什么是数感
精心整理
24％利息的估算；
称称、估估各类蔬菜、肉类的重量等等。这些活动深受学生喜爱，它不仅可以启蒙数感，还能培养
同学们，你们天天在上学，但你是否知
对数的含义
2.2．1 对数的含义 一学习目标：1理解对数的概念. 2掌握对数与指数的关系式。 3会进行指对互化以及简单的指对互化。 二 自学指导 1 自学课本第62页的内容，思考并回答下列问题： （1）对数的意义是什么？对数与指数有什么联系？你能举两个具体的例子吗？ （2）对数式中底数的范围是什么？思考为何会有这个范围？ （3）常用对数和自然对数又是怎样定义的？ （4）负数和零有没有对数？1log 0,log 1a a a ==证明 三 自主检测 1 填写下列表格 2 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式 (1)4381;= (2)132;8-= (3)1() 4.3355 m = 16 14 (4)log 2=- lg100(5)2= (6)ln10 2.303=
3求下列各式中x 的值 (1)327log 2x = (2)2log 23 x =- (3)16log 12 x = (4)lg 0.001x = (5)2ln e x -= (6)lg 3x = (7)ln 1x =- (8)8log 6x = (9)2log 643x =- 三 随堂练习 1求出使对数有意义的x 的范围 (1)(2)log (1)x x +- (2)(32)log (12)x x +- 2 求下列各式的值 3210log log 1 5(1)1010.log ππ-+ (2)log 3变式训练 (1)22log 3327_____-=。 (2)lg 525,___x x ==则。 232(3)log ,log ,____m n a a m n a +===则。 5534[log ][log ]3 4(4)log log 0,_____b a b a ===（log ）（log ）则 26 3 2 211(6)log log 044x x αβαβ++=?=的两根为和，则（）（）_________ 五 课堂小结 对数的意义是什么？（即指对互化的公式）
确定是否是互质数的几种方法
确定是否是互质数的几种方法 一、教学构思在小学五年级分数的学习中，运用到互质数的时间特别多，如约分，怎样才能一眼就能看出分子分母是互质数呢？很多同学因为不知道是否是互质数而需要不停地计算。在通分中也是，因为不能看出几个分母是否是互质数，就不能很快求出它们的最小公倍数，也就不能快速找到最小公分母。 二、教学目标 1、理解互质数的概念。 2、确定是否是互质数的几种方法。 三、教学过程 （一）复习回忆 1、什么是质数？一个数，如果只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。 2、什么是互质数？公因数只有1的两个数，叫做互质数。 （二）引入新课 1、同学们试想一下，举例说明哪两个数是互质数5和917和2931和47师：为什么就能说明它们是互质数呢？生：因为它们只有公因数1，还有可能回答都是质数。师：那是质数的两个数就是互质数吗？那7和7呢？生：不是，7和7除了公因数1以外还有7。所以不是。
师：请同学们帮我们归纳一下我们确定互质数的第一种方法。 生：两个数都是不相同的质数，这两个数是互质数。 师：除了这种方法外，还有其它的吗？请同学们再想一想，还有没有其它的确定互质数的方法呢？ 生：4和51002和100377和78 师：确定它们都是互质数吗？为什么？ 生：确定。因为它们只有公因数1、师：给予表扬。对，它们是互质数。你们能这些你们找出来的互质数归纳一下吗？ 生：两个相邻的自然数，是互质数。 师：0和1是互质数吗？ 生：不是。应该是两个相邻的非零自然数是互质数。 师：完成的非常好，这就是我们找到的第二种确定互质数的方法。那老师准备了几组数据，同学们看看是否是互质数呢？79和6255和1097和32
(完整版)数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数 a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 （1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 （2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为 a，读作根号a, （3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。
（4）a的双重非负性 ①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。 综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 （1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法： 一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。 （当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质： 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式：
小学数概念的发展及其教学的阶段性
小学数概念的发展及其教学的阶段性 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 小学数概念是小学生正确进行列式、计算、判断、推理等教学活动的基础，是小学数学教学的一项重要内容，其主要任务是要使学生获得科学、完整的数概念，但是小学生掌握数概念是一个主动的、复杂的过程，不能一次完成，而是随着知识经验的发展，对已掌握的概念不断加以充实和改造，于是对于某一种概念，教材对小学各年级学生要求掌握的广度和深度是不一样的，正如列宁所说：“认识是思维对客体的永远的、没有止境的接近。”为此本文试从小学数概念发展规律和小学生掌握数概念的特点来阐述其教学中的阶段性。 一、小学生数概念的逐步深刻化 小学生数概念的深刻化是他们思维发展
的重要方面，小学生只有正确而深刻地掌握数概念，才能顺利地进行抽象概括，形成判断、推理，理解客观事物，并发展分析问题和解决问题的能力。根据我国心理学家丁祖荫的研究：小学生概念掌握表现了阶段特征。 1、小学低年级学生，较多应用“具体实例”、“直观特征”型式掌握概念，也就是说获得数学概念的主要方式是“概念形成”，他们获得数概念的过程，往往是个反复感知，辨认同类事物不同例子，分不同层次抽象概括其本质特征的过程。一年级学生是这样形成10以内数概念：数实物——拨算珠——读写数字——形成数概念。 随着数概念范围逐步扩展，在学习20以内数、100以内数，万以内数的认识过程中获得数概念的方式是基本相同的，但每个阶段具体要求是不同的，体现了从易到难，从简单到复杂不同层次水平，从具体到抽象的顺序不断发展深化，下面就数数和读写数为例加以说明：
