大学数学课后复习题答案

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．

3. φ，}1{，}2{，}3{，}2,1{，}3,1{，}3,2{，}3,2,1{．

4. （1）}4,3,2,1,0{ （2）}4,3{ （3）)}1,1(),0,0(),1,1{(--

5. （1）},32|{Z x x x ∈<- （2）}012|{2=+-x x x （3）},|),{(3x y x y y x ==

6. （1）}3,1{ （2）}5,3,2,1{ （3）φ （4）}6,5,4,3,2,1{ （5）}2{ （6）φ

（7）}6,5,4{ （8）}6,5,4,3,1{ （9）}6,5,4,3,2,1{ （10）}6,4{ 7.

A U

B A B B B A B

B A B

B A A A B

B A A B B A A Y I Y Y I Y Y I Y I Y Y I Y I Y Y I Y I I =======)()

()()())(())()(()(φ 8. （1）)5,5(- （2）)0,2(- （3）),1[]3,(+∞--∞Y （4）]2,1(

（5）),4[+∞ （6）)4,(-∞

9. （1）}1{=B A I ；]3,0[=B A Y ；)1,0[=-B A ．

（2）]4,2[=B A I ；]4,1[-=B A Y ；)2,1[-=-B A ．

10. （1）)25,23( （2）)2

5,2()2,23(Y ．

11. （1）不是．定义域不同（2）不是．定义域不同（3）不是．定义域不同

（4）是．在公共的定义域]1,1[-上，2111x y x x y -=?-?+=

12. （1）),2()2,2()2,(+∞---∞Y Y （2）),1[]1,(+∞--∞Y （3）]1,1(-

（4）),(+∞-∞ （5）)2,2(- （6）]5,1[

（7）))1(22,22(ππ

ππ

+++k k ，Λ,2,1,0±±=k （8）),1()1,1()1,2(+∞---Y Y

（9）),3()2,(+∞--∞Y （10）]4,2[

13（1）55030)0(2-=-?+=f ；15131)1(2-=-?+=f ；

75)1(3)1()1(2-=--?+-=-f ；535)(3)()(22--=--?+-=-x x x x x f ； 531513)1()1

(22-+=-?+=x

x x x x f ． 14. 43)1(2)1()11()(22-=--+-=+-=x x x x f x f ；

324)1()1(2

2--=--=-x x x x f ． 15. πππ

π22)2sin()2(=--=-f ，110)0(=+=f ，212)2(πππ=+=f ． 16. ),(+∞-∞=∈?D x ，有21111111)(222222=+++≤++=+-+≤x

x x x x x x f ． 17. （1）单调递减（2）]2,(-∞上单调递增；),2[+∞上单调递减（3）]1,(-∞单调递减；),1[+∞上单调递增（4）单调递增（5）)2,2(ππ

ππ

k k ++-（Λ,2,1,0±±=k ）上

单调递增；（6）单调递增

18. （1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）偶函数（4）奇函数（5）非奇非偶函数

（6）偶函数（7）非奇非偶函数（8）奇函数（9）偶函数（10）奇函数

19. （1）对定义域的任意x ，因为)()]()([21)(x F x f x f x F =+-=

-，所以)(x F 是偶函数；

（2）对定义域的任意x ，因)()]()([21)]()([21)(x G x f x f x f x f x G -=---=--=

-，所以)(x G 是偶函数．

20. （1）π （2）π2 （3）π （4）π2

21. （1）因为),(+∞-∞∈?x ，有)2()()2(f x f x f +=+成立，令1-=x ，则有)2()1()1(f f f +-=，又因为)(x f 是),(+∞-∞的奇函数，所以)1()1(f f -=-，所以a f f 2)1(2)2(==，又)2(2)1()2())2()1(()2()3()5(f f f f f f f f +=++=+=，所以

a f 5)5(=．

（2）因为)(x f 是以2为周期的周期函数，所以)()2(x f x f =+，又已知)2()()2(f x f x f +=+，所以0)2(=f ，由（1）知a f 2)2(=，所以0=a ．

22. （1）u y arcsin =，21x u += （2）u y =，v u ln =，x v =

（3）u y =，22v u +=，x v cos = （4）u e y =，v u arctan =，w v =

， x w +=1

23. （1）k

b x k y -=1 （2）1-=x e y （3）32-=x y （4）x x y +-=11（1-≠x ） 24. （1）是（2）是（3）是（4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0

2．(1)3 (2)2 (3)0 (4) -∞ (5) ∞

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

2211lim lim n n n n n n →∞→∞==∞ 4. 根据定义证明： (1)x

x y 1cos =当0→x 时为无穷小；证明：0ε?>,δε?=,当x δ<,1cos

x x x ε≤≤ (2)x

x y +=1当1-→x 时为无穷大. 证明：0M ?>,1M δ?=+,当x δ<,

1111111x M M x x x +=+≥->+-= 5. 求下列极限：

（1）1 （2）0

6. 计算下列极限：

（1）0 （2）2

（3）2

2 （4）1 7. 计算下列极限：

（1）4 （2）∞

（3）2 （4）3

1 （5）∞ （6）4

1 （7）-1 （8）6

8. 设??

