中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总 Prepared on 22 November 2020

17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D

点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限.

（1）求点C 的坐标；

（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．

BE 上有一点P ，使得

AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE 请给出你的结论，并说明理由；

（3）在直线．．

BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由.

18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)， 交x 轴于点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。

（1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；

（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，

垂足依次在线段AB 的6等分点上。h=9米。

(i )求拉杆⑤DE 的长度；

(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE 的长度会改变吗(只需写结论)

（3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，0≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。试探索k 为何值时，

tg ∠FOG= tg ∠CAO 此时点G 与OA 线段有什么关系

F G x

y

C B

O A 图4

19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C （0

，

3

3

16） （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为P ，把△APB 翻折，使点P 落在线段

AB 上（不与A 、B 重合），记作/P ，折痕为EF ，设

A /P = x ，PE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）当点/P 在线段AB 上运动但不与A 、B 重合时，能否使△EF /P 的一边与x 轴垂直若能，请求

出此时点/P 的坐标；若不能，请你说明理由。

20. （2006湖北十堰）已知抛物线1C ：22y x mx n =-++（m ，n 为常数，且0m ≠，0n >）的顶点为A ，与y 轴交于点C ；抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，其顶点为B ，连接AC ，BC ，AB ．

注：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a

a ??

-- ???，．

（1）请在横线上直接写出抛物线2C 的解析式：________________________； （2）当1m =时，判定ABC △的形状，并说明理由； （3）抛物线1C 上是否存在点P ，使得四边形ABCP 为菱形

21.（2006湖北宜昌）如图，点O 是坐标原点，点A （n ，0）是x 轴上一动点(n ＜0）以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o 得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ． (1)求k 的值；

(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC C

O

22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在

y轴的负半轴上，tan∠ACO=3

4，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO

2-

(2k+4)x+8k=O的两根．

(1)求AC、BC的长；

(2)求P点坐标；

(3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形

23.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A

是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．

(1)求点C的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x

y

O

1.（2004江苏宿迁）已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋

2.

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；

（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面

积等于27，试求m 的值.

2.（2005福建三明）已知二次函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数652+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。

（1）在表内的空格中填上正确的数；

（2）根据上述表内d 与△的值，猜

想它们之间有什么关系再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；

（3）对于函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )证明你的猜想

3.（2006上海浦东）已知：二次函数12)1(2++-=mx x n y 图象的顶点在x 轴上． （1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；

（2）求证：函数1)1(222--+=x n x m y 的图象与x 轴必有两个不同的交点；

（3）如果函数1)1(222--+=x n x m y 的图象与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），与y 轴相交于点C ，且△ABC 的面积等于2．求这个函数的解析式．

4.（2005天津）已知二次函数c bx ax y ++=2.

（1）若a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b 的值；

q px x y ++=2

p q △ 1x 2x

d 652+-=x x y －5

6 1

2 3

1 x x y 2

1

2-= －

2

1

4

1 2

1

22

-+=x x y

－2

－2

3

（2）若a =2，b + c = -2，b > c ，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b ≥0；

（3）若a + b + c = 0，a > b > c ，且二次函数的图像经过点（q , - a ），试问当自变量x = q +4时，二

次函数c bx ax y ++=2所对应的函数值y 是否大于0请证明你的结论.

5.（2006江苏盐城）已知：如图，A （0,1）是y 轴上一定点，B 是x 轴上一动点，以AB 为边，在∠OAB 的外部作∠BAE ＝∠OAB ，过B 作BC ⊥AB ，交AE 于点C.

(1)当B 点的横坐标为

3

3

时，求线段AC 的长；

(2)当点B 在x 轴上运动时，设点C 的纵、横坐标分别为y 、x ，试求y 与x 的函数关系式（当点B 运动到O 点时，点C 也与O 点重合）；

(3)设过点P （0，-1）的直线l 与(2)中所求函数的图象有两个公共点M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，且x 12+x 22－6(x 1+x 2)=8，求直线l 的解析式．

6.（2006广东广州）已知抛物线y =x 2+mx-2m 2(m≠0)． (1)求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；

