2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式

圆柱的侧面积公式 圆柱 ?● 其中?是圆柱底面的周长，●为母线长

圆柱的体积公式 ?圆柱 ? 其中 是圆柱的底面积，?为高

一、填空题：本大题共 ?小题，每小题 分，共计 ?分 请把答案填写在答题卡相应位

．．．．．．

置上

．．

．已知集合{2134}

B=-，，，则A B= ．A=--，，，，{123}

【答案】{13}

-，

．已知复数2

=+??为虚数单位?，则 的实部为 ．

z i

(52)

【答案】 ?

．右图是一个算法流程图，则输出的?的值是 ．

【答案】

．从1236

，，，这 个数中一次随机地取 个数，则所取 个数的乘积为 的

概率是 ．

【答案】1

3

．已知函数cos

=与sin(2)(0)

y x

≤，它们的图象有一个横坐标为

=+<π

y x??

π的交点，则?的值是 ．

3

π

【答案】

6

．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 ?株树木

的底部周长（单位：??），所得数据均在区间[80130]

，上，其频率

分布直方图如图所示，则在抽测的 ?株树木中，有

株 树木的底部周长小于 ?? ??． 【答案】 ?

．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】

．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且

1294S S =，则12

V

V 的值是 ． 【答案】32

．在平面直角坐标系???中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255

?．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数?的取值范围是 ． 【答案】20?? ???

?．在平面直角坐标系???中，若曲线2b

y ax x

=+?a b ，为常数?过点(25)P -，，且

该曲线在点 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-

?．如图，在平行四边形????中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=，

，则AB AD ?的

值是 ． 【答案】 ?

?．已知()f x 是定义在 上且周期为 的函数，当[03)x ∈，时，21

()22

f x x x =-+．若

函数()y f x a =-在区间[34]-，上有 ?个零点?互不相同?，则实数?的取值范围是 ． 【答案】()

102

，

?．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共 小题 共计 ? 分 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

?．?本小题满分 ? 分?已知()

2

απ∈π，

，5sin α= （ ）求()

sin 4

απ+的值；

（ ）求()cos 26

α5π-的值．

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

力 满分 ?分 （ ）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，

∴225

cos 1sin αα=--=

(

)

210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；

（ ）∵2243

sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+?-=

?．?本小题满分 ? 分?如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （ ）求证：直线 ?∥平面 ??；

（ ）平面 ??⊥平面???．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力 满分 ?分 （ ）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴ ?∥ ?

∵PA ?平面 ??， ??平面 ?? ∴ ?∥平面 ?? （ ）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==

∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142

EF BC ==

∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴ ?⊥?? ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC

EF E = ∴ ?⊥平面???

∵ ??平面 ??， ∴平面 ??⊥平面???．

?．?本小题满分 ? 分?如图，在平面直角坐标系???中，12F F ，分别是椭圆

2

222

1(0)

y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点

?，过点?作?轴的垂线交椭圆于另一点 ，连结1

FC ．

（ ）若点 的坐标为()

41

33

，，且22BF =

（ ）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率?的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力 满分 ?分

（ ）∵()

41

33C ，，∴22161

999a b

+=

∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =

∴椭圆方程为2

212

x y += （ ）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，

∵A C ，关于?轴对称，∴()A x y -，

∵2B F A ，，三点共线，∴

b y b

c x

+=--，即0bx cy bc --=① ∵1

FC AB ⊥，∴1y

b x

c c

?=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222

2

22ca x b c bc y b c ?=?-??=-?

∴()

2222222a c bc C b c b c --， ∵ 在椭圆上，∴

()(

)2

2

2222

22

2

2

21a c

bc b c b c a b --+

=，

化简得225c a =，∴

5c a =5

?．?本小题满分 ?分?如图，为保护河上古桥 ?，规划建一座新桥 ?，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥 ?与河岸??垂直；保护区的边界为圆心 在线段

?上并与 ?相切的圆，且古桥两端 和?到该圆上任意一点的距离均不少于 ??．经

测量，点?位于点 正北方向 ??处，点 位于点 正东方向 ???处? ?为河岸?，4tan 3BCO ∠=．

（ ）求新桥 ?的长；

（ ）当 ?多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角

形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力 满分 ?分 解法一：

???