???>+=<-=0,10,

00,1)(x x x x x x f ，讨论函数在点0→x 时的极限情况？解：--00

lim lim ()1,()1,(0)0x x f x f x f →→=-==，所以()f x 在0x =不存在极限。 9. 已知51lim 21=-++→x

b ax x x ，求a ，b 解：由已知可知：10a b ++=,得到1a b =--,代入51lim 21=-++→x

b ax x x 得511)1)((lim 1)1(lim 121=-=---=-+--→→b x

x b x x b x b x x x ，得7,6-==a b 10. 计算下列极限：

（1）221lim cos 1lim 200==-++→→x x x x x x

（2）21cos 2lim cos cos 1lim sin tan lim 220203

0=?=?-=-→→→x x x x x x x x x x x x （3）22lim 2tan lim 22

0220==→→x x x

x x x （4）82cos sin 222sin lim sin )cos 12(cos 1lim sin cos 12lim 02020=?=++-=+-→→→x

x x x x x x x x x x （5）e x x x x x x x =??? ??++=??? ??++-+∞→∞→11111lim 12lim

（6）e x x x x 11lim =??

? ??+∞→ （7）e x x x x x x x 1211lim 23lim 2)2(=??

? ??--=??? ??--=--∞→∞→ （8）2

1021lim --→=??? ??+e x x x x （9）e x x x

x =???? ??-∞→1lim 22 （10）1cos 1

cos lim 11sin sin lim 11==--→→x x x x x （11）0sin 2lim sin cos 1lim 2

00==-→→x x x

x x x （12）ππππππ22sin 21lim 2cos 2sin )1(lim 2tan )1(lim 111=--=-=-→→→x x x

x x

x x x x （13）53sin 4sin 2sin lim 232

=++→x x x x π （14） 12cot lim

2-=-→ππ

x x x

11. 证明：数列n

n x 2112112112++++++=

Λ存在极限。提示：n n 21212121121121122+++<++++++ΛΛ 12. 求极限??

? ??++++++∞→πππn n n n n n 2221211lim Λ。提示：π

ππππn n n n n n n n n n n n +?

2lim n n

n ∞→。提示：n

n n n 2!2≤足够大时

14. 设)(211n

n n x c x x +=+（Λ,2,1=n ），已知常数0>c 且01>x ，证明c x n n =∞→lim ．提示：首先证明数列}{n x 收敛．

因为0>c ，01>x ，所以0>n x （Λ,2,1=n ），则对任意的n ，有

c x c x x c x x n

n n n n =?≥+=+)(211 这说明数列}{n x 有下界；又021)(2121≤-?=-+=-+n

n n n n n n x x c x x c x x x ，即数列}{n x 单调递减，从而数列}{n x 收敛．

设a x n n =∞→lim ，对等式)(211n

n n x c x x +=+两边同时取极限，得)(21a c a a +=，解之得c a ±=．因为0>n x （Λ,2,1=n ），所以由保号性知0>a ，所以c x n n =∞→lim ．