教学20以内认数时，在数实物的过程中突出“十”为单位的基础上一个个地数，孕伏计数单位“十”和“一”；在读写数的过程中要凭借实物图，从图、数的对应地读，写做起，以便突出20以内数的组成。教学100以内认数时，数实物要分层进行：第一层从二十起一根根地数到100，弄清100以内数的顺序，第二层十根十根地数，数到100掌握整十数的顺序并感知10个十是一百，第三层接近整十数往下数，突破认识100以内数的顺序难点，第四层在数数的过程中凭借实物感知100以内数的组成，在读、写教学中不再依靠实数而是借助计数器。在感知数位的基础上形成读、写一般表象“都从高位起”。 教学万以内认数，有了100一以内数认识的基础同时由于数的再扩展，所以通过计算器半轴象地进行数数练习；在读、写数教学中要提高抽象概括的水平，如读数第一步通过656、3812两数读法总结出“从高位起”，按照数位顺序读，千
互质数知识点
导读：定义及定理：对于两个数来看，公因数只有1的两个数，叫做互质数。对于多个数来看(教材定义) 若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。在学生即将进入到小学升初中阶段，学生应该多了解相关的知识点，提升自己对于知识点的使用能力，不断精进提高自己的做题效率，才能够在小学升初中考试中脱颖而出，拥有更大的机会进入到优秀的初中学校。 表达及运用注意： (1)这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。 (2)“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。” (3)三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。两个正整数(N)，除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2 判定互质数的方法汇总 直接分辨法： (1)两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。 (2)相邻的两个自然数是互质数。例如15与16。(3)相邻的两个奇数是互质数。例如49与51。
(4)大数是质数的两个数是互质数。例如97与88。 (5)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如7 和16。 (6)2和任何奇数是互质数。例如2和87。 (7)1和任何自然数(0除外)都是互质数。 计算判定法： (1)两个数都是合数(两数相差较大)，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。 (2)两个数都是合数(两数相差较小)，这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85-78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。 (3)两个数都是合数，大数除以小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如462与221 462÷221=2……20 ，20=2×2×5。 2、5都不是221的约数，则两个数是互质数。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
平方根知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根 （规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数. 要点诠释：有意义时，a≥0，a≥0. 2.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方如果2x a a≥a的算与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0) 术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算 术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，
(发展战略)学龄前儿童数概念的发展
学龄前儿童数概念的发展 近年来，无论在国内或国外，由于社会生产和科学技术的迅速发展，需要加速培养人才，人们都越来越重视儿童的早期数学教育。目前对学龄前儿童进行数学教育有各种做法，究竟哪种比较好，是个值得深入研究的问题。其中很重要的一点是必须先了解幼儿数学初步概念形成和发展的特点，否则盲目地进行教育，不但收不到良好的效果，反而会妨碍幼儿身心的发展。本文根据一些调查研究材料就幼儿数概念发展的特点作一概述，并对如何发展幼儿的数概念提几点看法。 数（这里指自然数，下同）概念是数学中最基础的知识，也是幼儿开始积累数学的感性经验首先遇到的问题之一。掌握数概念是一个比较复杂的过程，不仅要会数数，还要理解数的含义，知道数的顺序和大小，理解数的组成和数的守恒，掌握数的读写法。因为幼儿年龄小，身心都在发育中，要在不断积累感性经验的基础上逐步形成数概念，所以要经历一个较长期的过程。下面着重从四个方面进行一些分析研究。 一计数 计数活动的实质是在所数的物体集合的元素与自然数列中从1起各数之间建立一一对应，而把最后一个元素所对应的那个数作为计数的结果。有些幼儿虽然很早就能按顺序说出数词一、二、三……，但不能同所数的物体一一对应，或者不能确定数得的结果，这样不能认为具有计数的能力。幼儿的计数能力是逐步
发展起来的。研究表明，一般遵循以下的发展顺序：先口头数，然后点物数，再到说出计数的结果。 最初，幼儿没有数量的观念，对物体集合的感知模糊不清。以后逐渐能区别数量的多少。例如，给一岁多的幼儿每只手里放一块饼干，如果拿走一块，他会不满意。两岁左右，在成人的教育影响下，逐步学会个别的数词，如“一”、“二”，但往往不能正确地用以表示物体的数量。例如，当问到物体“有多少”时，有些幼儿往往都用“两个”来回答。两岁至三岁的城市幼儿，有一些开始能数几个数，有少数能数到10以上，但也有些（约1/3）完全不会数。三岁多的幼儿，多数能数到10。四岁多的幼儿，多数能数20以内的数，其中少数能数到100。五岁多的幼儿，多数能数30以上的数，其中约半数能数到100。六岁多的幼儿，大多数能数到100。农村的幼儿，由于环境和教育条件差一些，口头数数的能力发展迟缓一些，但是到六岁以后大多数也能数20以内的数，即使是没有入过学前班的，也有25％的幼儿能数到100。 幼儿在口头数数的发展过程中有以下几个特点：1.四岁以下的幼儿掌握一些数词，但是往往分不清它们的先后顺序，因而常出现跳数、乱数的现象，返回重数的情况也较多。2.四、五岁的幼儿，数到几十九再接下去数困难较多，出现停顿、跳数、返回重数等现象。3.年龄较小的幼儿只会从1数起，五岁以上的幼儿开始有些能从中间任意一个数起接着数。这表明幼儿随着年龄的增长，逐渐地在数词之间建立起较牢固的联系，并且对计数规律有了一定的理解。