如图，以 为坐标原点， ?所在直线为?轴，建立平面直角坐标系

???

由条件知???? ???， ????? ??，

直线 ?的斜率 ? －???∠ ?? －

4

3

又因为??⊥ ?，所以直线??的斜率 ?? 3

4

设点 的坐标为?? ??，则 ?

04

,1703

b a -=-- ? ??

603

,04

b a -=-

解得? ??，?????? 所以 ?22(17080)(0120)150-+-= 因此新桥 ?的长是 ?? ??

???设保护区的边界圆 的半径为? ?? ? ? ????≤?≤ ??? 由条件知，直线 ?的方程为4

(170)3

y x =-

-，即436800x y +-= 由于圆 与直线 ?相切，故点 ??，??到直线 ?的距离是?， 即|3680|680355

d d

r --=

=

因为 和?到圆 上任意一点的距离均不少于 ? ??

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)80

5d

d d d -?-???-?--??

≥≥解得1035d ≤≤

故当? ??时 68035

d

r -=

最大，即圆面积最大 所以当 ? ? ?? ?时，圆形保护区的面积最大 解法二 ???如图，延长 ? ?交于点?

因为???∠ ?? 43 所以???∠??? 4

5

，???∠???

3

5

因为 ? ??? ? ???，所以 ? ? ???∠???

680

3

?

850cos 3OC FCO =

∠ 从而500

3

AF OF OA =-= 因为 ?⊥ ?，所以???∠??? ???∠??? ?

4

5

， 又因为??⊥ ?，所以 ? ?? ???∠??? ?400

3

，从而 ? ?－

? ????

因此新桥 ?的长是 ?? ??

???设保护区的边界圆 与 ?的切点为 ，连接 ?，则 ?⊥ ?，且 ?是圆 的半

径，并设 ? ? ?， ? ? ???≤?≤ ??? 因为 ?⊥ ?，所以???∠ ?? ????∠???，

故由???知，???∠ ?? ?

3

,6805

3

MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=

因为 和?到圆 上任意一点的距离均不少于 ? ??

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)805d

d d d -?-???-?--??

≥≥解得1035d ≤≤

故当? ??时 68035

d

r -=

最大，即圆面积最大 所以当 ? ? ?? ?时，圆形保护区的面积最大

?．?本小题满分 ?分?已知函数()e e x x f x -=+其中?是自然对数的底数． （ ）证明：()f x 是R 上的偶函数；

（ ）若关于?的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数?的取值范围； （ ）已知正数?满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与

e 1a -的大小，并证明你的结论．

【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想

方法分析与解决问题的能力 满分 ?分

（ ）x ?∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （ ）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤

∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x

-+->，即e 1

e e 1

x

x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立

令e (1)x t t =>，则2

11

t

m t t --+≤

对任意(1)t ∈+∞，恒成立

∵22

11111(1)(1)11311

1t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴1

3

m -≤

（ ）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--

∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减

∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()

11e 2e

a >+

∵e-1

e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e

a a a

a a a ---=-=--+

设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()

e 1e 111'()1e 2e

a m a a a a ---=-=>+，

当()

11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；

当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()

11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．

?．?本小题满分 ?分?设数列{}n a 的前?项和为n S ．若对任意的正整数?，总存在正整数?，使得n m S a =，则称{}n a 是“?数列”．

（ ）若数列{}n a 的前?项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“?数列”；

（ ）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“?数列”，求?的值； （ ）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“?数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．

【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力 满分 ?分

（ ）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=

当1n =时，112a S ==

∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“?数列” （ ）1(1)(1)

22

n n n n n S na d n d --=+

=+

对n *?∈N ，m *?∈N 使n m S a =，即(1)

1(1)2

n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d

=+

∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （ ）设{}n a 的公差为?

