《微积分》各章习题及详细标准答案

第一章 函数极限与连续

一、填空题

1、已知x x

f cos 1)2

(sin +=，则=)(cos x f 。 ２、=-+→∞)

1()34(lim 22

x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x

x k x 成立的k 为 。 5、=-∞→x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0

,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→x

x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是_＿_______＿。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为____＿_＿__。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a

x a x 。 11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数x x x f +=13arcsin

)(的定义域是＿＿_＿_＿_＿__。 13

、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→x x a

x a x ，则=a ＿_______。 1５、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=＿_________＿_。 二、选择题

1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ）)()(x g x f +;（B ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、x

x x +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 (A)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；

(C ）α与β是同阶无穷小; (Ｄ）βα~。

3、函数??

???=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。

（Ａ)23; （Ｂ)3

2； （Ｃ)1； (D)0。 ４、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n 。 (A ）1; （B ）1-； (C ）∞; （Ｄ）不存在但非∞。

5、???????>=<+=01cos 00

0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。

(Ａ）连续点；(B)可去间断点；(C ）跳跃间断点；(D ）振荡间断点。

6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是( )

（A ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=; （B ）x x f =)(,2)(x x g =； （Ｃ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ；(D ）1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=。

7、 |

|sin lim 0x x x →＝ （ ) （Ａ) 1; (Ｂ) -1; (C) 0； （D) 不存在。 8、 =-→x x x 1

)1(lim ( ） (A ） 1; (Ｂ） －1; （Ｃ) e ; (Ｄ) 1

-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的( ) （A)充分必要条件；(Ｂ) 充分条件；(C)必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. １0、 =-+∞→)1(lim 2

x x x x ( ) （A) 1; （Ｂ) 2; （C) 2

1； (D ） ０。 １1、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞

→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有( ) (A ）n n b a <对任意n 成立； （Ｂ）n n c b <对任意n 成立；

（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在 ; （D ）极限n n n c b ∞

→lim 不存在。 １2、当1→x 时,函数1121

1---x e x x 的极限( ) (Ａ)等于２; (B ）等于0； (Ｃ)为∞； (D)不存在但不为∞。

三、计算解答

1、计算下列极限

（1)12sin 2lim -∞

→n n n x ； (２)x x x x cot csc lim 0-→ ; (3))1(lim 1

-→∞x x e x ； （４）x x x x 31212lim ??

? ??-+∞→ ; (5)1cos cos 21cos 2cos 8lim 223

-+--→x x x x x π； (６)x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→； (7)???? ?

?+++?+?∞→)1(1321211lim n n n ; (8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 3、试确定b a ,之值,使2111lim 2=???

? ??--+++∞→b ax x x x 。 4、利用极限存在准则求极限 (1)n

n n n 13121111131211lim ++++++++++∞→ 。 （２)设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证明n n x →∞

lim 存在，并求此极限值。 5、讨论函数x

x x

x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性,若有间断点，指出其类型。 6、设)(x f 在],[b a 上连续,且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

?第一单元 函数极限与连续习题解答