对数的概念教学设计与反思
对数的概念 一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。
小学数学教材对互质数是这样定义的
互质数 小学数学教材对互质数是这样定义的：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。这里所说的“两个自然数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数”。 （1）两个不相同质数一定是互质数。 例如：2与7、13与19。 （2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。 例如：3与10、5与26。 （3）1不是质数也不是合数。 （4）相邻的两个自然数是互质数。例如：15与16。 （5）相邻的两个奇数是互质数。例如：49与51。 （6）大数是质数的两个数是互质数。例如：97与88。 （7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如7和16。 （8）2和任何奇数是互质数。例如：2和87。 （9）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 例如：357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。 （10）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。例如：85和78。 85－78＝7，7不是78的约数，这两个数是互质数。 （11）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。 例如：462与221 462÷221＝2……20， 20＝2×2×5。 2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。 （12）减除法。 例如：255与182。 255－182＝73，观察知73<182。 182－（73×2）＝36，显然36<73。 73－（36×2）＝1，（255，182）＝1。 所以这两个数是互质数。 三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。两个正整数，除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数为互质数. 互质数的概率是6/π^2。
对数知识点整理
1对数的概念 如果a(a>0，且a ≠1)的b 次幂等于N ，即N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作：b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a ≠1,N>0; ③01log =a , 1log =a a , b a b a =log ,b a b a =log 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作N 10log ,简记为lgN ；以无理数e(e=2.718 28…) 为底的对数叫做自然对数，记作N e log ，简记为N ln 2对数式与指数式的互化 式子名称指数式N a b =(底数)(指数)(幂值)对数式b N a =log (底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a ≠1,M>0,N>0,那么 (1)N M MN a a a log log )(log +=(2N M a a log log N)(M log a -=÷(3)M b M a b a log log = 问：①公式中为什么要加条件a>0,a ≠1，M>0,N>0? ②=n a a log ______ (n ∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 运算性质 n m n m a a a +=?,n m n m a a a -=÷ mn n m a a =)((a>0且a ≠1,n ∈R) N M MN a a a log log )(log +=, N M a a log log N)(M log a -=÷(a>0,a ≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a ＞0,，且a ≠1? 理由如下： ①若a ＜0，则N 的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N ≠0时b 不存在；N=0时b 不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N ≠1时b 不存在；N=1时b 也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
第11章 数的开方知识点总结
第11章数的开方知识点总结 平方根 ★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________. 2,那么________叫做________的__________. 即如果a x ★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方. （1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方; （2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方. ★3.平方根的特征: （1）正数的平方根有________个,它们互为________; （2）0的平方根只有________个,是________,即它本身; （3）负数________平方根. ★4.平方根的表示: 非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________. ★5.算术平方根 非负数a的算术平方根表示为__________. ★6.关于算术平方根 正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________. 算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________. 平方根等于它本身的数有________个,是________.
