函数新定义习题

函数新定义习题

已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，若x

x f y )

(=在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”； 若2)

(x

x f y =

在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω。若函数hx hx x x f --=2

3

2)(，且1)(Ω∈x f ，2)(Ω?x f ，则实数h 的取值范围是（） A ．),0[+∞ B ．),0(+∞ C ．]0,(-∞ D ．)0,(-∞

（茂名2014年一模）8、定义域为],[b a 的函数)(x f y =的图象的两个端点为B A 、，点

),(y x M 是)(x f 图象上任意 一点，其中)10()1(≤≤-+=λλλb a x )，向量

OB OA ON )1(λλ-+=（O 为坐标原点）

，若不等式k MN ≤恒成立，则称函数)(x f 在],[b a 上“k 阶线性近似”. 若函数]1

x

x y -=在2,1[上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值

范围为( )

A ．),0[+∞

B ．),1[+∞

C ．),223

[+∞- D ．),22

3[+∞+

（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有

0()()0()()f x h x m h x g x m <-

<-

，

则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。给出定义域均为D={}

1x x >的四组函数如下： ①2

()f x x =

，()g x =

②()102x f x -=+，()g x =

23

x x

-； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x

+； ④22()1x f x x =+，()2(1)x

g x x e -=--。

其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④

B ．②③

C ．②④

D ．③④

【答案】C

【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，0)()(→-x g x f 。

对于○1，当1>x 时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，0)()(→-x g x f ；

对于○3，x x x g x f

ln 11)

()(-

=-，设01

)(",ln )(2>=-=x

x x x x λλ且x x

0，所以不存在分渐近线；○4当0→x 时，02

2112)()(→+++-=

-x e x

x g x f ，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是○2○4选C

【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是∞→x 时，

0)()(→-x g x f 进行做答，是一道好题，思维灵活。

（茂名2014年一模）21、（本小题满分14分） 已知函数)0()1(21ln )(2

≠∈-+-

=a R a x a x a

x x f 且。 （1）当1-≤a 时，求函数)(x f 的单调递增区间；

（2）记函数)(x F y =的图象为曲线C ，设点),(),,(2211y x B y x A 是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点),(00y x M ，使得：①2

2

10x x x +=

；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数)(x F 存在“中值相依切线”，试问：函数)(x f 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上 的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个 圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直 线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.

(ⅰ)方程()0f x =的解是x = ;

(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ??

=

???

； ②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图象关于点1,02?? ???

对称．

解析：(i) 0)(=x f 则2

1=x ;

(ii) 当4

1=m 时，∠ACM=2

π,此时1-=n 故1)4

1(-=f ①错

)(x f 的定义域为)1,0(不关于原点对称 ②错

显然随着m 的增大,n 也增大;所以()f x 在定义域上单调递增 ③对

又整个过程是对称的,所以 ④对

4、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交 ⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，

那么()f x 的图象大致是（ D ）

（2010广东卷理21））设A(11,x y ),B(22,x y )是平面直角坐标系xOy 上的两点，先定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=21x x -+21y y -.对于平面xOy 上给定的不同的两点A(11,x y ),B(22,x y )

(1) 若点C （x, y ）是平面xOy 上的点，试证明ρ(,)A C +ρ(,)C B ≥ρ(,)A B ; (2) 在平面xOy 上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ(,)A C +ρ(,)C B = ρ(,)A B ； ②ρ(,)A C = ρ(,)C B ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。

解析：设A(11,x y ),B(22,x y )是平面直角坐标系xOy 上的两点，先定义由点A 到点B 的一种折线距离p(A,B)为2121(,)||||P A B x x y y =-+-.

当且仅当1212()()0,()()0x x x x y y y y --≥--≥时等号成立，即,,A B C 三点共线时等号成立.

（2）当点C(x, y) 同时满足①P (,)A C +P (,)C B = P (,)A B ，②P (,)A C = P (,)C B 时，点C 是线段AB 的中点. 1212,22x x y y x y ++==，即存在点1212

(,)22

x x y y C ++满足条件。

（2010上海卷理22）若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24

ππ

｛≠

，∈，∈｝

.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

解析：(1) (,2)( 2.)x ∈-∞-+∞U ；

(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab ab +>222a b ab ab ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab a b ab ab ab a b a b +--+-=+->，

所以3322|2|2a b a b ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2

远离2；

(3) 3sin ,(,)44

()cos ,(,)

44

x x k k f x x x k k ππππππππ?

∈++??=??∈-+??，

性质：1?f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2?f (x )是周期函数，最小正周期2

T π

=，

3?函数f (x )在区间(

,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224

k k πππ

+单调递减，k ∈Z ， 4?函数f (x )

的值域为． （2010上海卷文22）若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +

接近2； （3）已知函数()f x 的定义域{}

,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x ∈(-2,2)；

(2) 对任意两个不相等的正数a 、b

，有222a b ab +>

，332a b +>

因为22332|2|2()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，

所以2233|2|2a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3

接近2 (3) 1sin ,(2,2)

()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-?==-≠?

-∈+?

,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0， 函数f (x )在区间[,)2k k π

ππ-单调递增，在区间(,]2

k k π

ππ+单调递减，k ∈Z ．

22、将正整数2012表示成n 个正整数123,,,n x x x x L 之和.记1i j i j n

s x x ≤<≤=?∑

.

（I ）当2n =时，12,x x 取何值时s 有最大值.

（II ）当5n =时，12345,,,,x x x x x 分别取何值时，s 取得最大值，并说明理由.

（III ）设对任意的1≤i j <≤5且|i j x x -|≤2,当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取得最小值，并

说明理由.

解：（I ）根据均值不等式，当x 1=x 2=1006时，S 有最大值10062. （II ）当x 1=x 2=x 3 =402，x 4=x 5=403时，S 取得最大值. 由x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5=2012，15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

取得最大值时，必有|x i -x j |≤1（ 1≤i

事实上，假设（*）式不成立.不妨设x 1-x 2≥2，令

，

. 有， 21212121

1x x x x x x x x >--+='

' 15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

=

，

同时S ‘=

，

这与S 取得最大值矛盾.所以必须有|x i -x j |≤1（ 1≤i

i j i j s x x ≤<≤=?∑

=10t 2+8t ， 在③时, 设t=402，15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

=10t 2+8t.

因此在①③时S 取得最小值.