令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *?∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *?∈N ，11n n c c a d +-=+

则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前?项和11(1)()2n n n T na a -=+

-，令1(2)n T m a =-，则(3)

22

n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；

当3n ≥时，由于?与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ?，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“?数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=

+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12

n n m -=+ ∵对n *?∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N

即对n *?∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“?数列” 因此命题得证

数学Ⅱ?附加题?

??【选做题】本题包括?? ?????四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

??【选修 ???几何证明选讲】?本小题满分 ?分?

如图，??是圆 的直径， 、 ?是圆 上位于??异侧的两点 证明 ∠ ?? ∠

本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力 满分 ?分 证明：因为 是圆 上的两点，所以 ? ? 故∠ ?? ∠

又因为 是圆 上位于??异侧的两点， 故∠ ，∠ 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠ ∠ 因此∠ ?? ∠

?【选修 ???矩阵与变换】?本小题满分 ?分?

已知矩阵121x -??=????A ，1121??=??-??B ，向量2y ??

=????

α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力 满分 ?分 222y xy -??=??+??A α，24y y +??=??-??B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+??+=-?

，

，解得142x y =-=， ?【选修 ???坐标系与参数方程】?本小题满分 ?分? 在平面直角坐标系???中，已知直线●

的参数方程为12x y ?

=-

??

?=+?

，??为参数?，直线●与抛物线2

4y x =交于A B ，两点，求线段??的长．

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力 满分 ?分

直线●：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，

，故||AB = ?【选修 ???不等式选讲】?本小题满分 ?分?

已知? ?? ? ??证明：???? ? ?? ??? ??≥ ???

本小题主要考查算术一几何平均不等式 考查推理论证能力 满分 ?分

证明：因为? ?? ? ?? 所以 ?? ?

≥0>， ?? ?

≥0>，

所以???? ? ?? ??? ??

≥ ????

【必做题】第 ?题、第 ?题，每题 ?分，共计 ?分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ?．?本小题满分 ?分?

盒中共有 个球，其中有 个红球， 个黄球和 个绿球，这些球除颜色外完全相同． （ ）从盒中一次随机取出 个球，求取出的 个球颜色相同的概率 ；

（ ）从盒中一次随机取出 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量?表示123x x x ，，中的最大数，求?的概率分布和数学期望()E X ．

??【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力 满分 ?分

（ ）一次取 个球共有29C 36=种可能情况， 个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可

能情况

∴取出的 个球颜色相同的概率1053618P ==

（ ）?的所有可能取值为432，，，则

444

9C 1(4)C 126

P X === 3131

4536

3

9C C C C 13(3)C 63

P X +=== 11(2)1(3)(4)14

P X P X P X ==-=-==

∴?的概率分布列为

故?的数学期望1113120

()23414631269

E X =?+?+?=

?．?本小题满分 ?分?

已知函数0sin ()(0)

x f x x x

=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．

（ ）求()()

122222

f f πππ+的值；

（ ）证明：对任意的n *∈N ，等式()(

)

1444n n nf f -πππ+=成立．

??【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力 满分 ?分

???解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '?

?'===

- ??? 于是21223

cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''?

???'==-=--+ ? ?????

所以1223

4

216

(),(),2

2f f π

ππππ=-

=-+ 故122()() 1.2

22

f f ππ

π

+

=- ???证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对?求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得

122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2

f x xf x x x π+=-=+，

344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+

下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立

???当? ?时，由上可知等式成立

????假设当? 时等式成立 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+

因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]222

2

k k k k x x x x π

πππ+''+=+?+=+

， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2

k x π

+=+ 所以当??? ?时 等式也成立

综合????????可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立

令4

x π

=

，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+?n ∈*N ??

所以1()()444n n nf f πππ-+=?n ∈*N ??