★7.()0≥a a 具有双重非负性: （1）0≥a ; （2）0≥a . ★8.非负数的和为0的问题 若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________. ★9.重要结论: （1）???==________________________2 a （2）()=2a ________,()=-2a ________. （3）若A B B A --与都有意义,则____________. ★10.新概念---完全平方数 如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等. 完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题 例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2 4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12 2________. 例5. 25 16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.
对数的概念教案
对数的概念 教学目标： 1、理解对数的概念 （1）、理解对数的定义，了解对数式中各字母的取值范围及名称； （2）、理解指数与对数之间的互逆关系，能够进行对数式与指数式的互化； （3）、能够利用对数式与指数式的互化关系完成简单的运算。 2、通过对数概念的学习，使学生认识到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互转化的思想，同时学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用。 3、通过对数的学习，能利用相互联系的观点看问题，培养他们利用数学思想分析问题的意识。 教学重点： 1、对数概念的正确理解； # 2、对数式与指数式的相互转化。 教学难点： 1、对数式，指数式中各字母含义的区别理解； 2、应用指数与对数的相互转化求值。 教学过程： 一、问题情境： 若3+2=5，则3=5-2；
若3×2=6,则3=6÷2； 若23=8，则3=。 思考：能否用2和8的来表示3 [ 二、学生活动： 活动1：引导学生观察在上面的几个式子中，都是求3，第一个3根据的加法逆运算用减法求出，第二个3用乘法的逆运算除法求出，那么第三个3能不能用指数式的逆运算求出来呢指数式的逆运算又 是什么呢显然我们以前没有学过，所以今天我们学习一种新的数学运算——对数运算来解决这个问题。 三、构建数学： 1、对数的定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b的次幂等于N，即a b=N,那么就称b是以a为底的对数，记作, =其中a叫做对 N log b a 数的底数，N叫做真数。 注意：（1）a＞0,a≠1, （2）a b=N?, = N log b a (3)注意对数的书写格式。 活动2：讨论并写出a,b,N在指数式和对数式中各自的名称两种运算的关系就如同加减法和乘除运算一样，当数字的位置变发生了变化，其含义和名称也随之改变。
互质数的规律
互质数专题 甲乙两人做游戏,乙先在一张纸上写好一个两位数,然后甲选择一些两位数，希望选出的数中至少有一个与乙写的数不互质，那么甲最少要选择几个两位数，才能保证做到这一点？ 解： 这个解法不对：（两位数分解质因数的结果必然为： 个位质数和两位质数的积、 个位质数和个位质数的积。 也就是说2位数分解质因数必然有个位质数。 个位质数为：2、3、5、7 因此甲只要选择包含：2、3、5、7质数的2位合数就可以了。 因为2×3×5×7=210 所以包含2、3、5、7组成的2位合数至少有2个 例如： 选择30=2×3×5和2×7=14； 或者3×5=15和2×7=14） 11×7=77 5×13=65 2×17=34 3×19=57加上 23、29 31、37 41、43、47
53、59 61、67 71、73、79 83、89 97 所以甲最少要选择21个两位数，才能保证做到这一点. 相同的数不互质 互质数 互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 中文名互质数 外文名 relatively prime 分类数学 公因数只有1的两个非零自然数 目录 1 概念 2 表达运用 3 判定方法
?概念判断法 ?规律判断法 ?分解判断法 ?求差判断法 ?求商判断法 概念 互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。[1] 互质数具有以下定理： （1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数； （2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数； （3）两个不同的质数，为互质数； （4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质； （5）任何相邻的两个数互质；
数的开方知识点汇总
数的开方知识点汇总文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
数的开方知识点汇总 安皋二中八年级数学组 一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果 x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数。 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法 一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根 （1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。 （2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a, （3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。 （4）a的双重非负性 ①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。