(2)过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B(点A 在点P 的左边)，是

否存在实数m 、n ，使得AP=2PB 若存在，则求出m 、n 满足的条件；若不存在，请说明理由．

1.（2001天津）已知：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝4cm ，AB ＝8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的中点．若P 为AB 边上的一个动点，PQ ∥BC ，且

交AC 于点Q ，以PQ 为一边，在点A 的异侧．．

作正方形PQMN ，记正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为

y ．

（1）如图，当AP ＝3cm 时，求y的值；

（2）设AP ＝x cm，试用含x 的代表式表示y （cm）2；

（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．

2.（2002上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5图6图7

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

4. (2004山东枣庄)如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝52，∠CAB＝45°，点O在BA上移动，以

O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．

（1）求 y与x的函数关系式；

（2）求x的取值范围；

（3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切A O

D

C

5.（2004浙江宁波）已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝16，P 点是AB 上的一动点(不与A 、B 重合) ，PQ ⊥AB ， 垂足为P ，交半圆O 于Q ；PB 是半圆O 1的直径，⊙O 2与半圆O 、半圆O 1及PQ 都相切，切点分别为M 、N 、C ．

（1）当P 点与O 点重合时(如图1) ，求⊙O 2的半径r ；

（2）当P 点在AB 上移动时(如图2) ，设PQ ＝x ，⊙O 2的半径r ．求R 与x 的函数关系式，并求

出r 取值范围．

6.（2005河北）如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12

，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形

（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；

（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

图⑵ 图⑴

A O （P N

· O 2 · O 1 M

C Q B P · A O N · O 2 · O 1

M

C Q B D

图3

7.（2005河南）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，DC ＝22，点P 在边BC 上运动(与B 、C 不重合)，设PC ＝x ，四边形ABPD 的面积为y 。 （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）若以D 为圆心、1

2为半径作⊙D ，以P 为圆心、以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D

与⊙P 相切并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积。

8.（2005江苏宿迁）已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3厘米，CB ＝4厘米．两个动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）．

（1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米

2

；

（2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米

2

），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

（3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗若有，

请求出最大值；若没有，请说明理由．

9.（2005江苏泰州）图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ′D ′E ′叠放在一起（C 与C ′重合）. （1）操作：固定△ABC ，将△C ′D ′E ′绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长

线交AB 于F （图2）；

探究：在图2中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系试证明你的结论.

（2）操作：将图2中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的

△CDE 设为△PQR （图3）；

A

B

C

D

P

探究：设△PQR 移动的时间为x 秒，△PQR 与△ABC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数自变量x 的取值范围.

（3）操作：图1中△C ′D ′E ′固定，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ′E ′的中点，边BC 交D ′E ′于点

M ，边AC 交D ′C ′于点N ，设∠AC C ′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C ′N ·E ′M 的值是否随α的变化而变化如果没有变化，请你求出C ′N ·E ′M 的值，

如果有变化，请你说明理由.

[

10.（2005江苏南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A （－10，0），B （－8，6），O 为坐标原点，△OAB 沿AB 翻折得到△PAB ．将四边形OAPB 先向下平移3个单位长度，再向右平移m （m ＞0）个单位长度，得到四边形O 1A 1P 1B 1．设四边形O 1A 1P 1B 1与四边形OAPB 重叠部分图形的周长为l ．

（1）求A 1、P 1两点的坐标（用含m 的式子表示）；

（2）求周长l 与m 之间的函数关系式，并写出m

11.（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC 是等腰梯形，OA ∥BC 。在建立如图的平面直角坐标系中，A （4，0），B （3，2），点M 从O 点以每秒3个单位的速度向终点A 运动；同时点N 从B 点出发

E ′

图1

C B

A

D ′

D C

C

B

（C

/

以每秒1个单位的速度向终点C 运动，过点N 作NP 垂直于x 轴于P 点连结AC 交NP 于Q ，连结MQ 。

（1）写出C 点的坐标；

（2）若动点N 运动t 秒，求Q 点的坐标（用含t 的式子表示

（3）其△AMQ 的面积S 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。 （4）当t 取何值时，△AMQ 的面积最大； （5）当t 为何值时，△AMQ 为等腰三角形。

12. (2005浙江温州)如图，在Rt △ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ 求x 为何值时，PQ ⊥AC ；

⑵ 设△PQD 的面积为y(cm 2)，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶ 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；

