-==，
1
cos cos 8
B C =-，则△ABC 的周长为 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 17．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且
asin sin csin 23
0sin sin A b B C a B C +--= .
（1）求角C ；
（2）若ABC ?的中线CE 的长为1，求ABC ?的面积的最大值.
18．如图，已知三棱柱
111
ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?，
11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是
11
,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
19.
．
20.
21
21
22
23
高三第七次周考理科数学参考答案
1-12 ACCDA AACDC CB 10．
因为点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，
所以
1
2
BP CQ PC QB ==
所以55135
225151
AP AB AC
AB AC ---=
+
=+++
53551
22AQ AB AC AB AC -
--=+=+
所以11x y ==
22x y ==
所以112
2x y x y +=
=13.1 14,π4
+ 17（1
）由
sin sin sin 0sin sin a A b B
c C B C +--=，
得： b sin 3a a b b c c a C ?+?-?=?，即22223a b c C ab +-=,由余弦定理得
cos C C =
∴tan C =()0,C π∈，∴3
C π
= .
（2）由余弦定理：
22
121cos 42c c b CEA =+-???∠①，②22
121cos 42
c c a CEB =+-
???∠，
由三角形中线长定理可得：①+②得
2
2
2
22
c b a +=+ 即2222()4b a c +=+
∵2222cos c a b ab C =+-?，∴2242a b ab ab +=-≥
∴4
3
ab ≤，当且仅当a b =时取等号
所以
114S =sinC 22323ABC ab ?≤??=
18．（1）证明见解析；（2）
3
5
. (1)如图所示，连结11,A E B E ，
等边1AAC △中，AE EC =，则
平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥， 由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =，
由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==
1123AA CA ==3,3BC AB ==，
据此可得：()()()
1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ?? ? ???
，
由11AB A B =可得点1B 的坐标为1333,322B ??
???
，
利用中点坐标公式可得：
33
,3,3
44
F
??
?
??
，由于()
0,0,0
E
，
故直线EF的方向向量为：
33
,3,3
44
EF
??
= ?
??
设平面1A BC的法向量为()
,,
m x y z
=，则：
()
()
1
3333
,,,,330
2222
3333
,,,,00
2222
m A B x y z x y z
m BC x y z x y
???
?=?-=+-=
? ?
?
???
?
??
?
?=?-=-+=
?
? ?
??
?
，
据此可得平面1A BC的一个法向量为()
1,3,1
m=，
33
,3,3
44
EF
??
= ?
??
此时
4
cos,
5
35
5
2
EF m
EF m
EF m
?
===
?
?
，
设直线EF与平面1A BC所成角为θ，则
43
sin cos,,cos
55
EF m
θθ
===.
19
20
21
22
23