②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。 综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根 （1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。 （2、）立方根的表示方法： 一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。 （当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略） （3、）立方根的性质： 任何数都有立方根且只有一个 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式： （1）2a| = (a为任意实数) |a （2、）（a）2=a (a≥0) （3、）（3a）3= a（a为任意实数） 33（a为任意实数） （4、）a a= （5、）-3a=3a -（a为任意实数）
对数的概念与运算性质
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
互质数
质因数 每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数（1除外）。 1定义编辑 质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。 2例子编辑 ?1没有质因子。 ?5只有1个质因子，5本身。（5是质数。） ?6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3) ?2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。） ?10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5) 3其他相关内容编辑 基本信息
就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。[1] 分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。 分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。 分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。[2] Pollard Rho因数分解 1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。计算方法 短除法 求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。 求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
数的开方知识点练习题
第十 一章：数 的 开 方 一、平方根、算术平方根的概念及性质 1、如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，正数的平方根有 个，它们的关系是 ，0的平方根是 ，负数 正数a 的 叫做a 的算术平方根。121的平方根是±11的数学表达式是 2、________的平方等于25，所以25的平方根是________16的平方根是________算术平方根是______；(－4)2的平方根是 3、若一个正数的平方根是2a －1和－a ＋2，则a ＝________这个数是 ；若4a ＋1的算术平方根是3，则a 的值 4、若2 16a =，则a ＝________；若 1.2a =，则a ＝________ 5、若054=-++-y x x ，则=x ________，=y ________ 6、在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个 7、若42-x 有意义，则x . 当x = 时，有29x -最大值，最大值 是 8、88的整数部分是 ；若a<570 Ｂ．a ≥0 Ｃ．a<0 Ｄ．a ≤0 二、立方根的概念及性质 1、如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，正数有 的立方根，负数有 的立方根，0的立方根为 2、64的立方根的平方根是 若033=+y x ，则x 与y 的关系是 3、若式子3112a a -+-有意义，则a 的取值范围为 4、如果 68.28,868.26.233 3 ==x ，那么x= 5、若x 3=216，则x= ；若x 3=729，则x = ; 6、若519x +的立方根为４，则27x +的平方根是______. 7、由下列等式： 3 333332233442 2,33,44,7726266363 ===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 三、实数、相反数、绝对值、数轴 1、有理数包括整数和 ；有理数可以用 小数和 小数表示； 叫无理数；无限 小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数； 2、下列各数：23 ，－3π，3.1415926，25，191，3 8-，3.101001000……，9-，? ? 9641.3中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个. 3、下列说法中正确的是（ ） A 、有限小数是有理数 B 、无限小数是无理数 C 、数轴上的点与有理数一一对应 D 、无理数就是带根号的数 4、下列说法正确的是（ ） Ａ、两个正无理数之和一定还是正无理数Ｂ、两个无理数之间没有有理数 Ｃ、无理数分为正无理数、负无理数和零Ｄ、无理数可以用数轴上的点表示
1数字的发展史
第1节数字的发展史 数字可谓是数学大厦的基石，也是人们最早研究的数学对象。在几百万年前。我们的祖先还只知道“有”、“无”、“多”、“少”的概念，而不知道数为何物，完全没有数量的概念。在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古 代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该 得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。在公元前6世纪的古希腊，有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这
对数的概念与对数运算性质
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义
知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0