⑷ 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)

13. （2005上海静安）如图4，已知⊙O 的半径OA =5，弦AB=4，点C 在弦AB 上，以点C 为圆

心，CO 为半径的圆与线段OA 相交于点E ． （1）求A cos 的值；

（2）设AC =x ，OE =y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）当点C 在AB 上运动时，⊙C 是否可能与⊙O 相切如果可能，请求出当⊙C 与⊙O 相切时的AC 的长；如果不可能，请说

Q

D C

B A

P

O

明理由．

14. （2005上海闵行）已知：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，5==CD AB ，6=AD ，12=BC ．

点E 在AD 边上，且2:1:=ED AE ，连结CE ．点P 是AB 边上的一个动点，过 点P 作CE PQ ⊥，交BC 于点Q ．设x BP =，y CQ =． (1) 求B cos 的值；

(2) 求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 当BC EQ ⊥时，求x 的值．

16.（2006广东课改）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；

(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；

(3)当点P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB ，且

AB BD =8

5

，求这时点P 的坐标。

17.（2006上海静安）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，

小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于B ，大圆的弦BC ⊥AB ，过点C 作大圆的切线交AB 的延

长线于D ，OC 交小圆于E ．

A B

C

D

P

Q

E

C

O

A

B

（1） 求证：△AOB ∽△BDC ；

（2） 设大圆的半径为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域． （3）

△BCE 能否成为等腰三角形如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．

18. （2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．

如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）． （1）当x 为何值时，OP ∥AC

（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456

或 ＝， ＝， ＝）

19.（2006河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC

＝

16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，

动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运

A

P

D

动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形

（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB 若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．

1.（2004福建南平）已知：如图① , A 是半径为2的⊙O 上的一点，P 是OA 延长线上的一动点．．，过P 作⊙O 的切线，切点为B 、设PA ＝m , PB ＝n . （1）当n ＝4时，求m 的值；

（2）⊙O 上是否存在点C ，使△PBC 为等边三角形若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由； （3）当m 为何值时，⊙O 上存在唯一点M 和PB 构成以PB ．．

为底的等腰三角形并直接答出：此时⊙O 上能与PB 构成等腰三角形的点共有几个（图②、图③供解题时选用）

2.（2005福建南平）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形. 探究：

（1）如图甲，已知△ABC 中∠C=900，你能把△ABC 分割成2个与它自己相似的 小直角三角形吗若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.

（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，

A B 图P

·

O A · O A

·

O 图

图

则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF

(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；

把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分

割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.

n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时

小三角形的面积为S N.

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2

（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

②当n>1时，请写出一个反映S n-1,S n,S n+1之间关系的等式（不必证明）

3.（2005广西玉林）如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线A T上的一个动点(P 与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．

(1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；

(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；

(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=

4

1

R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点

P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．

6.（2005重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a＝PM·PE，b＝PN·PF，解答下列问题：

（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；

B

C A

图甲

（2）当四边形ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立并说明理由；

（3）在（2）的条件下，设

k PD BP =，是否存在这样的实数k ，使得9

4

=?ABD PEAM S S 平行四边形若存在，请求出满足条件的所有k 的值；若不存在，请说明理由。

8.（2006山东日照）阅读下面的材料：

如图（1），在以AB 为直径的半圆O 内有一点P ，AP 、BP 的延长线分别交半圆O 于点C 、D ．求证：AP ·AC+BP ·BD=AB 2．

证明：连结AD 、BC ，过P 作PM ⊥AB ，则∠ADB =∠AMP =90ｏ， ∴点D 、M 在以AP 为直径的圆上；同理：M 、C 在以BP 为直径的圆上． 由割线定理得： AP ·AC=AM ·AB ，BP ·BD=BM ·BA ，

所以，AP ·AC+BP ·BD=AM ·AB+BM ·AB=AB ·（AM+BM ）=AB 2．

当点P 在半圆周上时，也有AP ·AC+BP ·BD=AP 2+BP 2=AB 2成立，那么： （1）如图（2）当点P 在半圆周外时，结论AP ·AC+BP ·BD=AB 2是否成立为什么 （2）如图（3）当点P 在切线BE 外侧时，你能得到什么结论将你得到的结论写出来．