15. 求下列函数的间断点，并判断类型：

（1）1

1)(2-=x x f 1±=x 第二类间断点（2）x

e x

f 1)(= 0=x 第二类间断点

（3）x

x f 1arctan )(= 0=x 第一类间断点（4）（4）x

x x f 1cos )(2= 0=x 为可去间断点 16. 讨论下列函数在分段点处的连续性：（1）???>-≤-=1

,31,1)(x x x x x f 不连续（2）?????-=-≠+-=1,31,11)(2x x x x x f 不连续)1(0)(lim 1

-≠=-→f x f x （3）?????=≠=0,20,sin )(x x x x x f 不连续

大学数学分析答案

《数学分析》练习题1 一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、广义积分dx x ? -2 2 211的奇点的是【】 A ．0 B ．2 C ．2 D ．2± 2、下列关于定积分的说法正确的是【】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定可积； B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界； C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界； D ．函数)(x f 在[]b a ,无界，则)(x f 在[]b a ,可能可积。 3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。【】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要 4、若级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中，为收敛级数的是【】 A ．()∑∞=-1 1n n n u B ．()∑∞=-1 1n n n u C ．∑∞=+1 1n n n u u D ．∑ ∞ =++1 1 2 n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案. 1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是： . 2、函数2 x e -在0=x 处的幂级数展开式为, . 3、积分()1012 <x 的收敛性。解: 5、求级数∑ ∞ =1 3n n n n x 的收敛半径与收敛域。解: 6、求dx e x ?+∞ 1。解：四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的证明过程。 1、证明：积分?+∞ 02cos dx x 收敛。证： 2、设()x f 在R 上连续，()()()dt t x t f x F x 20 -= ?。证明：(1)若()x f 为偶函数，则()x F 也是偶函数；（2）若()x f 为单调函数，则()x F 也是单调函数。证： 3、若{}n na 收敛， ()∑∞ =--1 1n n n a a n 收敛，证明级数∑∞ =1 n n a 收敛。证：

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式（1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

万门大学数学系数学经典教材(推荐)

☆【万门大学数学系】给所有想学数学的朋友一份礼物☆2012年11月18日18:41:43 数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。这份【万门大学数学系】的书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。数学本科：如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。《Calculus》这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。下面就开始严格的数学训练了：

数学分析（一）（英文版）by Apostol 数学分析（二）（英文版）by Apostol 本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。

《Linear.Algebra.done.right 》by Axler 好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

中南大学高等数学答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是。解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +

华中科技大学考研数学分析真题答案

2008年华中科技大学招收硕士研究生. 入学考试自命题试题数学分析一、求极限1 111lim(1...)23n n I n →∞=++++ 解: 一方面显然1I ≥ 另一方面111 1...23n n ++++≤，且1lim 1n n n →∞= 由迫敛性可知1I =。注：1 lim 1n n n →∞ =可用如下两种方式证明 1） 1n h =+，则22 (1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n -=+≥+ ?≤≥ 即lim 0n n h →∞ =，从而1lim 1n n n →∞ = 2） =有lim 11n n n n →∞==-。二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分，并求它的原函数。证明：记22(,)38P x y x y xy =+，32(,)812y Q x y x x y ye =++，则 2316P x xy y ?=+?，2316Q x xy x ?=+?? P Q y x ??=?? Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分设原函数为(,)x y Φ，则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+ 2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ?∴Φ=+?Φ=++ 32328()812y y x x y y x x y ye ?'?Φ=++=++ ()12()12(1)y y y ye y y e C ??'?=?=-+ 322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为（为常数）三、设Ω是空间区域且不包含原点，其边界∑为封闭光滑曲面：用n 表示∑的单位外法向量，(,,)r x y z =和2r r x y ==+，证明：

(2020年编辑)大学高等数学教材

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

(完整版)大学数学工程数学线性代数教材

第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1

2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ，即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解在排列32514中，

大学数学试卷A及答案

大学数学试卷A及答案 Prepared on 24 November 2020

《大学数学》试卷一．选择题（每小题3分） 1．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是（） A x x x x sin 1sin lim 20→ B )arctan 2(lim x x x -+∞→π C x x x x x sin sin lim +-∞→ D x x x x e e e -∞→+lim 2．=-→1ln lim 1x x x （） A 1 B －1 C 2 D －2 3．=-+-+-∞→4223lim 2323x x x x x x （） A －１ B 0 C 21 D 2 4．若在区间（a,b ）内，函数f(x)的一阶导数,0)('>x f 二阶导数0)(''

A （1，1-e ） B （2，2-e ） C （2，22-e ） D （3，3-e ） 8．下列等式中，成立的是（） A ?=)()(x f dx x f d B dx x f dx x f d ?=)()( C C x f dx x f dx d +=?)()( D ? =dx x f dx x f dx d )()( 9．在区间(a,b)内的任一点x ，如果总有f ’(x)=g ’(x)成立，则下列各式中必定成立的是（） (x)=g(x) (x)=g(x)+1 C.f(x)=g(x)+C D.'))(()')((??=dx x g dx x f 10．已知C x dx x f +=?2cos )(，则f(x)=( ) A sin2x B －sin2x C cos2x D －cos2x 11． ?=dx xe x ( ) A C xe x + B C e xe x x +- C C e xe x x ++ D C e x + 12．?=xdx tan ( ) A.－ln|sinx|+C B. ln|sinx|+C C. –ln|cosx|+C |cosx|+C 13．=+-?dx x x )1(6 02( ) A 50 B 60 C 70 D 80 14．dx x x ?+2021=（） A 12- B 12+ C 15- D 15+ 15．行列式4 032053 21=（）

浙江大学数学分析试题答案

2003年浙江大学数学分析试题答案一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ，所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。四、? ?== 1 0,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -= ?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--= 1 111)(2)(2])1[(])1[(! !21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2) (2 ])1[(])1[(] )1[(])1[(=

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数学基础学习阶段 ◆分析学微积分学教程（1、2、3册）菲赫金哥尔茨数学分析教程（上、下册）史济怀 Principles of Mathematical Analysis (Third Edition) Walter Rudin 实变函数江泽坚实变函数论周民强复分析导论（上、下册）沙巴特泛函分析讲义（上、下）张恭庆 Real and Complex Analysis(Third Edition) Walter Rudin Fuctional Analysis(Second Edition) Walter Rudin ◆代数学高等代数（北京大学数学与力学系）前代数小组代数学引论（聂灵沼、丁石孙） Algebra Hungerford Algebra Lang 美国大学数学参考书目录: 第一学年几何与拓扑： 1、James R. Munkres, Topology：较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级； 2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓扑学教材； 3、Kelley, General Topology：一般拓扑学的经典教材，不过观点较老； 4、Willard, General Topology：一般拓扑学新的经典教材； 5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年级的拓扑、几何教材； 6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书； 7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代数拓扑、微分流

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选择题（每题 2 分） 1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A ) A. 纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于( C ) A. 纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B ) A. 棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的( A ) A. 三棱柱 B.三棱锥 C.四棱台 D.楔形体 5.射影几何产生于文艺复兴时期的( C ) A. 音乐演奏 B. 服装设计 C. 绘画艺术 D. 雕刻艺术 6. 欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是(A)。 A. 斐波那契 B. 卡尔丹 C. 塔塔利亚 D. 费罗 7. 被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是( B ) A. 欧几里得 B.泰勒斯 C.毕达哥拉斯 D.阿波罗尼奥斯 8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( D ) A. 波利亚 B.高斯 C.魏尔斯特拉斯 D.罗巴切夫斯基 9. 对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( C ) A. 伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 10. 公元前 4 世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) C.倍立方体 D.三等分角 A. 不可公度数 B.化圆为方 11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( C ) A. 阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A ) A. 康托尔 B. 欧拉 C. 魏尔斯特拉斯 D. 柯西 13. 下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C ) A. 阿耶波多 B. 马哈维拉 C.奥马.海亚姆 D. 婆罗摩笈多 14. 在 1900 年巴黎国际数学家大会上提出了23 个著名的数学问题的数学家是 ( A )

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大学数学习题一答案：篇一：大学数学课后习题答案习题1 1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能 2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. ?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 4. （1）{0,1,2,3,4} （2）{3,4} （3）{(?1,?1),(0,0),(1,1)} 5. （1）{x|x?2?3,x?Z} （2）{x|x?x?12?0} （3）{(x,y)|y?x,y?x} 6. （1）{1,3} （2）{1,2,3,5} （3）? （4）{1,2,3,4,5,6} （5）{2} （6）? （7）{4,5,6} （8）{1,3,4,5,6} （9）{1,2,3,4,5,6} （10）{4,6} 7. 23 A?A?B?B?A?(A?B)?B ?((A?A)?(A?B))?B ?(??(A?B))?B ?(A?B)?B ?(A?B)?(B?B) ?(A?B)?U

?A?B 8. （1）(?5,5) （2）(?2,0) （3）(??,?3]?[1,??) （4）(1,2] （5）[4,??) （6）(??,4) 9. （1）A?B?{1}；A?B?[0,3]；A?B?[0,1)．（2）A?B?[2,4]；A?B?[?1,4]；A?B?[?1,2)． 10. （1）(,)（2）(,2)?(2,)． 11. （1）不是．定义域不同（2）不是．定义域不同（3）不是．定义域不同（4）是．在公共的定义域[?1,1]上，y??x??x?y??x2 12. （1）(??,?2)?(?2,2)?(2,??) （2）(??,?1]?[1,??) （3）(?1,1] 35223252 （4）(??,??)（5）(?2,2)（6）[1,5] （7）(? 2?2k?,? 2?2(k?1)?)，k?0,?1,?2,? （8）(?2,?1)?(?1,1)?(1,??) （9）(??,?2)?(3,??) （10）[2,4] 13（1）f(0)?02?3?0?5??5；f(1)?12?3?1?5??1； f(?1)?(?1)2?3?(?1)?5??7；f(?x)?(?x)2?3?(?x)?5?x2?3x?5；f()?()?3?1 x1x2113?5?2??5． xxx 14. f(x)?f(x?1?1)?(x?1)2?2(x?1)?3?x2?4； f(x?1)?(x?1)2?4?x2?2x?3．sin(?)??2，f(0)?0?1?1，f(?)???1??． 15. f(?)?2222??2? x2x2x2?116. ?x?D?(??,??)，有f(x)?1???1??1??2． 2221?x1?x1?x 17. （1）单调递减（2）(??,2]上单调递增；[2,??)上单调递减（3）(??,1]单调递减；[1,??)上单调递增（4）单调递增（5）(??

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第八章多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy 面上连续。六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

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这才是在大学数学系应有的岁月数学专业参考书整理推荐V3.0版(正在撰写中) 本文是这个文章的第三个版本，也是最后一个版本，由于时间精力，我不会再重新写这篇文章，最多是在原文上修改部分内容。文章会注明修改日期，如有转载请注明这个时间。并且请尽量不要腰斩我的文章，防止读者断章取义。向指导我大学数学学习的王云峰（数学分析，复变函数），袁进（高等代数），邢志栋（数值代数），温作基（实变函数），曹建荣（微分方程数值解），贾健（数据结构，图形学），方莉（泛函分析，毕业论文），赵宪钟（具体数学），张文鹏（数论），邵勇（泛代数）以及其他没有列出名字的诸位老师致谢。第0部分：前言关于数学系专业课参考书的帖子很多。最出名的是复旦大学yjyao（姚一隽？）去巴黎前发表在日月光华BBS站上的《大学数学学习参考书点评》（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/anc?path=/bmt/9/mat/M.984927021.A）（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=23）此外还有中国科学技术大学数学系几位学长的建议：《科大学长对数学系学弟学妹的忠告》（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=25）《中国科学技术大学数学系教材及参考书目录》

（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=26）《数学与物理的参考书目》（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=24）这几篇文章尤其是前面三篇深深影响了我大学数学的学习，在这里向原作者深深致谢。另外大家还可以参考《美国数学本科生，研究生基础课程参考书目》（https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=34）此外，还有我这篇文章的1.0版：几篇零散的分别介绍数学系参考书的帖子。那样的烂文章居然有人转载，我看了自己都不好意思，故催生出本文章V2.0版数学专业参考书整理推荐( https://www.360docs.net/doc/6513905091.html,/article.php/706 )当然，当时不是这么叫的。这两篇文章是因为和低年级的学生聊天，他们想让我写成文字，于是就记了下来。因为一些个人原因，文章没有写完，或者说草草结束。没有想到居然被几个论坛转载，被人叫做大牛。为了防止误人子弟，所以修改这篇文章的同时简单介绍一下自己，请看这篇文章的人仔细思考要不要听我所言，防止误入歧途。本人ID如文章前所见，高考以数学不及格成绩进入西北大学数学系（2005-2009），大学时代除复变函数因重修所以在90分左右，其余所有重要的专业课没有一门低

大学数学分析试题

五邑大学试卷（样题）学期：至学年度第三学期课程：数学分析课程代号： 500063 使用班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八总分得分求下列极限（每小题5分共10分） 1. 22(,)lim x y → 2. 1 1 lim t →?∫ 证明：含参量反常积分2 x y e dy +∞ ?∫在[,](0)a b a >上一致收敛（10分）。

证明函数2222 0(,)0,............,0 x y f x y x y +≠=+=?在点(0,0)处不可微（10分）。计算下列曲线积分（每小题8分共16分） 1. 2 2L x y ds +∫v ，其中:cos ,sin (02)L x a t y a t t π==≤≤。 2. ∫?+?L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x ?a )2 +y 2 =a 2 , y ≥0, 沿逆时针方向。 .

计算下列曲面积分（每小题10分共20分）。 1.22 () S x y dS + ∫∫,其中S是:锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0及z=3所截得的部分； 2.333 S x dydz y dzdx z dxdy ++ ∫∫w,其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧。求由平面y=0,y=x,z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体体积（10分）

七、计算三重积分V zdxdydz ∫∫∫, 其中V 是由锥面z = 与平面1z = 所围成的闭区域.（10分）八．证明积分 ∫?++) 3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x 与路线无关，并求其值（14分）